확률 과 Fuzziness

퍼지 이론해설 : 퍼지기술연구회 편, 기전연구사, 1992, Page 91~123

퍼지 이론과 확률론

퍼지 이론의 사상적 원점 파스칼

여러 가지 확률의 사고방식

콜모고로프의 공리적 확률

측도

확률과 퍼지 집합의 두 가지 접점

퍼지 측도

퍼지 측도 정의의 의미

퍼지 집합과 퍼지 측도의 두 가지 접점

퍼지 측도의 구체적 해석

가능성 측도와 필연성 측도

개연성과 가능성의 유사점

측도의 쌍대성

퍼지 이론과 확률론

퍼지 집합 개념이 제안된 후 확률과 어떻게 다른가 하고 물음을 받는 일이 많았다. 그것은 양자 모두 불확실성의 수치 표현이고 더구나 사용되는 수치가 0 에서 1 까지의 것이었기 때문이다. 닮았다고 느끼는 것은 지당하지만 이러한 물음에 대해서 『확률은 모두 합해서 1 이 되어야 하지만 퍼지 집합의 그레이드는 반드시 합해서 1 이 될 필요는 없다』라든가 『확률은 측도라는 것으로 숫자로는 집합 개념과 측도 개념은 전혀 다른 것이다』 등으로 대답했다. 그러나 퍼지 이론의 그후 발전 속에서 확률과 퍼지 집합의 상위점이나 유사점 이 점점 확실해졌다. 현재, 이 물음에의 답은 거의 완성되고 있다.

퍼지 이론에는 퍼지 집합 외에 퍼지 측도 (fuzzy measure) 라는 개념이 있어서 이것은 말하자면 확률의 확장 개념이 되어 있다. 후에 볼 수 있듯이 퍼지 측정에는 여러 종류의 것이 생각되어서 그 속의 가능성 측도라는 것은 퍼지 집합과 관계지어져 있다. 게다가 확률 논리와 퍼지 논리처럼 비교하는 시점도 정리되고 있다.

퍼지 측도의 이야기 전에 확률이란 무엇인가를 생각해 보자. 『확률』에 대응하는 영어가 probability 이며 한편, 『개연성』도 probability 로 번역되므로 확률과 개연성 사이에 깊은 관계가 있다고 추정될 것이다. 『개연성』 은 철학에서 사용되는 개념이며 『확률』은 수학에서 사용되는 개념이다. 보통, 확률은 개연성의 수치 표현, 즉 『개연율』로 해석되지만 수학자는 『확률』이라는 말을 선택했다. 『개연』이 아닌 『확실한』으로 한 수학자의 생각에 재미가 있다. 덧붙여 말하면 중국에서는 『개율』이라 하고 이것은 『개연율』에 가깝다. 또 일본에서는 이전에 『공산』이라는 용어가 사용되었었다. 영어에서는 『개연성』과 『확률』과 같은 구분된 사용은 하지 않는다. 철학에서 문제되는 개연성이라는 개념에 포함된 것이 모두, 잘 확률적으로 표현되는 것은 아니므로 용어를 구분해서 사용하는 것은 어색한 일이다. 단, 영어에는 probability 와 거의 동일한 likelihood (있을 듯한 일, 예상, 공산) 라는 말이 있다. probable 이라고 하면 무엇인가 50 대 50 정도로 일어날 것을 말하고 likely 라고 하면 일어날 정도는 더 낮은 것을 의미한다. 실제로 사서에 의하면 probability 란 『possibility, likelihood 보다 확실성이 강하고 certainty 보다는 약하다』고 한다.

『개연성』 이라는 것은 현상의 발생이나 지식의 확실성의 정도를 말하는 데 서양 철학속에서는 옛날부터 있는 개념이다. 근대합리주의와 주관성에서 본 것처럼 데카르트의 방법론은 분명히 이 개연성을 지식에서 배제하기 위해 고안해 낸 것이다. 칸트는 주어와 술어의 관계가 가능적에 불과한 경우를 개연적이라 하고 있다. 가능적이란 것은 확률적과는 의미가 다르고 칸트는 가능성의 부정으로서의 불가능성, 필연성의 부정으로서 (확률에 연결되는) 개연성을 생각하고 있으므로 칸트의 『개연적』은 반드시 『확률적』을 의미하지 않는다. 칸트의 『개연적 판단』은 독일어인 『problematishes Urteil』의 번역으로, 이 『개연적』은 영어인 problematic 에 상당하고 probable 은 아니다. problematic 도 probable 과 함께 우리는 개연적으로 번역하고 있다. 덧붙여 말하면 probabilistic 는 『개연론적』을 의미한다.

개연론 (probabilism) 을 최초로 제창한 것은 카르네아데스 (기원 전 2 세기, 그리스의 철학자) 라고 하며 이것은 절대로 확실한 지식의 존재를 부정하고 지식의 개연성은 피할 수 없다는 것이다. 이 흐름은 16세기의 몽테뉴를 지나서 18세기의 퓸에 이른다. 파스칼은 몽테뉴에 가깝다. 퓸은 뉴턴이 역학적 인과성을 비판하고 사실적 지식의 개연성을 주장하고 있다. 

