느슨하고 애매한 퍼지 집합들

퍼지식사고 : Bart A. Kosko 저, 공성곤. 이호연 역, 김영사, 1995 (원서 : Fuzzy Thinking, Hyperion/Disney Books, 1993), Page 187~238

숫자도 퍼지하다

퍼지 엔트로피의 피트 (fit) 들

막스 블랙 : 애매한 집합

로트피 자데 : 퍼지 집합

퍼지 집합에서 시스템으로

모든 것은 여러분이 그것을 정확하게 만들기 위하여 노력할 때까지 깨닫지 못할 정도로 애매하다 . - 버트런드 러셀 : 논리적 원자론의 철학

팔걸이 의자, 독서용 의자, 식탁의자, 부엌의자, 벤치가 된 의자, 경계를 가로질러 긴의자가 된 의자, 치과병원용 의자, 오페라 극장의 의자, 모든 종류의 의자 등 공예품 전시장의 실내를 방해하는 그러한 세균과 같은 놀라운 증가를 생각해 보라. 그러면 여러분은 그러한 사실상의 느슨한 묶음이 이렇게 단순하고도 직설적인 용어로 표현되고 있다는 것을 알게 될 것이다. 나는 여러분의 의자 또는 의자 같은 것에 대해 어떠한 정의를 하더라도 그것을 무효화할 수 있다고 장담한다.  - 찰스 피어스 : 철학 및 심리학 사전, 제 2 권, 1902

의자라는 낱말의 애매함이란, 느낌들의 사용과 관련된 응용을 하는, 모든 용어에 있어서 전형적인 것이다. '가장자리에 걸린 경우' 혹은 '확실하지 않은 대상들' 과 같은 모든 경우에서 그 부류의 이름이 적용되는지 또는 적용되지 않는지를 말할 수 없다는 것을 우리는 쉽게 발견한다.  - 막스 블랙 : '애매함 : 논리 분석에 있어서의 연습' , 과학의 철학, 제 4 권, 1937

고전적인 논리는 마치 검은색 양복, 빳빳한 흰 와이셔츠, 검은색 넥타이에 반짝이는 구두를 신고 파티에 참석한 사람과 같다. 반면에 퍼지 논리는 격식을 차리지 않고 청바지, 티셔츠에 운동화를 신고 온 사람과 같다고 할수 있다. 과거에는 이러한 비공식적인 복장은 허용되지 않았을 것이다. 오늘날에는 이것은 또 하나의 다른 방식이 되었다.  - 로프티 A. 자데 : 계산기를 위한 연관의 통신, 제 27 권, 1984

낱말은 집합을 나타낸다. 집 (house) 이라고 하는 낱말은 많은 집들을 대표한다. 그것은 우리들 각자에게 다른 집을 나타내는데, 그 이유는 우리들 각자가 서로 다른 집들에 관하여 보고, 읽고, 살고 있으며, 또 동경해 왔기 때문이다. 우리는 모두 같은 낱말을 말하고 쓰지만, 같은 낱말을 생각하고 있지 않다. 낱말은 대중적이지만 우리가 배우는 집합은 개인적이다. 그리고 우리는 집합으로 생각한다.

집은 집들의 집합, 일련의 집들, 그리고 우리가 '집' 이라고 가리킬 수 있고 부를 수 있는 그러한 것들의 그룹 또는 모임을 나타낸다. 그러나 어떤 구조물이 집이고 어떤 구조물이 집이 아닌가? 여러분은 어떤 것들은 다른 것들보다 좀더 쉽게 집이라고 가리킬 수 있을 것이다. 그러면 성곽, 트레일러, 이동식 주택, 연립 가옥, 가끔씩 이용하는 콘도미니엄, 인디언의 천막, 몽고식 천막집, 달개집, 동굴, 천막, 뒷골목의 종이 상자와 같은 것들은 어떤가? 그것은 정도의 문제이다. 어떤 것은 다른 것들보다는 좀더 '집' 답다. 그것들은 어느 정도 만큼은 집이고 그리고 동시에 어느 정도로는 집이 아니다. 예외들은 집과 집이 아닌 것과의 경계를 애매하게 한다. 그래서 A AND not-A 가 성립한다. 그래서 퍼지성이 성립한다. 집이라는 명사는 집들의 퍼지 집합을 나타낸다.

그것은 명사로 그치지 않는다. 형용사를 덧붙여도 여러분은 여전히 퍼지 집합을 가지게 된다. '낡은 집' 은 집의 더 작은 집합을 나타낸다. 그것은 집의 집합의 부분 집합 중 하나이다. 모든 낡은 집은 집이지만 모든 집이 낡은 집은 아니다. 그러나 얼마나 낡아야 낡은 것인가?

어떤 집은 더 낡았다. 그것은 정도의 문제이다. 어떤 낡은 집은 다른 낡은 집에 비해 낡은 집의 집합에 더 많이 속한다. 우리는 심지어 햇수나 개월 수 또는 분까지도 나누어 낡은 집들의 순서를 정렬할 수도 있다. 매우 낡은 집은 집의 집합 속의 더욱 작은 집합, 즉 낡은 집의 집합의 부분 집합이다. 우리는 또한 그들의 나이로 낡음의 정도를 순서적으로 정렬할 수 있다. 중세기의 오두막집은 퀘이커 농장 또는 시민전쟁 시대의 통나무집보다 더 매우 낡은 것이다.

이것을 생각해 보자. 우리의 두뇌는 퍼지 집합들로 가득 차 있다. 우리들은 모두 퍼지 집합들로 생각하고 다른 방식과 다른 예로 퍼지 경계들을 각각 정의한다. 우리는 퍼지 집합 속에 우주의 가구들을 쌓는다. 우리는 사물들을 느슨한 퍼지 집합들로 그룹짓고, 그 그룹들을 가지고 놀며 연관성을 찾는다. 생각이란 집합의 유희이다. 그것이 곧 퍼지 논리란 무엇인가, 즉 퍼지 집합으로 추론하는 것이다.

퍼지 논리는 우리의 컴퓨터로 하여금 퍼지 집합들을 가지고 생각하게 한다. 그리고 컴퓨터가 퍼지 집합을 가지고 추론하도록 하는 것이 바로 진보이다. 낱말이나 기호열 또는 컴퓨터 과학자들의 소위 '언어 문자열' 이 아니라 퍼지 집합이다.
이 장은 퍼지 집합의 세계를 탐구한다. 우리는 퍼지 집합의 아이디어와 수학과 역사와 정치에 관하여 탐구하고, 또 이것이 어떻게 전기 면도기와 전자 레인지와 우주왕복선에 있는 로봇 팔의 기계 지능지수를 향상시키는 퍼지 시스템으로 가는 길을 포장하는지를 탐구할 것이다.

