제 22 회 한국수학올림피아드 1차 시험 (중등부)

2008년 5월 24일 ; 제한시간 4시간

문제 14. 세 자리 양의 정수 를 생각하자. 세 개의 자리수 중 어떤 두 개의 합이 나머지 하나의 두 배인 양의 정수 의 개수를 구하여라.

풀이 : 등과 같이 되므로, 세 수가 등차수열을 이룸을 알 수 있다.

일단 등차수열을 이루는 세 수의 조합의 경우를 찾아보자.

① 000 ~ 999 à 10 가지

② 012 ~ 789 à 8 가지

③ 024 ~ 579 à 6 가지

④ 036 ~ 369 à 4 가지

⑤ 048 ~ 159 à 2 가지

이제 위 5 가지의 경우에 대해 각각 순서를 바꾸는 경우의 수를 생각하면, ① 은 1 가지이고, ② ~ ⑤ 는 모두 3! = 6 가지이다. 따라서 총 130 가지이다.

그런데 는 0 이 되면 안되므로, 가 0 이 되는 000, 012, 021, 024, 042, 036, 063, 048, 084 의 9 가지를 빼면, 총 121 가지가 된다.

답 : 121