퍼지 이론의 사상적 원점 파스칼

그런데 수학에서의 확률론의 창시자는 퍼지 이론의 사상적 원점이라고도 할 수 있는 파스칼 (17세기 중경) 이다. 불확실성에 향한 파스칼의 『심정』은 300년 후에 『퍼지네스』의 수학적 이론의 등장에 의해서 다시 꽃피었다고 해도 지장이 없다. 파스칼은 당시의 수학자 페르마 (페르마의 정리로 유명) 와의 편지 교환으로 내기의 문제를 의론하고 그것이 확률론의 단서가 되었다고 한다. 『산술 삼각형론』에서 후에 파스칼의 삼각형이라는 것을 들어 조합론적인 확률의 계산법을 제시했다. 이 삼각형은 그림 1 과 같은 것이다. 삼각형에는 규칙성이 있다. 예를 들면 4열째에 좌측에서 1, 4, 6, 4, 1 이 있지만 이 4 는 그 좌상 (1) 과 우상 (3) 의 숫자를 더해서 얻는다. 동일하게 6 은 좌상 (3) 과 우상 (3) 을 더해서 얻는다.

그림 1 파스칼의 삼각형

이 삼각형의 숫자는 가로로 보면 꼭 이항 정리에 나오는 이항계 수로 되어 있다. 예를 들면

라는 전개식에서 그 계수의 나열방법은 1, 2, 1, 다음의 것은 1, 3, 3, 1 이다. 이것들은 삼각형의 2 열째와 3 열째에 볼 수 있다. 이것을 사용하면 동전을 여러 회 던져서 앞과 뒤가 몇 회 나오는가 하는 확률을 계산할 수 있다. 동전을 1회 던졌을 때는

앞면, 뒷면

의 경우가 있고 2 회 일 때는 4 개의 경우

앞면 앞면, 앞면 뒷면, 뒷면 앞면, 뒷면 뒷면

3회일 때는

앞면 앞면 앞면, 앞면 앞면 뒷면, 앞면 뒷면 앞면, 앞면 뒷면 뒷면,
뒷면 앞면 앞면, 뒷면 앞면 뒷면, 뒷면 뒷면 앞면, 뒷면 뒷면 뒷면

의 계 8 가지 경우가 있다. 앞면 뒷면이 나오는 순서를 묻지 않는다면 1 회 던졌을 때의 조합수는 1 (앞면이 1 회 나온다) 과 1 (뒷면이 1 회 나온다) 이고 2 회 던질 때는 1 (앞면이 2 회), 2 (앞면이 1 회, 뒷면이 1 회), 1 (앞면이 2 회) 이다. 3 회 던지면 조합은 동일하게 1 (앞면이 3 회), 3 (앞면이 2 회, 뒷면이 1 회), 3 (표면이 1 회, 뒷면이 2 회), 1 (뒷면이 3 회) 이 된다. 즉 1, 3, 3, 1 이다. 그래서 『동전을 3 회 던져서 그 중 앞면이 2 회 나오는 확률』은

로 구할 수 있다.