나는 퍼지 집합이 일시적으로 유행하는 아이디어나 컴퓨터 부속품, 혹은 흑백 논리 규칙에 대해서 누군가가 만든 예외 같은 것이 아니라는 것을 보이고 싶다. 퍼지 집합은 인간의 지능과 기계 지능을 상징하는 것이고, 기호와 아이디어의 순수한 결혼이며, 우리가 회색의 세계에 대처해 나아가는 길이다. 퍼지 집합은 표현적이다.

숫자도 퍼지하다

모든 것은 정도의 문제이다. 그렇다고 숫자들에 관해서는 어떠한가? 숫자는 정확성을 보증하는 것이다. 그런데 숫자들도 역시 퍼지하게 만들 수 있는가? 칸트 (Kant) 가 질문했던 것처럼 퍼지 숫자란 가능한 것인가?

오랫동안 답변은 '아니오'였다. 어떻게 숫자들이 퍼지하게 될 수 있겠는가? 숫자들은 '순수한 형태' 이고, 그렇거나 또는 그렇지 않거나 둘 중에 하나이다. 숫자들은 숫자들의 집합에 전부 속하거나 또는 전혀 속하지 않는다. 홀수와 짝수. 모든 정수는 홀수이거나 아니면 짝수이고, 그 사이라든가 중간 영역 혹은 회색의 경우에 있는 것은 없다.

과학자들은 일상의 퍼지 집합과 퍼지한 생각의 엉성함으로부터 탈피하는 것처럼 보이는 수학을 고안해 냈다. 최근 그들은 더 나아가서 컴퓨터에서 퍼지 집합을 몰아내기 위하여 노력하고 있다. 그리고 그들은 성공하였다. 그래서 컴퓨터는 바보가 되었다. 컴퓨터는 숫자를 더하는 일은 잘 하지만 대부분 영상에서는 얼굴이나 집을 인색해 내지 못한다. 흑과 백의 수학 세계에서 퍼지성이 어디에 숨을 수 있겠는가?

숫자 0 을 생각해 보자. 어떤 고대사회에서는 0을  발견하는 데 수천 년이 걸렸다. 이제 우리는 수직선 위의 뾰족한 눈금 하나로 0 을 한눈에 알아볼 수 있다(그림 1).

그림 1

눈금은 숫자 0 이 0 의 집합에 100% 속하고 다른 어떤 숫자도 그 집합에 속하지 않는다는 것을 의미한다. 모든 숫자는 0 의 집합에 속하거나 또는 속하지 않는다. 전부 속하거나 또는 전혀 속하지 않는다. 이러한 집합의 개념에서는 숫자 0 만이 0 의 집합에 속한다.

그러나 0 에 가깝거나 또는 거의 0 인 숫자들은 어떻한가? 이러한 숫자들은 큰 숫자들이나 중간 정도의 숫자들 또는 매우 작은 숫자들처럼 퍼지 숫자들이다. 그들은 0 에 가까운 숫자들의 스펙트럼을 정의하며, 어떤 것은 그 집합에 속하는 다른 숫자들보다 더 많이 속한다. 어떤 작은 숫자가 0 에 가까울수록 그 숫자는 작은 숫자으 퍼지 집합에 보다 많이 속하게 된다. 숫자 1 은 숫자 2 보다 0 에 더 가깝고, 2 는 3 보다 0 에 더 가깝다. 이와 마찬가지로 음수 -1 은 -2 보다 0 에 더 가깝고, -2 는 -3 보다 0 에 더 가깝다. 숫자 0 은 0 의 집합에 100% 속하지만 가까운 숫자들은 단지 80% 또는 50% 또는 10% 속할 수도 있을 것이다. 우리는 퍼지 숫자 0 을 정확한 숫자 0 을 중심으로 종 모양의 곡선 혹은 삼각형으로 그릴 수 있다(그림 2).

그림 2

만일 우리가 삼각형을 충분히 좁게 그리면, 우리는 고전적인 수학의 뾰족한 눈금으로 돌아가게 된다. 그것은 또 다른 놀라운 점이다. 우리가 알고 있는 수학이란 단지 퍼지 수학의 하나의 특별한 경우, 특별한 극한의 경우-회색의 수학 세계에서 흑과 백 극단으로 변질된 경우이다. 우리는 뾰족한 눈금 (숫자) 들을 더하거나 뺄 수 있는 것처럼 삼각형을 더하거나 뺄 수 있다. 각 사람이 집, 작은, 영리한, 공정한, 좋은, 깨끗한 등에 대해 다르게 생각하는 것처럼, 사람들은 퍼지 숫자들을 다른 식으로 그릴 수 있다. 퍼지 숫자 0 (ZERO) 을 그리는 방법은 숫자가 있는 만큼이나 많다.

우리는 퍼지 숫자를 가지고 무엇을 할 수 있는가? 여러분은 그것들을 가지고 추론을 할 수 있다. 우리는 항상 그렇게 하고 있다. '퍼지 논리' 란 퍼지 숫자들과 퍼지 집합들을 가지고 추론하는 것을 의미한다. 만일 자동차의 속도가 너무 빠르면, 속도를 줄여라 (액셀러레이터 페달을 약간 올려라) 형태의 만일 …이면, …이다 (if-then) 의 문장 또는 경험적인 법칙 속에서 컴퓨터가 퍼지 숫자들을 가지고 추론하도록 하는 것을 의미한다.

만일 자동차가 왼쪽으로 너무 많이 후진하면, 운전 핸들을 오른쪽으로 약간 돌려라. 만일 자동차의 교통량이 남북 방향으로 심하면, 초록색 신호등을 오래 지속시켜라. 각 용어는 퍼지 집합을 나타낸다. 매일매일의 도로의 교통량은 어느 정도만큼 심하다. 모든 초록색 신호등은 어느 정도만큼 오래 지속된다. 지식 또는 지능은 이렇게 두 가지의 퍼지 사건을 연관시키는 것으로부터 나온다.

지금까지 우리는 숫자들도 역시 퍼지하다는 점을 증명하였다. 그리고 우리는 언제나 퍼지 숫자들을 가지고 작업한다. 그리고 만일 숫자들이 퍼지하다면, 모든 것이 그러하다. 모든 것이 퍼지다.

다음 질문은 퍼지 집합에 관한 특별한 것이다. 퍼지 집합은 무언가 새로운 것을 이끌어 내는가? 퍼지 집합은 경계가 애매모호할 때, 어떤 것이 그와 반대되는 것과 중복될 때, 그리고 A 가 not-A 와 중복될 때 발생한다. 이것은 무언가 특별한 것을 제시하는가? 중복 혹은 모순 A AND not-A 의 상태는 2 치 논리에서는 성립될 수 없다. 그래서 과학자들은 여기서 어떤 성질들을 놓쳤을지도 모른다.

