Fuzzy Measure

퍼지측도 (fuzzy measure) 는 집합의 경계가 분명한 확실한 원소들이 있을때 어떤 하나의 원소가 어떤 집합에 속하는 지가 애매한 (ambiguity) 상황으로서, 예를들어 "어떤 여자" 가 있을 경우 그 여자가 20, 30, 40 대 인 것이 불명확한 상황을 다룬다. 경계가 희미한 (vagueness) 상황을 다루는 퍼지집합과는 구분된다.... 즉 잘 알지 못하는 원소가 경계가 명확한 어떤 집합에 속하는지를 다루므로 1+1=2 가 아니라 3 이 될 수도 있는 비가법성 (non-additive) 의 성격을 가진다. 즉 어떤 사람이 범인일 가능성이 0.8 일 수도 있고, 아닐 가능성이 0.8 일 수도 있다. 즉 인간세상에서 가능성 0.8 인 범인이 하룻만에 무죄로 석방될 수도 있기 때문이다.

가법성 (additive)은 확률의 본질적인 성질이지만 실은 이것은 르베그 (Lebesgue) 측도 (덧셈적 측도라고도 함) 의 성질이다. 측도 (measure) 라는 것은 면적이나 길이를 측정하는 척도를 말하고.....판단의 확실성을 나타내는 주관확률도 물론 덧셈성을 충족시켜야 한다.인간의 판단, 평가, 의사 결정 과정을 관찰하면 많은 경우, 덧셈성 (additive) 이 충족되지 않은 것을 알 수 있어서 덧셈성이라는 공리는 주관적 판단을 성격짓는 것으로는 너무 엄격하다는 지적이 있다. 주관확률의 생각은 반대로 인간의 판단이 덧셈성을 충족시키기 위해서는 어떠한 가정을 설정해야 한다는 발상하에 조립된 것이다. 이것이 주관확률의 주관은 합리적 주관으로, 퍼지 이론의 『주관』과는 다르다는 이유다. 바꾸어 말하면 주관을 확률론적으로 해석한 것이다. 이런 것을 근거로 확률측도를 일반화한 것으로 퍼지 측도라는 개념이 등장한 것이다. 퍼지 측도는 1972년에 제안된 덧셈성을 가지지 않은 측도를 말한다...... 

퍼지집합, 퍼지척도와 퍼지적분 : 권순학 : 영남대 ISAC lab : Fuzzy Space,  

수학적으로는 두 개의 기본적인 fuzziness의 개념이 있다고 한다. 하나는 물론 퍼지 집합이고 또 하나는 퍼지 측도이다. 두 개의 개념을 추상적으로 표시하면 위의 그림 (a), (b) 처럼 된다.

(a) 는 일반집합 중의 경계가 확실치 않는 영역 에, 잘 알고 있는 요소 가 포함되는 『확실성』의 정도를 생각하는 것이다. (b) 는 일반집합 중의 경계가 확실한 영역 에, 잘 알지 못하는 요소 가 에 포함되는 확실성의 정도를 생각하는 것이다. 여기서 잘 알지 못하는 요소라는 의미는 가 구체적으로 어느 요소인가 하는 것이 특정되지 않았다는 의미이다.

예를 들어 항아리에 빨간색, 흰색, 노란색의 세 가지 색 공이 들어 있어서 그 중 하나를 손으로 쥐어 보기전에 무슨 색인가를 추정하는 문제를 생각하면  는 아직 색을 알 수 없는 공이며 한편, 는 빨강이면 빨강이란 확실한 공의 클라스를 의미한다. 이 경우는 말하자면 각 목적 요소에 불과하므로 가 에 포함되는 『확실성』을

의 정도 처럼 표시해서 퍼지 측도라고 한다.

즉 퍼지 측도는 요소 가 용기 에 대한 함수이다. 한편, 퍼지 집합의 멤버십 함수는 요소 에 대한 함수이다.  

퍼지 집합과 퍼지 측도는 두 가지의 접점을 가진다. 먼저, 만약 용기도 알맹이도 모두 『애매성』이 없으면 양자는 명확히 일치한다. 실제, 크리스프 집합 (보통의 집합) 의 정의합수를

 라고 하면  "" 의 정도

는 퍼지 집합으로서의 정도인 동시에 퍼지 측도로서의 정도다. 그리고   가 된다.

집합의 정의 함수와 동일한 는 디렉의 측도라는 것이다.

한편, 용기도 알맹이도 모두 『애매성』이 있으면 양자는 일치하지만

"" 의 정도

를 정의하는 데에는 퍼지 적분의 개념이 필요하다.  

확률과 Fuzziness : 기전연구사 : 퍼지 집합 개념이 제안된 후 확률과 어떻게 다른가 하고 물음을 받는 일이 많았다. 그것은 양자 모두 불확실성의 수치 표현이고 더구나 사용되는 수치가 0 에서 1 까지의 것이었기 때문이다. 닮았다고 느끼는 것은 지당하지만 이러한 물음에 대해서 『확률은 모두 합해서 1 이 되어야 하지만 퍼지 집합의 그레이드는 반드시 합해서 1 이 될 필요는 없다』라든가 『확률은 측도라는 것으로 숫자로는 집합 개념과 측도 개념은 전혀 다른 것이다』 등으로 대답했다. 그러나 퍼지 이론의 그후 발전 속에서 확률과 퍼지 집합의 상위점이나 유사점 이 점점 확실해졌다. 현재, 이 물음에의 답은 거의 완성되고 있다.....퍼지 이론에는 퍼지 집합 외에 퍼지 측도 (fuzzy measure) 라는 개념이 있어서 이것은 말하자면 확률의 확장 개념이 되어 있다....확률 (probability) 란 『possibility, likelihood 보다 확실성이 강하고 certainty 보다는 약하다』고 한다.....

오늘날, 확률론은 고전 확률, 주관 확률, 측도론적 확률의 세 가지로 분류된다. 고전확률 (파스칼 후, 18세기초 라플라스가 완성시켰다) 이라는 것은 보통 알려진 확률을 말하는 것으로 선험확률과 후험확률로 구분된다......주관확률은 베이즈 통계학에서 사용되는 것이다.....르베그 적분으로 유명한 르베그 (Lebesgue) 는 면적을 측정하기 위한 측도 (measure) 론을 완성시켰다. 콜모고로프가 공리적 확률론에서 확률을 르베그 측도로서 정립하고 확률적 기대값을 르베그 적분에 의해서 정의한 것, 다음 종래 확률론의 체계를 도출하는 공리계를 부여했다. 그래서 현재 가장 일반적인 사고방식은 『확률이란 르베그 측도 + 몇 가지 개념』이라는 것으로 이것이 콜코고로프의 공리적 확률을 측도론적 확률이라고 말하게 하는 이유다.....