여러 가지 확률의 사고방식

확률론에는 몇 가지 사고방식 또는 해석의 방식이 있다. 예를 들면 주관 확률과 객관 확률, 선험 확률과 후험 확률처럼, 사고방식은 대별해서 주관성에 의한 것과 객관성에 의한 것으로 구분된다. 주관성에 기초하는 주관 확률 (subjective probability) 은 epistemic (인식론적) 확률이라고도 하고 지식이나 신념의 성격으로서의 『명제의 확실성』의 정도를 나타내는 것이다. 한편, 객관성에 기초하는 객관 확률 (objective probability) 은 aleatoric (주사위 던지기) 확률이라고도 해 자연 성격으로서의 『사상이 생기는 확실성』의 정도를 나타내는 것이다. 카르납 (금세기의 논리학자) 에 의하면 17세기까지는 이 두 가지 생각은 서로 관계가 없었다. 파스칼의 확률은 후자에 속하는 것이며 전자는 『개연성』의 확률과 같은 것으로 『명제의 확실성』은 인식 주관에 의존하므로 주관확률이라고 한다.
오늘날, 확률론은 고전 확률, 주관 확률, 측도론적 확률의 세 가지로 분류된다. 고전확률 (파스칼 후, 18세기초 라플라스가 완성시켰다) 이라는 것은 보통 알려진 확률을 말하는 것으로 선험확률과 후험확률로 구분된다. 선험확률이라는 것은 파스칼이 생각한 확률을 말하는 것으로 『동전을 3 회 던져서 앞면이 2 회 나오는 확률은 8 분의 3』『주사위를 던져서 1 의 눈이 나오는 확률은 6 분의 1 인 것처럼 실험을 하지 않아도 선험적으로 정도가 구해지는 것이다. 한편, 후험확률이란 빈도론적 확률이라고도 해 실제로 시행을 반복해서 하나의 사상이 일어나는 빈도를 구함으로써 확률을 얻으려는 것이다. 지금 일기예보에서 발표되는 강우 확률을 추정하려는 것이다. 단지, 빈도론에 의한 것은 같은 시행을 몇 회나 반복할 수 있다 (주사위 던지기) 는 것을 가정하고 있으므로 단 1 회밖에 없는 『내일』을 문제하는 데에는 좀 무리가 있다. 더구나 기상청의 예보관에게는 우리의 『내일』은 무수하게 있는 2 의 내일 속의 하나에 불과하므로 문제는 없을지도 모른다.』
선험확률은 동전이나 주사위의 경우처럼 언제나 구해진다고는 할 수 없으므로 빈도론적 확률쪽 사고방식이 일반적이라고 할 수 있다. 빈도론적 확률은 반드시 일어나는 사상의 확률이 1 이지만 확률이 1 이라도 반드시 일어나는 것은 아니라는 것을 주의해야 한다. 예를 들면 동전을 하루에 1 회 100년 동안 계속 던져서 매일 뒷면이 나온다고 하자. 그후는 영원히 앞면이 나온다고 하자. 이 경우 『앞면이 나오는 확률은 1』이다. 그러나 이것을 미리 하느님에게 배워서 실험을 해보면 자기가 살아있는 최초의 100년 간은 앞면은 나오지 않게 된다. 동일하게 확률은 0 에서도 절대로 일어나지 않는 것이 아니다. 지금의 예에서 『뒷면이 나오는 확률은 0』이 되어 있지만 실제는 100년 간을 통해서 매일 뒷면이 나오고 있다.
주관확률은 베이즈 통계학에서 사용되는 것이다. 베이즈 통계학에서는 선험확률의 개념이 필요하지만 전술한 것처럼 단 한번밖에 일어나지 않는 사상의 선험확률은 구할 방법이 없다는 비판을 받았다. 『주사위를 던져서 1 의 눈이 나오는 확률은 6 분의 1』이라는 선험확률은 주사위를 던지는 시행을 몇 회라도 반복하면 1 의 눈이 나오는 빈도는 6 분의 1 에 가까워지리라는 것이 실험을 하지 않아도 선험적으로 추정할 수 있는 성질의 것이다. 그런데 『단 하루뿐인 내일의 강우 확률』은 어떻게 아는가, 『저 산을 파서 금이 나오는 확률』을 어떻게 해서 선험적으로 구할 수 있는가 하는 것이다. 주관확률론에 의하면 이러한 경우에도 선험확률을 합리적으로 구하는 근거가 주어진다. 그것은 『한번밖에 일어나지 않는 사상의 확률』과 확률에서 등가인 『내기의 문제』를 가지고 사람에게 비교를 시켜서 그 사람의 주관적 확률을 얻는 것이다. 이 경우, 얻는 확률이 확률론적 틀에서 가치가 없는 것이 되지 않도록 엄격한 조건이 부과된다.
주관확률에서는 주관이라고 해도 퍼지 이론의 『주관』과는 달라서 어디까지나 합리성을 가진 주관이다. 예를 들면『여기에 합리적 인간을 추상해 그 합리적 인간의 판단이 몇 가지 전제를 항상 만족한다고 하면 전제에서 유도되는 주관확률은 수학적 확률로 취급할 수 있다. 주관확률은 일상 개연성의 판단을 기술하기 위한 모델은 없고 이러해야 한다는 규범을 위한 모델이다』라고 설명된다.
주관확률론은 선험확률의 결정 가능성 문제를 해결한 것처럼 보이지만 『위험한 수술을 해서 성공하면 수명이 몇 년 연장된다』라는 확률을 내기의 문제에 환원할 수 있는가 하는 비판이 있다.

콜모고로프의 공리적 확률

그런데 현재, 수학에서도 가장 널리 사용되는 것은 콜모고로프가 『확률론의 기초개념』(1933) 에서 기초를 부여한 공리적 확률론이다. 콜코고로프 이전에 르베그 적분으로 유명한 르베그는 면적을 측정하기위한 측도 (measure) 론을 완성시켰다. 콜모고로프가 그 공리적 확률론에서 한 일은 확률을 르베그 측도로서 정립하고 확률적 기대값을 르베그 적분에 의해서 정의한 것, 다음 종래 확률론의 체계를 도출하는 공리계를 부여했다는 것이다. 그래서 현재 가장 일반적인 사고방식은 『확률이란 베르그 측도 + 몇 가지 개념』이라는 것으로 이것이 콜코고로프의 공리적 확률을 측도론적 확률이라고 말하게 하는 이유다.
확률에 대한 공리주의적 입장은 간단하다. 그것은 확률 해석의 문제에 들어서지 않는다. 그래서 고전확률에서의 선험확률과 후험확률, 그리고 베이즈유의 주관확률과 같은 논쟁에는 말려들지 않는다. 공리주의가 지향하는 것은 수학적인 이론틀을 부여하는 것뿐이다. 콜코고로프의 공리는 여러 개가 있고 처음의 두 개는 사상의 정의에 관한 것, 나머지 네 개는 사상의 확률에 관한 것, 그리고 이 네 개 중 하나는 연속적인 확률에 대한 것으로 별로 본질적이 아니다. 그래서 중요한 공리는 세 개이다. 다음, 공리적 확률이라는 것을 간단히 알아보자.