아니, 그들은 놓쳤다. 그들은 퍼지 엔트로피를 놓쳤다 (그들이 부분집합성을 놓치고, 정의되지 않은 '무작위성' 또는 '확률' 을 잘못 이해하고 있는 것과 마찬가지로). 만일 퍼지 집합이 없다면, 퍼지 집합에 관한 성질이 없을 것이다. 그러나 퍼지 집합은 존재하고, 첫째 번 질문은 바로 퍼지 집합들이 얼마나 퍼지한가에 관한 것이다. 여러분은 어떤 퍼지 집합의 퍼지성을 어떻게 측정하는가?

퍼지 엔트로피의 피트 (fit) 들

퍼지 엔트로피는 퍼지 집합의 퍼지성을 측정한다. 이것은 어떤 퍼지 집합이 얼마나 퍼지한가? 하는 질문에 대한 대답을 제공한다. 그리고 그것은 정도의 문제이다. 어떤 퍼지 집합은 다른 것보다 더 퍼지하다.

엔트로피는 어떤 시스템에서의 불확실성 또는 무질서를 의미한다. 집합은 하나의 시스템 또는 어떤 사물의 모임을 기술한다. 집합이 퍼지할 때, 원소가 어떤 정도만큼 그 집합에 속해 있을 때, 그 집합은 어떤 정도만큼 불확실하거나 애매하다. 퍼지 엔트로피는 이러한 정도를 측정한다. 그리고 그것은 너무나 단순하여 여러분은 입방체의 그림에서 이것을 이해할 수 있다. 우선 최근의 역사 몇 가지를 소개하겠다.

나는 1985년에 퍼지 집합에 관한 기하학을 처음으로 연구하고 있을 때 퍼지 엔트로피의 척도를 발견하였는데, 처음에는 연구실에서 루빅 큐브를 가지고 놀고 있었고, 나중에는 그 결과를 샌디에이고 소재 캘리포니아 주립대 (UCSD)에서 있었던 나의 퍼지 강의에서 강의와 숙제로 발표하게 되었다. 나는 퍼지 엔트로피에 관한 논문을 썼고, 그것을 나의 박사 학위 논문에 집어넣었으며, 그 후에도 여러 번 이것에 되돌아오곤 했는데, 그럴 때마다 나는 매번 퍼지 엔트로피의 기하학에 대해 좀더 알 게 되곤 했다.

그리고 몇 년 후 1991년에 나는 퍼지성과 열역학 및 정보 이론에서의 고전적인 엔트로피의 개념과의 연계를 발견하였다. 여러분은 심지어 덧셈을 일반적인 혹은 '상호적인' 퍼지 엔트로피로 만들 수도 있지만 그것은 다른 이야기이다. 1986년 초에 나는 퍼지성이 아리스토텔레스에 대한 부처의 비율 (ratio), 부처의 A AND not-A 와 아리스토텔레스의 A OR not-A 의 균형이라는 것을 말해 주는 퍼지 엔트로피 정리를 증명하였다. 여러분은 잠시 후 이것을 아래에서 알 게 될 것이다.    

첫째 장에서 나는 청중들이 어떤 질문에 대한 답을 하기 위하여 손을 들 때 어떻게 그들이 퍼지 집합을 형성하는가를 설명하였따. 결혼하였습니까? 그렇다면 손을 드시오. 이것은 청중을 두 조각, A 부분과 not-A 부분, 결혼한 사람과 결혼하지 않은 사람으로 나누게 된다. 이 규칙은 결혼한 사람과 하지 않은 사람들 사이를 구분하는 경직된 선을 그린다. 이제 손을 내리시오. 여러분 중 얼마나 많은 사람이 행복합니까? 젊습니까? 휴식하고 있습니까? 자유스럽습니까? 날씬합니까? 키가 큽니까? 똑똑합니까? 정직합니까? 손을 드십시오. 이제 여러분은 손을 자신 있게 올릴 수도, 또는 자신 있게 내릴 수도 없을 것이다. 어떠한 규칙도 행복함과 행복하지 않음, 젊음과 젊지 않음, 정직함과 정직하지 않음 사이에 선을 그릴 수 없다.

우리의 퍼지 논리는 반대 개념들 사이에 경직된 선을 긋지 않는다. 우리는 행복함과 불행함, 날씬함과 뚱뚱함, 정직함과 부정직함의 혼합으로 살고 있다. 손을 번쩍 들거나 아주 내린 사람들 속에서, 여러분은 완전한 예스와 완전한 노의 두 극단 사이에 위치하고 있음을 알 게 될 것이다. 그리고 여러분은 누군가가 다음과 같은 질문을 할 때 이것을 느낄 수 있다. 동의합니까? 여러분은 우리 편입니까? 이것을 하겠습니까? 이것을 하였습니까? 이해하였습니까?

이와 같은 청중의 예는 퍼지 집합이 실제로 존재한다는 것을 보여준다. 퍼지 집합은 수학의 밖에 존재한다. 그것들은 우주의 모든 물체 주위로 우리가 던지는 모든 그물 안에 살고 있다. 어느 정도만큼 우리는 모두 모든 분류와 믿음 체계 및 일시적 유행과 숭배와 동향에 속해 있다. 우리는 모두 모든 정치단체, 모든 성적인 성향, 모든 생활 방식, 모든 면의 논쟁에 어느 정도만큼 개입되어 있다. 우리는 모두 왼쪽, 오른쪽, 중심, 똑바름, 명랑함, 이중성, 침착함, 올바름, 평범함, 우호적임, 적대적임 및 무관심함을 가지고 있다. 우리는 어느 정도인지는 알지 못한다 하더라도, 어느 정도만큼은 그러하다는 것은 누구나 알고 있다.

영화와 책과 예술은 우리들 자신의 여러 측면을 볼 수 있도록 한다. 우리는 나이를 먹으면서 성장하고 배우는데, 그것은 우리의 정도가 변한다는 것을 의미하고, 우리가 어떤 사물에서 그와 반대되는 사물로, 신념에서 불신으로 이동하거나 혹은 다시 거꾸로 이동하면서 우리의 피트 (fit), 즉 퍼지 단위 (fuzy unit) 는 바뀐다. 어떤 사람, 어떤 단체, 또는 어떤 정부가 그들의 방법으로 우리를 강요할 때, 즉 우리를 모두 A 또는 모두 not-A 로 만들려고 할 때, 우리의 피트를 비트 (bit) 로 만들고 우리의 퍼지성을 말살하려고 할 때 분쟁이 발생한다. 이러한 의미에서 투표란 단지 말썽을 일으키기 위한 것이라고 할 수 있다.