개의 요소로 되는 집합을 로 한다.

요소 를 확률의 근원사상이라 하고 근원사상이 몇 개 모인 의 부분집합, 예를 들면

,

등을 확률의 사상이라고 한다. 전체집합 는 물론 사상이지만 형식적으로 공집합도 사상으로 생각한다. 단지 하나의 요소로 되는 집합

,

등을 생각하면 근원사상도 사상으로 간주되는 것을 알 수 있다. 편의적으로 근원사상을 단지 사상으로 부르는 일이 많다. 그러나 수학적으로는

와

는 다른 것이다. 최초의 것은 이라는 요소 (근원사상) 이고 후의 것은  만을 요소로 하는 의 부분집합 (사상) 이다. 그리고 확률이란 사상의 확률이라고 하는 것처럼 사상에 대해서 생각되는 것이다.
그런데 『주사위를 던진다』는 확률의 장을 생각하면 는

처럼 주사위의 눈이라는 근원사상의 집합이며 『1 의 눈이 나온다』『2 나 3 의 눈이 나온다』『짝수의 눈이 나온다』등 사상은 다음과 같은 의 부분집합 로 생각할 수 있다.

, ,

이와 같이 사상 가 일어난다는 것은 에 포함되는 근원사상의 어느 한 개가 일어난다는 것을 의미한다.
그런데 사상의 확률이란 사상이 발생하는 확실성을 0 에서 1 까지의 수치로 표시한 것이다. 사상에 확률을 대응시키는 함수 는 확률측도라 하고 르베그 측도의 하나다. 콜모고로프의 공리는 다음 세 개로 집약된다.

(1) 모든 에 대해서
(2)
(3) 이면

공리 (1) 은 확률의 비음성을 나타내고 (2) 는 유계성을 나타낸다. (2) 는 의 요소인 근원사상 내 어느 하나는 반드시 일어나는 (확률인 1) 것을 의미한다. 이것은 생각할 수 있는 근원사상 모두의 집합을 로 한 것이므로 당연하다. 확률의 본질은 (3) 에 표시되고 이것은 덧셈성이라는 것이다.

와 같은 사상은 서로가 배반사상이라고 한다. 이 경우, 와 공통부분은 존재하지 않으므로 (공집합) 와 가 동시에 일어나는 일은 없다. 이때 또는 가 일어날 확률은 가 일어나는 확률과 가 일어나는 확률을 더한 것과 같다. 즉

라는 것이 덧셈법의 공리다.
예를 들면 주사위의 예에서 1 이나 2 나 3 의 눈이 나온다는 사상은

과 같이 『1 의 눈이 나오는 사상』과 『2 나 3 의 눈이 나오는 사상』이라는 서로가 배반인 두 개의 사상으로 분리되므로 덧셈법에 따라서

(1 이나 2 나 3 이 나온다) = (1 이 나온다) + (2 나 3 이 나온다)

라는 관계식이 성립한다.
간단하게 하기 위해 을 1 의 눈이 나오는 확률, 를 2 의 눈이 나오는 확률, 즉

,

와 같이 정한다. 이것들은 근원사상의 확률에서 기본확률이라는 것이다. 그러면

고로

또

에서

를 얻는다. 즉 임의의 사상은 기본확률 (확률밀도라고도 함) 로 표시된다. 특히 공리 (2) 의 요청으로

이라는 조건식이 된다. 그래서 예를 들어 모든 눈이 나오는 확률이 서로 같다고 하면 어느 것인가 하나의 눈이 나오는 확률은 6 분의 1 이라는 것을 알 수 있다. 이와같이 확률의 모든 성질은 이들 공리에서 유도된다. 특히

은 중요한 성질이다. 는 의 보집합이므로 와 배반사상이며 또

가 성립되므로 공리의 (2) 와 (3) 에서 이 성질이 유도된다.

측도

덧셈법은 확률의 본질적인 성질이지만 실은 이것은 르베그 측도 (덧셈적 측도라고도 함) 의 성질이다. 측도라는 것은 면적이나 길이를 측정하는 척도를 말하고 예를 들어 그림 2 에서  간 길이는 간 길이와 간 길이를 더 한 것이다. 즉

가 성립한다. 또 대소 두 개의 사각형 과 를 합한 면적 와 각 사각형의 면적 사이에는

그림 2

라는 관계가 성립한다. 즉 길이나 면적의 측도는 덧셈법이다.
판단의 확실성을 나타내는 주관확률도 물론 덧셈성을 충족시켜야 한다. 그러나 인간의 판단, 평가, 의사 결정 과정을 관찰하면 많은 경우, 덧셈성이 충족되지 않은 것을 알 수 있어서 덧셈성이라는 공리는 주관적 판단을 성격짓는 것으로는 너무 엄격하다는 지적도 있다. 주관확률의 생각은 반대로 인간의 판단이 덧셈성을 충족시키기 위해서는 어떠한 가정을 설정해야 한다는 발상하에 조립된 것이다. 이것이 주관확률의 주관은 합리적 주관으로, 퍼지 이론의 『주관』과는 다르다는 이유다. 바꾸어 말하면 주관을 확률론적으로 해석한 것이다.
이런 것을 근거로 확률측도를 일반화한 것으로는 퍼지 측도라는 개념이 등장했다. 퍼지 측도는 1972년에 제안된 덧셈성을 가지지 않은 측도를 말한다.

확률과 퍼지 집합의 두 가지 접점

퍼지 측도의 이야기에 들어가기 전에 확률과 퍼지 집합의 두 가지 접점을 언급하겠다. 최초의 접점은 확률의 사상을 통한 퍼지 집합과의 연결이다. 사상은 의 부분집합이므로 곧 퍼지 부분집합으로서의 퍼지 사상의 생각이 떠오른다. 예를 들면 다시 주사위의 예를 들면 4 나 5 나 6 의 눈이 된다는 사상 는

라는 집합이다. 그러면 『큰 눈이 나온다』는 사상은 어떻게 생각하면 될까. 대답은 간단하게

표 1

중에서 『큰 수』라는 퍼지 집합을 생각하면 된다. 이것을 라고 하면 멤버십 함수는 표 1 처럼 될 것이다.
그런데 4 인가 5 인가 6 인가 하는 사상 E 의 확률은

이다. 그러면 는 어떻게 되는가를 보기 위해 표 2 에 든 E 의 정의함수를 생각하자.

표 2

앞에서의 는 실은 정의함수의 그레이드를 사용해서 형식적으로

로 표시할 수 있는 것을 알 수 있다. 임의사상의 확률은 이와 같이 사상의 정의함수와 기본확률을 사용해서 표시할 수가 있다. 그래서 퍼지 사상  의 확률도 이 현상을 일반화해서 다음과 같이 정의한다.

만약, 주사위의 눈이 등확률 (6 분의 1) 로 나온다면

가 된다.
일반적으로 근원사상의 집합

중의 퍼지 사상 의 멤버십을

라고 하면 의 확률은

로 표시된다. 확률론에서 기대값이라는 개념이 있지만 이 식은 바로 함수

의 기대값을 부여하는 식이 되어 있다.
퍼지 사상의 예는 무수히 많다. 『내일 아침, 가랑비가 온다』『내월, 약간 원절상이 된다』등은 모두 퍼지 사상이다. 종래의 확률론에서는 이렇게 『애매한』사상은 취급할 수 없었다. 그러나 일상생활에서 우리가 발생하는 확실성을 생각할 수 있는 사상은 거의 퍼지 사상이다.
확률과 퍼지 집합의 두번째 접점으로는 멤버십 함수의 값을 확률적으로 생각한다는 것이다. 멩거는 1951년에 ensemble flou 라는 집합개념을 제안했다. 이것은 말하자면 멤버십의 확률을 생각함으로써 퍼지 집합과 같은 집합을 정의하려는 거싱다. 프랑스어인 『ensemble』은 『집합』이고 『flou』은 영어의 『hazy (트릿한)』에 대응하는 형용사로 멩거 자신 『hazy set』로 영역했다. 덧붙여 말하면 『퍼지 집합 (fuzzy set)』의 프랑스어는 『sous-ensemble flou』다. 머리의 『sous』는 『부분』이라는 의미이므로 이것은 『퍼지 부분집합』이 된다. 일본에서도 확률집합이라는 개념을 제안하고 있다. 이것은 퍼지 집합의 멤버십값에 확률적인 『요동』(관측 오차와 같은) 을 부가한 것이다.

퍼지 측도

그런데 의 부분집합에 대해서 정의된 함수 도, 다음의 두 가지 성질을 가지는 것을 퍼지 측도라고 한다.

(1)
(2)  

(1) 은 유계성, (2) 는 단조성을 표시한다. 확률측도는 이 두 개의 성질을 충족하므로 확률은 퍼지 측도의 일종이다. 예를 들면 가 에 포함되는, 즉

이면 는  

로 표시된다. 여기서 는 에서 의 부분을 제거한 나머지 부분을 표시한다. 그리고

가 되어 있으므로 확률의 덧셈성에서

가 성립한다.

이므로 결국

일때

가 된다.

그림 3

수학적으로는 두 개의 기본적인 퍼지네스의 개념이 있다고 한다. 하나는 물론 퍼지 집합이고 또 하나는 퍼지 측도이다. 두 개의 개념을 추상적으로 표시하면 그림 3 (a), (b)처럼 된다.
(a) 는 이미 전장에서 표시한 것처럼 중의 경계가 확실치 않는 영역 에, 의 특정을 잘 알고 있는 요소 가 포함되는 『확실성』의 정도를 생각하는 것이다.
(b) 는 중의 경계가 확실한 영역 에, 잘 알지 못하는 요소 가 에 포함되는  확실성의 정도를 생각하는 것이다. 여기서 잘 알지 못하는 요소라는 의미는 가 구체적으로 어느 요소인가 하는 것이 특정되지 않았다는 의미이다. 예를 들어 단지 속에 빨간색, 흰색, 노란색의 세 가지 색 공이 들어 있어서 그 중 하나를 손으로 쥐어 보기전에 무슨 색인가를 추정하는 문제를 생각하면  는 아직 색을 알 수 없는 공이며 한편, 는 빨강이면 빨강이란 확실한 공의 클라스를 의미한다.
이 경우, 는 말하자면 각 목적 요소에 불과하므로 가 에 포함되는 『확실성』을

처럼 표시해서 퍼지 측도라고 한다. 즉 퍼지 측도는 요소 가 아니고 용기의 에 대한 함수이다. 한편, 퍼지 집합의 멤버십 함수는 요소 에 대한 함수이다.