또한 청중의 예는 우리를 퍼지 집합의 기하학에 가까이 갈 수 있게 해 준다. 먼저 우리는 투표를 기호로 번역하고 그 기호를 수학적 그림으로 바꾸도록 한다. 25 명의 사람이 청중 가운데에 앉아 있고, 우리가 그들에게 결혼했는지 묻는다고 가정해 보자. 이를테면 10 명이 손을 들었다면 15 명은 손을 내리고 있었을 것이고, 그 답은 2 진수일 것이다. 2 진수 0 과 1 이 이들을 나타낸다. 25 자리의 2 진수의 열이 전체 청중의 답을 설명한다. 만일 셋째 번의 자리에 있는 사람이 손을 들었다면 셋째 번 자리에 1 이 들어가도록 한다. 손을 들지 않았을 경우에는 그 자리에 0 을 넣는다. 하나의 2 진수열

1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0

은 25 명의 사람이 손을 들고 들지 않을 수 있는 하나의 방법을 나타낸다. 경우의 수는 3 천 3 백만 (2²⁵) 가지 이상이나 된다. 각 비트 열은 3 천 3 백만 개가 넘는 꼭지점을 갖는 25 차원의 다차원 입방체 (hypercube) 의 꼭지점 중 하나를 정의한다. 여러분은 8 개의 꼭지점을 갖는 3 차원 입방체 이상의 입체를 머리 속에 그려 볼 수 없으며, 그러한 퍼지 구조를 볼 필요가 없다. 비트 열 혹은 입방체의 꼭지점은 아무런 퍼지 구조를 가지고 있지 않다. 그들은 흑과 백이고, 아리스토텔레스의 A OR not-A 는 100% 성립하며, 그들의 퍼지 엔트로피는 0 이다.

이제 사격 연습장에서 트랩 사격 시합을 한판 한다고 생각해 보자. 여러분이 "당겨!" 하고 외치면 심판은 버튼을 누르고 트랩 박스는 흙으로 만든 비둘기를 시간당 45 마일의 속도로 날린다. 그리고 목표물이 사격장 위로 높은 원호를 그리며 멀어지면서 날아갈 때 여러분은 그 목표물을 12 구경의 산탄총으로 겨누어 사격한다. 여러분은 이것을 25 번 반복하여 상자에 있는 25 개의 탄환을 다 쓴다.

심판은 여러분이 각 흙비둘기를 맞혔거나 혹은 맞히지 못했다고 말할 것이다. 심판은 여러분이 맞히지 못했다고 생각하면 "실패!" 라고 외치고 2 진수열의 점수표에 0 을 기입할 것이다. 심판은 여러분이 흙비둘기를 맞혔다고 생각하면 아무 말도 하지 않고 1 을 기입할 것이다. 좋은 사격은 흙비둘기를 가루로 만들어 버린다. 심판은 언제나 이러한 것을 명중이라고 한다. 정확하지 않은 사격은 흙비둘기에 흠을 내어 그것으로부터 작은 조각을 떼어내기만 한다. 이것은 흙비둘기를 단지 어느 정도만큼만 부수었다.

이러한 것은 퍼지한 명중이고, 심판은 이들을 명중이라고도 또는 실패라고도 말할 수 있다. 다음 사수가 자기 차례를 기다리는 동안 그러한 부정확한 명중에 대해 논쟁을 하는 것은 그리 명예스러운 일이 아니며 이득도 없다. 그래서 돌아서서 심판을 쳐다보거나 고개를 가로젓는 일 이상의 행동을 하는 사수는 거의 없다. 대부분의 사람들은 그냥 2 치 값의 탄환을 물어뜯거나 심판이 결정하는 대로 내 버려둔다.

한 바퀴 다 돌고 났을 때, 심판은 25 발의 사격 중에서 명중시킨 수를 점수로 불러 주고, 각 사수들은 자신의 25-비트의 점수열을 쳐다보게 된다. 또다시 여러분의 점수열은 여러분에게 25 차원의 다차원 입방체의 3 천 3 백만 개가 넘는 꼭지점들 중 하나를 가져다 준다. 그리고 또다시 퍼지 엔트로피는 존재하지 않는다. 명중의 집합은 A, 실패의 집합은 not-A 이고, 두 집합은 서로 겹치는 부분이 없다. 그러나 흙비둘기는 어느 정도만큼만 깨졌고, 완전하게 깨진 것도 전혀 깨지지 않은 것도 아니다. 그래서 점수는 얻지 못하더라도 트랩 사격을 한 바퀴 도는 것에는 퍼지 엔트로피 또는 애매함 혹은 '시스템 무질서' 가 있다.

심판이 각 사격을 명중 (HIT), 실패 (MISS), 또는 흠집냄 (NICK) 으로 점수를 매기고 점수표에 1 혹은 0 혹은 1/2 로 기입하였다고 생각해보자. 나는 심판과 사수에게 세 가지의 값을 갖는 점수를 제안하였지만 아무도 그것을 원하지 않았다. 그들은 그것이 보다 정확하다는 것을 인정하였지만, 그것은 시합을 복잡하게 만들고 이점이 별로 없어서 그들은 보다 공정한 것보다는 단순한 점수를 더 좋아하였다. 또한 만일 흙비둘기가 완전히 깨지지 않은 많은 경우에 대해 심판이 1 대신에 1/2 을 기입한다면 대부분의 점수의 합계가 내려갈 것이라고 나는 생각한다.

그러나 심판이 불완전하게 깨진 경우를 흠집냄 (NICK) 이라고 점수를 매기고 점수열에 1/2 을 기입한다고 생각해 보자. 이제 더 많은 경우의 점수표가 생길 것이고, 대부분의 점수가 퍼지 엔트로피를 가지게 될 것이다. 이전에는 3 천 3 백만 (2²⁵) 가지 이상의 비트 점수들 혹은 입방체의 꼭지점이 있었다. 이제는 거의 1조 (3²⁵) 가지나 되는 가능한 점수열이 존재하게 되고, 3 천 3 백만 가지를 제외한 모든 경우가 최소한 하나의 흠집냄 (NICK) 또는 중간 점수를 포함하는 피트 점수들이다. 피트 점수들은 3 천 3 백만 개가 넘는 꼭지점을 갖는 25 차원의 퍼지 다차원 입방체의 내부에 존재한다. 새로운 1 조 개 정도의 점수는 퍼지 입방체 내의 격자를 정의한다. 그리고 모든 흠집냄의 점수열 (1/2 1/2 … 1/2) 은 입방체의 중심점을 정의하고 100% 의 퍼지 엔트로피를 갖는다. 모든 다른 피트 점수들은 0% 이상 100% 이하의 퍼지 엔트로피를 갖는다.