퍼지 측도 정의의 의미

그런데 공 의 색깔의 추정 문제를 통해서 퍼지 측도의 정의에 대한 의미를 생각해 보자. 빨간 공의 집합을 『빨간』으로 표시한다. 동일하게 『흰』『노랑』을 정의한다. 『빨간』과 『흰』의 합집합을 『빨간, 흰』과 같이 표시한다. 먼저 가 아무 색도 아닌 (아무색도 아니란 것은 공집합이다) 것은 있을 수 없으므로 그 확실성의 정도는

이면 된다. 또 가 빨강, 흰, 노랑의 어느 것인가, 즉

= 『빨강, 흰, 노랑』

에 포함되는 확실성은 (확실성의 최대값을 1 로 하면)

로 해도 된다. 의 색은 이 3 색 중 어느 것으로 결정되어 있다. 다음에

『빨강』으로 어느 정도
『빨강, 백』으로 어느 정도

를 생각하면 명백하게

(「빨강」) (「빨강, 백」)

이다. 게다가

(「노란」) (「백, 노란」)

도 당연하다. 즉

이면

라는 단조성이 성립한다.
그러나

「빨강」∩「백」= 고 「빨강, 백」=「빨강」∪「백」

이지만

(「빨강, 백」) =  (「빨강」) + (「백」)

인가 어떤가를 알 수 없다. 퍼지 측도의 단조성은 『확실성의 정도』라는 개념을 사용한 후의 자연스러운 결과지만 덧셈성은 결코 자연스러운 귀결이 아니다. 예를 들면 어린이에게 물으면

(「빨강」) , (「백」) , (「빨강」,「백」)

의 값을 꼭

(「빨강, 백」) =  (「빨강」) + (「백」)

이 되도록 대답한다고는 할 수 없다. 그러나 만약 어린이가 『확실성』의 의미를 의미할 수 있다면

(「빨강」) (「빨강, 백」)

처럼 대답할 것이다. 여기서 단조성이라는 조건이 성립하기 위해서는 예를 들면 그 답이

(「빨강」) = (「빨강, 백」) = (「빨강, 백, 노란」) = 1

이라도 지장은 없다.
그림 3 (a) 와 (b)를 비교해도 알 수 있듯이 퍼지 집합과 퍼지 측도는 용기를 애매하게 하거나 알맹이를 애매하게 하는가의 차이이다. 퍼지 집합은 용기의 『애매성』을 요소의 함수=멤버십 함수로 표시하고 퍼지 측도는 알맹이의 『애매성』을 용기의 함수로 표시한다. 집합에 대해서 정의된 함수는 일반적으로 집합함수라고 하지만 덧셈성을 가진 집합함수는 측도라고 하며 반드시 덧셈성은 충족하지 않아도 단조성을 가진 집합함수는 퍼지 측도라고 한다.

퍼지 집합과 퍼지 측도의 두 가지 접점

퍼지 집합과 퍼지 측도는 두 가지의 접점을 가진다. 먼저, 만약 용기도 알맹이도 모두 『애매성』이 없으면 양자는 명확히 일치한다. 실제, 크리스프 집합 (보통의 집합) 의 정의합수를

라고 하면

"" 의 정도

는 퍼지 집합으로서의 정도인 동시에 퍼지 측도로서의 정도다. 그리고

가 된다. 집합의 정의 함수와 동일한 는 디렉의 측도라는 것이다.
한편, 용기도 알맹이도 모두 『애매』로서도 양자는 일치하지만

"" 의 정도

를 정의하는 데에는 퍼지 적분의 개념이 필요하므로 여기서는 생략한다.

퍼지 측도의 구체적 해석

퍼지 측도의 구체적 해석을 생각해 보자. 지금, 같은 가격의 집이 몇 채 있고 어느 집이 자기에게 호감이 가는가 하는 평가 문제를 생각하자. 집의 호감 정도를 평가하는 데에는 넓이, 장소등 집의 속성을 생각하면 된다. 가령, 집의 넓이, 설비, 장소, 생활 (환경), 자연 (환경), 등의 속성을 가진다고 하자. 장소는 어떤 도시내의 지리적 장소, 생활환경은 매물, 어린 아이의 학교, 병원 등 생활상의 편의성을 표시하는 것으로 하자. 속성의 집합을 라고 하면

= {넓이, 설비, 장소, 생활, 자연}

로 표시되지만 개개 집의 호감도를 평가할 때의 시점으로는 어느 속성을 중시하는 『중시도』를 생각해 보자. 『중시도』는 하나의 속성뿐 아니라 예를 들면 넓이와 장소, 넓이와 생활과 자연처럼 속성을 몇 가지 종합한 것을 생각해 본다. 『중시도』의 최대값을 1, 최소값을 0 으로 한다. 중시도를 로 표시하고 는 의 부분집합을 정의한다고 생각하자. 예를 들면

({넓이}) = 0.4,      ({설비}) = 0.2,
({장소}) = 0.3,      ({생활}) = 0.5,
({자연}) = 0.1
({넓이, 장소}) = 0.8,      ({생활, 자연}) = 0.5,
({넓이, 생활, 자연}) = 0.7

처럼 된다. 여기서

({넓이, 장소}) > ({넓이})
({생활, 자연}) =  ({생활})
({넓이, 생활, 자연}) > ({생활, 자연})

와 같은 단조성이 성립된다는 것은 아주 자연스러운 요청일 것이다.
그러면 『중시도』 란 의 부분집합 (속성의 모임) , 등을 중시도라는 수치에 대응시키는 퍼지 측도를 간주할 수 있다. 즉

이면

가 성립한다. 그런데 예에서 볼 수 있듯이

({넓이, 장소}) ≠ ({넓이}) + ({장소})
({넓이, 생활, 자연}) ≠ ({넓이}) + ({생활, 자연})

이 되어 덧셈성이 꼭 성립되는 것은 아니다. 실제, 여러 가지 평가 문제에 대해서 피험자를 사용해서 『중시도』를 실험적으로 구해보면 대략 덧셈적인 측도를 나타내는 피험자는 거의 없다고 해도 좋다. 그러나 전원이 가리키는 최저한의 성질은 단조성이다.
이 예에 볼 수 있듯이 퍼지 측도는 인간이 가지는 주관적 평가나 판단의 척도다. 즉 측도론에서의 퍼지네스는 판단에서의 『주관성』으로서 퍼지네스를 말한다. 확률 개념도 이 퍼지네스의 특수한 경우를 대상으로 하는 것이다.
그런데 퍼지 측도의 단조성의 조건은 다음 (2') 또는 (2'') 의 조건과 같다는 것이 제시되어 있다.

(2')
(2'')

단, ∨ 와 ∧ 는 퍼지 집합론에 나온 것처럼

" 와 의 큰쪽 값
" 와 의 작은쪽 값

이라는 의미다. 예를 들면

,  

이므로 는 보다 크고 또 보다도 크다. 따라서 와 의 큰쪽보다도 크다.

가능성 측도와 필연성 측도

퍼지 측도에는 여러 가지 종류가 있고 확률측도와 디렉 측도도 퍼지 측도라는 것은 이미 본 그대로다. 퍼지 측도의 분류 연구도 되고 있지만 특히 대표적인 것으로는 가능성 측도 와 필연성 측도 이 흥미있다. 다음 (3) 의 조건을 충족하는 퍼지 측도는 가능성 (possibility) 측도라고 한다.

(3)

이것은 (2') 에서 부등호를 없애고 등호만으로 한 것, 즉 퍼지 측도의 말하자면 하한이다. 또 다음 조건

(4)

를 충족시키는 것은 필연성 (necessity) 측도라고 한다. 이것은 (2'') 의 부등호를 취한 것으로 퍼지 측도의 상한이다.
그중에서도 가능성 측도는 확률측도와 자주 비교된다. 그것은 포서빌리티 (가능성) 개념과 프로버빌리티 (개연성) 개념의 관계가 흥미있고 가능성 측도는 퍼지 집합에 밀접하게 결부되어 있기 때문이다. 확률론에 대해서 가능성 이론이라는 것이 있다. 확률론에 확률분포라는 개념이 있는 것처럼 가능성 이론에는 가능성 분포라는 것이 있다. 예를 들어 보자. 약간 떨어진 곳에 주차장이 있고 1 대의 승용차가 있다고 하고 그 차에 『몇 사람 타고 있는가』라는 가능성을 생각하자. 여기서 가능성이라는 것을 『두 사람이 탄다』는 것은 가능한가, 『다섯 사람이 탄다』는 것은 가능한가 하는 판단을 하기로 한다. 가능성의 크기를 예에 따라서 0에서 1 까지의 수치로 표현한다. 완전하게 가능하면 1, 불가능하면 0 으로 한다. 타고 있는 인원수에 가능성의 크기를 대응시켜 보자. 차는 멈추어 있으므로 한 사람도 하지 않았다는 것은 완전하게 가능하므로, 가능성의 크기는 1, 동일하게 한 사람, 두 사람의 가능성 크기도 1, 그러나 인원수가 증가하면 물리적으로 타는 것이 불가능해지므로 가능성의 크기는 0 에 가까워진다. 표 3 에서처럼 가능성의 크기를 값으로 하는 함수를 가능성 분포라고 한다. 이미 알아차렸을 것으로 생각되지만 가능성 분포는 퍼지 집합의 멤버십 함수를 닮았다. 예를 들면 『차에 탔다고 생각되는 (가능한) 인원수』라는 퍼지 집합을 생각하면 그 멤버십 함수는 가능성 분포 자체가 될 것이다. 가능성 이론에서는 반대로 퍼지 집합의 멤버십 함수를 가능성 분포로 생각한다는 입장을 취한다. 예를 들면

『 는 작은 수다』

표 3  승차인원수의 가능성 분포

표 4  

라는 언명을 생각하자. 단 『작은 수』라는 퍼지 집합  의 멤버십 함수가 표 4 와 같다고 하자.
이 언명 하에서 『 가 2 다』라든가 『 가 5 다』라는 가능성, 일반적으로 『 는 작은 수다』라는 가능성을 다음과 같이 정의한다.