만일 심판이 보다 많은 점수들을 허용한다면 퍼지 입방체가 채워지게 된다. 이것을 한 번에 두 개의 목표물이 있는 경우의 사격으로 살펴보자. 여러분이 "당겨!" 하고 외치면 이번에는 트랩에서 서로 다른 각도로 두 개의 흙비둘기가 발사되고 여러분은 하나를 사격하고 다른 것을 겨냥하여 또 사격한다. 비트의 경우에는 네 가지의 가능한 결과들이 나오게 된다.

여러분이 둘 다 실패하였다면 (0 0). 둘 다 명중시켰을 경우 (1 1). 혹은 여러분이 첫째 번 흙비둘기를 맞히고 둘째 번 흙비둘기를 놓쳤다면 (1 0), 혹은 첫째 번 것을 놓치고 둘째 번 것을 맞추었다면 (0 1). 두 개의 흙비둘기는 입방체 혹은 네 개의 꼭지점을 제공한다 (그림 3)

그림 3

이러한 2 진의 입방체는 실제로는 입방체가 아니다. 이것은 어느 사각형의 네 개의 꼭지점 또는 2 진 고양이의 미소에 지나지 않는다. 사각형의 내부에는 아무 점도 존재하지 않는다. 이것은 중심점과 무한히 많은 다른 점들을 제외하고 있다.

이제 심판이 두 개의 사격을 명중 (HIT), 실패 (MISS) 및 부분 (PARTIAL) 으로 ━ 1, 0 및 1/2 로 ━ 점수를 매긴다고 생각해 보자. 이것은 9(3²) 가지의 가능한 점수를 부여한다. 아홉 가지의 점수열에서 다섯가지는 피트 점수이고 중심점 (1/2 1/2 1/2) 은 그것들 중 하나이다. 점수 격자는 사각형을 조금 더 채우게 된다 (그림 4).

그림 4

이제 심판이 두 개의 사격을 다섯 개의 가능한 점수들로 ━ 실패 (MISS), 흠집냄 (NICK), 부분 (PARTIAL), 대부분 (MOST) 및 명중 (HIT), 또는 0, 1/4, 1/2, 3/4 및 1 로 ━ 매긴다고 가정해 보자. 이것은 25(5²) 가지의 가능한 점수열을 부여하고 퍼지 격자를 좀더 조밀하게 채운다 (그림 5).

그림 5

네 개의 비트 꼭지점은 0% 의 퍼지성을 가지고 있다. 중심점은 100% 의 퍼지성을 가지고 있다. 다른 20 개의 점수는 이러한 두 개의 극단적인 값들 사이의 퍼지 엔트로피 값을 가지고 있다.

심판은 그가 0 과 1 사이의 전체 연속 구간을 채울 때까지 점수를 점점 더 많이 허용할 수 있다. 그러면 입방체는 전부 채워지고, 속이 꽉 들어찬 하나의 입방체가 될 것이다. 입방체는 여전히 단 하나의 중심점을 가지는데, 그곳에서는 음-양 방정식이 100% 성립하며 (A = not-A ), 겹침 A AND not-A 에 관한 부처의 법칙이 100% 성립하고 있으므로 100% 의 퍼지 엔트로피를 가지고 있다. 입방체의 꼭지점은 흑과 백의 상태를 가지고 있고, 그곳에서 안 겹침 A OR not-A 에 관한 아리스토텔레스의 법칙이 100% 성립하고 있으므로 0% 의 퍼지 엔트로피를 가지고 있다. 모든 다른 입방체의 점들은 어느 정도만큼 퍼지한, 즉 회색의 성질을 가지고 있다. 퍼지 엔트로피는 중심점에 가까우면 가까울수록 그 집합은 더 퍼지하다는 것을 보여 준다. 그리고 꼭지점에 가까우면 가까울수록 덜 퍼지하다.

여러분은 두 개의 선의 길이로 퍼지 엔트로피를 측정할 수 있다. 퍼지 입방체 안에서 하나의 점을 골라 그것을 A 라고 부르자. 사격 연습장의 경우에서 첫째 번 흙비둘기를 거의 가루로 만들었지만 둘째 번 흙비둘기는 단지 부분적으로 조각을 만들었을 경우에 해당하는 점수 (2/3 1/4) 를 선택한다. 이 점수 혹은 퍼지 집합 A 를 입방체안의 하나의 점으로 표시할 수 있다 (그림 6).

그림 6

이제 A 로부터의 A 와 가장 가까운 꼭지점까지 붉은 선을 긋는다. 이 선은 여러분이 꼭지점과 얼마나 가까이 위치해 있는가, 그리고 중심점으로부터 얼마나 떨어져 있는가를 나타낸다. 그러나 모든 것은 균형이 맞아야 한다. 만일 A 가 가장 가까운 꼭지점으로부터 멀어져 간다면, 그것은 가장 먼 꼭지점에 근접할 것이고, 그 반대의 경우도 마찬가지이다. 그리고 A 로부터 A 에서 가장 멀리 떨어져 있는 꼭지점까지 푸른 선을 긋는다. (그림 7).

그림 7

그러면 퍼지 엔트로피의 백분율 척도는 푸른 선의 길이에 대한 붉은 선의 길이의 비율에 불과하다. 붉은 선의 길이를 푸른선의 길이로 나누면 여러분은 퍼지 엔트로피를 얻는다. 여러분은 A 의 애매함을 나타내는 0 과 1 사이의 숫자를 하나 얻게 될 것이다. 그 숫자가 크면 클수록 애매함 혹은 퍼지성은 더 커진다. 이 예에서 퍼지 엔트로피는 7/17, 즉 약 41% 에 해당한다. 즉, 사수가 첫째 번 흙비둘기를 거의 가루로 만들었고 둘째 번 흙비둘기를 거의 맞히지 못했기 때문에 퍼지 엔트로피는 그렇게 높지 않다. 그리고 2 차원 입방체에서 성립한 것은 모든 차원의 입방체에서도 성립한다. 붉은 선/푸른 선, 가까운 길이/먼 길이가 퍼지성을 측정한다.

양끝의 점들을 살펴보자. 여러분이 모든 흙비둘기를 명중시켰거나 전혀 맞히지 못했다고 가정한다면 A 는 꼭지점들 중 하나에 위치하게 될 것이다. 그 길이는 0 이다. 0을 어떠한 푸른 선의 길이로 나누더라도 0, 즉 0% 의 퍼지 엔트로피를 얻게 된다. 다른 극단적인 경우로 여러분이 모든 흙비둘기를 반만큼만 명중시켰다면 A 는 중심점에 위치하게 될 것이다. 그러면 모든 꼭지점은 마찬가지로 가깝고 또한 마찬가지로 멀리 위치해 있다. 따라서 붉은 선의 길이는 푸른 선의 길이와 같으며 그 비율은 1, 즉 100% 의 퍼지 엔트로피를 갖는다.

여러분은 어떠한 방 안에서도 퍼지 엔트로피를 생각할 수 있다. 어떤 방, 사무실, 혹은 홀에 서서 그 장소를 3 차원 입방체의 하나로 생각한다. 여러분의 주먹을 그 방 안의 하나의 점으로 생각하자. 그 주먹에서 가장 가까운 구석을 찾는다. 이 구석으로부터 가로질러 방의 다른쪽을 살펴보면 주먹으로부터 가장 멀리 떨어져 있는 또 다른 구석을 발견할 수 있을 것이다. 하나의 긴 대각선이 두 개의 구석을 연결한다. 주먹으로부터 가장 가까운 구석까지 붉은 선을 연결하고 주먹으로부터 가장 멀리 떨어져 있는 구석에 푸른 선을 연결한다. 붉은 선의 길이를 푸른 선의 길이로 나누면 여러분은 주먹의 퍼지성을 계산할 수 있을 것이다. 만일 붉은 선의 길이가 5 피트였고 푸른 선이 15 피트였다면, 퍼지 엔트로피는 1/3, 즉 33% 이다.

다음에는 퍼지 엔트로피 정리에 대해서 설명하겠다. 나는 1986년 1월의 어느 오후 샌디에이고 소재 캘리포니아 주립대 (UCSD) 에서 그날 밤 강의해야 할 퍼지 과목의 3 시간자리 강의를 준비하는 과정에서 이 정리를 증명하였다. 그때 나는 입방체 형태의 방에 앉아 있었고 벽에 걸려 있는 화이트 보드를 응시하고 있었다.

나는 퍼지 집합에 관하여 가르칠 좋은 책이 없다고 느끼고 있었다. 나는 그 다음 주까지 학생들에게 숙제로 부과할, 수업 중에 풀 수 있는 문제들이 필요하였고, 나 스스로 고안해 내야만 했다. 나는 퍼지성에 관한 붉은 선-푸른 선 척도를 한 달 전에 발견하였으므로 이것을 문제로 만들기 위해 좀더 주의깊게 살펴보고 싶었다. 일주일 전의 강의에서 학생들은 내가 사용했던 피트와 비트의 개념을 좋아했으므로 나는 짧은 퍼지 집합, 즉 짧은 피트 열을 사용하여 아주 쉬운 문제를 몇 개 만들었다.

곧이어 나는 다른 문제들에 대해서도 같은 해답을 얻었다. 나는 문제와 해답을 몇 개 더 만들었고, 화이트 보드에 방정식을 쓰고 그 옆에다 그림을 그렸다. 나는 흥분하여 그 문제들을 서둘러 풀었는데, 아주 빨리 그리고 아주 형편없이 썼기 때문에 나중에는 나 자신도 그것을 읽을 수 없을 정도였다.

그리고 나는 퍼지 엔트로피 정리를 기술하였다. 나는 그것을 가정하였다. 나는 그것을 화이트 보드에 붉은색 글씨로 써넣고 그것을 바라보았다. 그것은 사실임에 틀림이 없었다. 대칭성이 너무나 완벽했다. 그래서 나는 그것에 관한 증명을 썼고, 내가 가지고 있었던 직관을 확인하였다. 그것은 과거에도 사실이었고, 현재에도 사실이며, 또 언제나 사실일 것이다. 부처를 아리스토텔레스로 나눈 것이다.

퍼지 엔트로피 정리는 붉은 선이고 아리스토텔레스는 푸른 선이라고 말하고 있다.

붉은 선의 길이를 푸른 선의 길이로 나눈 것은 부처를 아리스토텔레스로 나눈 것이고, A AND not-A 를 A OR not-A 로 나눈 것이며, 겹침을 안 겹침으로 나눈 것과 같다.

이것을 이러한 방법으로 생각해 보자. 만일 여러분이 A 를 가지고 있다면, not-A 도 가지고 있다. 그래서 여러분은 또한 A AND not-A 를 가지고 있다. 그리고 또한 A OR not-A 도 가지고 있다. 일단 여러분이 하나의 집합, 즉 점을 가지고 있으면 모든 네 개의 집합도 역시 가지고 있고, 모든 네 개의 집합은 그들과 가장 가까운 꼭지점으로부터 같은 거리에 위치해 있다. 이 정리는 이 집합의 길이, 즉 셈을 사용한다. [여러분은 집합 (2/3 1/4) 을 각 피트들을 모두 더함으로써 셈할 수 있다. 1/3 + 1/4 = 11/12. 여러분이 사격 연습장에서 자신의 점수를 얻기 위하여 모든 1 과 0 을 더했던 것과 마찬가지로 모든 피트를 더한다.] 붉은 선의 길이는 부처의 항인 A AND not-A 의 셈과 같다. 푸른 선의 길이는 아리스토텔레스의 항인 A OR not-A 의 셈과 같다. 여러분은 입방체에서 이러한 길이들이 같다는 것을 알 수 있을 것이다 (그림 8).

그림 8

두 개의 점선은 같은 길이를 가지고 있고, 따라서 마찬가지로 두 개의 실선도 같은 길이를 가지고 있다. 만일 우리가 A 를 중심점에 가깝도록 선택한다면, 그 밖의 다른 세 점도 마찬가지로 중심점에 가까워질 것이다. 그래서 어떤 집합이 퍼지하면 할수록 부처의 A AND not-A 는 아리스토텔레스의 A OR not-A 와 유사하게 될 것이다. 중심점에서 모든 네 개의 점은 동일하다. A 는 not-A 와 같게 되고 음-양 방정식은 100% 성립하며 퍼지 엔트로피는 최대가 된다. 중심점에서 여러분은 백과 흑 또는 흑과 백을 구분해 낼 수 없다. 중심점은 집합론의 블랙 홀이다. 그것은 집합론의 회색 홀이다.

퍼지 엔트로피는 또 다른 놀라움을 포함하고 있다. 그것은 부처가 아리스토텔레스를 얼마나 많이 포함하고 있는지와 같다. 부분 속의 전체. 안 겹침은 겹침 속에 박혀 있다. A OR not-A 는 A AND not-A 에 박혀 있다. 부분집합성. '제 3 장 부분 속에 있는 전체' 에서 나는 부분집합성 혹은 포함 관계의 정도는 퍼지 논리에서 가장 심오하고 기묘한 아이디어라고 주장하였고, 그것은 확률, 즉 '무작위성' 을 부분 속에 붙어 있는 전체로서 설명한다. 모든 것이 부분집합성으로 귀착된다. 퍼지 엔트로피도 역시 부분집합성으로 귀착된다. 집합 A 의 퍼지성은 겹침 A AND not-A 가 안 겹침 A OR not-A 를 얼마나 많이 포함하는가와 같다.