즉 『 는 작은 수다』로 간주되는 가능성은 퍼지 집합 에서의 의 그레이드 자체가 된다. 이

를 『 는 작은 수다』라는 언명에서의 가능성 분포라고 한다.
여기서 이야기를 약간 넓혀서 『 가 4 이거나 5 이거나 6 이다』는 가능성, 일반으로 를 의 부분집합으로서 『 가 에 포함된다』는 가능성을 생각하자. 이것을

로 표시하고 다음과 같이 정의한다.

Poss 는 possibility 에서 택한 것으로 식의 우변은 가 의 가운데 값을 순서대로 취할 때의 의 최대값을 의미한다. 그래서

가 된다. 왜냐 하면

, ,

이 되고 표 4 의 멤버십 함수에서 가 가장 크다는 것을 알 수 있기 때문이다.

개연성과 가능성의 유사점

이제까지의 것에서 개연성 (확률) 과 가능성의 유사점을 보면 확률론에서는 주사위의 예처럼 『주사위를 던진다』라는 (확률의) 장을 설정하고 이어서 『주사위의 눈 가 4 이거나 5 이거나 6 이다』라는 확률

을 생각한다. 한편 가능성의 이론쪽은 『 가 작은 수다』라는 언명을 주어도 『작은 수가 4 이거나 6 이다』라는 가능성

를 생각한다. 가능성 이론의 『언명』이라는 것은 확률론의 『장』에 상당한다.
그런데 가능성은 그 정의식에서 다음 성질이 유도된다.

라는 것은

가 성립하기 때문이다. 즉 『작은 수가 나 에 포함된다』는 가능성은 『 에 포함된다』는 가능성과 『 에 포함된다』는 가능성의 큰 쪽 값으로 결정된다.
여기서 집합에 대해서 정의되는 함수 를

라고 하면 는 바로 가능성 측도다. 확률측도 와 비교하기 위해

로 가정하면 확률측도가

인 데 대해서 가능성 측도는

다.

측도의 쌍대성

더 흥미 깊은 것은

처럼 집합함수 을 정의하면 이것은 필연성 측도가 된다. 필연성 측도는 확실성 측도 (certainty measure) 라고도 하지만 그 의미를 생각해보면, 우변의

는 1 (가능성의 최대값)에서 가능성의 크기 를 뺄셈하고 있으므로 불가능성의 크기로 간주할 수 있다. 또 의 알맹이 는 의 보집합으로서, 이외의 부분을 표시하므로 가 에 포함된다는 것은 가 에는 포함되지 않는다는 것을 의미한다. 『 가 에 포함된다』는 필연성 (necessity)을

로 정의하면

를 얻는다. 이 식은

『 가 에 포함된다』는 것의 필연성
  =『 가 에 포함되지 않는다』것의 불가능성

이라는 관계를 의미한다. 이것은 양상 논리이며 필연성과 가능성의 관계를

『 는 필연적이다』=『비 는 가능적이 아니다』

로 한 것과 동일하다.
한편, 반대로

라는 관계도 성립되고 이것은

『 는 가능적이다』=『비 는 필연적이 아니다』

를 의미한다.
또 확률측도 에 대해서는 앞에 가리킨 것처럼

이므로

가 성립된다. 그래서 개연적 (확률적) 판단에 대해서

『 는 개연적이다』=『비 는 개연적이 아니다』

를 얻는다. 일반적으로 퍼지 측도 에 대해 를

와 같이 정의하면 도 퍼지 측도가 된다. 는 에 대해서 쌍대인 퍼지 측도라고 한다. 따라서 가 어떤 『양상』하에서 불확실성의 측도라고 하면 는 그것과 쌍대인 『양상』하에서의 불확실성의 측도다. 즉

가능성	쌍대 ←――→	필연성
개연성	쌍대 ←――→	개연성

라는 관계가 있다. 『개연성』이라는 『양상』은 말하자면 자가쌍대다. 게다가

라는 관계에 대응해서 가능성 측도와 필연성 측도에 대해서는

가 성립된다. 그리고 필연성, 개연성, 가능성의 대소 관계는

「 는 필연적」 「 는 개연적 」 「 는 가능적」
「 는 필연적 아니다」 「 는 개연적이 아니다」 「 는 가능성 아니다」

다. 예를 들면 동전을 던져서 표면이 나오는 필연성은 0, 개연성은 1/2, 가능성은 1 이다.
측도가 주어지면 적분 개념이 생긴다. 확률적 기대값이라는 것은 확률 측도에 의한 적분이며 측정에서는 퍼지 적분의 개념을 얻지만 너무 전문적이어서 본서에서는 언급하지 않기로 한다.