이것은 겹침이 안 겹침의 일부분이기 때문에 특이하다. 안 겹침은 단지 어느 정도만큼만 겹침의 일부분이다. 부분 속의 전체는 퍼지 논리의 정수이다.

퍼지 엔트로피에 관한 이 절 전체가 A AND not-A 에 관한 것이다. 이 책 전체가 A AND not-A 에 관한 것이다. 회색의 색조는 A AND not-A 의 겹침으로부터 나온 것이다. 상식과 지혜와 혼동 역시 이것으로부터 나온 것이다. 퍼지 엔트로피는 이러한 아이디어들을 취하여 그들이 지금까지 전혀 존재하지 않았던 방정식으로 집어넣는다. 그것은 퍼지 집합이 수학의 벽에 던지는 회색의 색조를 측정한다.

지금까지 나는 퍼지 집합에 관한 나 자신의 수학적 연구 결과에 대해서만 이야기해 왔다. 그러나 나는 처음부터 퍼지를 연구하지는 않았다. 나는 퍼지 집합을 '발명' 하지도, 처음으로 발견하지도 않았다. 다른 두 사람이 한 것이다. 막스 블랙 (Max Black) 이 제일 먼저 아이디어를 가지고 있었다. 나중에 로트피 자데 (Lotfi Zadeh) 는 퍼지 집합에 관한 정연한 수학 체계를 만들어 이름을 부여하였으며, 일본 사람들이 기계에 적용시킴으로써 퍼지 집합을 다양하고 유명하게 만들기까지 수년 동안 퍼지 집합을 위해 노력하였다.

막스 블랙 : 애매한 집합

1937년에 양자 철학자인 막스 블랙은 '애매함 : 논리 분석에 있어서의 연습' 이라고 하는 논문을 《과학의 철학》이라는 학술 잡지에 발표하였다. 블랙의 논문은 우리가 현재 소속곡선이라고 부르는 것을 가지고 최초의 간단한 퍼지 집합을 정의하였다. 곡선 위의 점은 퍼지 집합 A 또는 집합 not-A 에 있어서 각 원소들의 피트 값을 부여한다 (그림 9).

그림 9

A 와 not-A 곡선은 퍼지 집합 이론의 핵심이다. 블랙은 모든 것이 어느 정도만큼은 A 이고 또 어느 정도만큼은 not-A 라고 생각하였다. 모든 것은 붉은색이면서 붉은색이 아니고, 크면서 크지 않으며, 부드러우면서 부드럽지 않다. 그 정도는 너무 작거나 또는 너무 커서 우리는 이들을 전무나 전부로, 0 이나 1 로 받아들이고 있다. 그래서 블랙은 이것을 0 과 1 이라는 극단적인 값에 접근하는, 그러나 그것에 반드시 도달하지 않는 곡선으로 그렸다. 그 곡선은 0 부터 1 까지, 또는 1 부터 0 까지 급격한 변화가 없다.

이 곡선들은 순수한 퍼지에 대한 또 다른 면을 보여 준다. 그들은 not-A 가 A 의 역이고 그 반대로 마찬가지라는 것을 보여 준다. 만일 여러분이 not-A 곡선에 A 곡선을 더하면 100% 값에서 평평한 선을 얻게 될 것이다. 그래서 not-(not-A) 는 A 이다. 만일 A 곡선이 1 과 만난다면, not-A 곡선은 0 과 만나야 하고, 그 반대도 마찬가지이다. 곡선은 그들이 더 퍼지해지거나 애매해질수록 극단으로부터 멀어지게 된다. 그들은 1/2 의 피트 값을 갖는 중심점에서 서로 만난다. 블랙이 말한 것처럼 "그래서 아주 정확한 기호[집합]는 수평축과 거의 평행인 직선으로 이루어지고, 그리고 그것으로부터 아주 먼 거리에서 수평축과 거의 평행이고 그것과 아주 비슷한 또 다른 직선으로 급격히 떨어지는 일관성 있는 [퍼지] 곡선을 가지고 있다". 두 개의 곡선은 A 가 not-A 와 같아지는 중심점 값 1/2 에서 서로 교차한다는 것에 주목하라.

예를 들어 만일 여러분이 각 곡선으로부터 25 개의 표본을 얻었다면, 각 표본의 열은 퍼지 사격 연습장 점수와 같을 것이고 25 차원의 퍼지 입방체 내의 한 점을 정의한다. 또다시 여러분이 표본의 수를 증가시키면 입방체의 차원이 증가하게 될 것이다. 블랙은 곡선을 그렸지만 표본 또는 피트 열을 가지고 연구하지는 않았다. "실제로 A 의 용어의 수는 보통 10 보다 훨씬 많고 (예를 들어 7백 개 정도 되는 식별할 수 있는 회색의 색조가 있다고 여겨지고 있다.) 일관성 [퍼지 집합] 곡선은 연속적인 경사도를 가지고 있는 부드러운 곡선으로 근사화될 것이다."

막스 블랙은 '애매한' 이라는 용어를 사용하였는데, 그 이유는 찰스 피어스와 버트런드 러셀, 그리고 다른 논리학자들이 현재 우리가 '퍼지' 라고 부르고 있는 것을 설명하기 위하여 사용했었기 때문이다. 이 책 전체를 예시하고 있는, 시스템 이론가 스머츠 (Jan Christiaan Smuts) 의 1926년도 저서인 「전체주의와 진화 (Holism and Evolution)」에서 인용되는 구절을 생각해 보자.

스머츠의 인용구는 20 세기 초에 퍼지 또는 애매한 세계관이 생생하고 건강하였다는 것을 보여 준다. 막스 블랙은 그 분야를 새로 만들 것을 주창하지는 않았다. 그 시대의 학자들은 애매함이 회색의 색조와 A AND not-A 를 의미한다는 것을 알았다. 스머츠는 또한, 막스 블랙은 몰랐으나 나중에 로트피 자데가 알아낸 것처럼, 애매함이 시스템에 적용된다는 것도 알았다. 스머츠는 현대의 시스템 과학으로 이끌었던 전체주의 운동을 발견하는 데 도움을 주었다.

그러면 막스 블랙이 자신의 논문에서 무엇을 했다고 주장하였는가? 그는 기호에 있어서의 애매함을 집합 혹은 시스템의 수준으로 밀어넣었다. 그는 자신의 논문에서 도입에 인용하였던 헨리 제임스의 도전을 받았다고 느꼈다. "그러나 그 표기법은 우리에게 없었던 것이며, 단순한 느낌의 판단은 변동하기 쉽다." 표기법. 공식적인 이론. 아이디어 뒤에 있는 수학. 퍼지 집합은 곡선으로 표시된다. 블랙은 다치 논리를 집합으로 확장하였고, 이러한 '퍼지' 집합이 아이디어들에 대한 우리의 아이디어들과 일치한다는 것을 보였다.

결국 블랙의 이론은 주목을 받지 못하였다. 단지 몇몇 사람들만이 읽는 엘리트 학술 잡지에서 조용히 사장되었다. 대가뭄과 공황이 미국 중서부를 휩쓸었고, 세계는 사상 최악의 세계대전을 준비하고 있었으며, 철학자들은 흑과 백의 기호 논리라는 새로운 장난감을 가지고 놀았다. 논리적 실증주의가 1930년대와 1940년대에 정점을 이루었고, 블랙의 논문은 전반적인 추세에 역행하였으므로 사라지게 되었다. 아주 조용하게 사라졌다.

블랙은 그것을 다시 주장하지 않았고, 자신이 연구하고 활성화하려고 노력했던 다치 논리의 세계에 주의를 기울이지 않았다. 수학계는 블랙의 애매한 집합에 관하여 다시는 듣지 못하였다. 살아 있는 철학자들은 과학의 세계에서 영향력이 별로 없다.
막스 블랙은 1989년 8월에 죽었다. 그는 자신이 연구했던 퍼지, 즉 애매한 논리가 일본의 텔레비전에서 영리한 세탁기 광고에 처음으로 등장했던 해에 죽었다. 그는 애매한 집합에 관한 자신의 이론처럼 조용히 죽었다. 철학의 세계는 애매함에 관한 그의 업적을 인정하지 않았다. 퍼지 세계도 마찬가지였다. 퍼지 엔지니어들도 막스 블랙이나 '퍼지' 논리를 처음으로 연구했던 다른 연구자들에 관하여 들어보지 못한 사람이 대부분이다.

애매함을 과학에 알리기 위해서는 정치적ㆍ과학적인 기술을 가진 사람이 필요했다. 그러한 사람은 흔하지 않다. 여러분이 과학의 각 분야에서 그러한 사람을 발견한다면, 그 사람은 과학이나 기타 다른 분야에서 아는 이름들일 가능성이 높다. 아이디어가 무로부터 논문이 되고, 그것이 다시 상식으로 건너뛰는 법은 없다. 모든 경우에 있어서 누군가가 뜻밖의 새로운 전개를 만들어 내고 이러한 아이디어를 널리 홍보하기 위한 새로운 방법을 찾아낸다. 이 경우에는 '애매한 (vague)' 으로부터 '퍼지한 (fuzzy)' 으로 이름이 바뀐 것과, 로트피 A. 자데라고 하는 이란에서 이주한 교수로부터 시작되었다.

막스 블랙은 1909년 카스피 해에 있는 바쿠 시에서 태어났다. 1921년에 로트피 자데 역시 바쿠에서 태어났는데, 이것은 그 두 사람이 가지고 있는 둘째 번 공통점이다.

로트피 자데 : 퍼지 집합

1965년 로트피 자데 교수는 《정보와 제어 (Information and Control)》라는 학술 잡지에 '퍼지 집합' 이라는 논문을 발표하였다. 그 해에 나는 다섯 살짜리 아이었다. 그가 그 학술 잡지의 부편집자였기 때문에 그 논문이 게재될 수 있었다. 여러분은 공학 관계의 학술 잡지에서 집합 이론에 관한 논문을 많이 보지는 못했을 것이다. 자데는 공학의 분야에 있어 거의 정상급 대학인 버클리 소재 캘리포니아 주립대의 전기공학 및 컴퓨터공학과의 정교수였다. 더욱이 자데는 학과장이었다. 그것도 역시 그 논문이 게재될 수 있었던 요인이었다.

자데는 그 첫째 번 논문 이후에 퍼지 이론에 관한 논문만을 썼다. 1968년에 그는 그 학과의 공학 분야를 떠나 좀더 '소프트' 한 컴퓨터 공학 분야로 가게 되었다. '퍼지 집합' 논문을 발표하였을 때 그는 학문적인 파워에서 절정이었다. 아무도 그 논문에 큰 관심을 기울이지 않았다. 그러나 자데는 많은 추종자들이 있는 훌륭한 연설가였다.

그는 1963년에 선형 시스템 이론에 관한 첫째 번 책을 공동으로 저술하였다. 모든 공과대학에서 이것을 교재로 사용하였다. 그래서 자데가 어떤 학과나 학술대회에 와서 강연을 할 때는 청중이 모였다. 그는 퍼지 집합에 관하여 더 많은 논문을 썼고, 더 많은 사람들이 그 논문을 읽었다.

결과적으로 자데는 컴퓨터공학으로 옮김에 따라 자신의 공학 분야의 칩 (도박을 할 때 현금 대용으로 사용하는 동전 모양의 물건 : 역자주) 을 현금으로 바꾸어 그의 새로운 퍼지에 관한 이상에 소비하였다. 그는 종신 교수였고 공학 분야에서 가질 수 있는 모든 지위를 가지고 있었다. 이제 그는 또 하나의 분야의 설립에 착수하였다. 그는 이것이 몇 년 걸린다는 것을 알고 있었지만, 그에게는 시간이 충분하였다. 그는 수학과 숫자놀음으로부터 철학과 언어로 더욱 이동하였다. 모든 과학 분야에서 수학을 더 많이 사용하는 그런 시대에, 자데는 수학을 적게 사용했다.

처음에는 그는 얻는 것보다 더 많은 수의 친구들을 잃었다. 자데의 교재로 가르쳤거나 배운 젊은 엔지니어들은 이제 이 큰 인물이 모자라고 정신이 희미하다고 글을 마구 써댔다. 비판가들은 그에게 퍼지성이 다른 모습으로 위장된 확률과 다르다는 것을 보일 것을 요구하였다.

자데는 그러한 논쟁을 전혀 개의치 않았다. 학술대회에서 연설을 할 때 그는, 우리가 추론하거나 어떤 시스템을 구축하거나 모형화할 때 언어를 어떻게 사용하는지를 지적하였다. 어떤 사람은 고개를 끄덕였고, 어떤 사람은 고개를 가로저었다.

1972년에 프랑스 보르도에서 있었던 인간과 컴퓨터에 관한 학술대회에서 루돌프 칼만 (Rudolf Kalman) 교수가 말했던 내용을 생각해 보자. 자데는 퍼지 집합과 시스템에 대해서 이야기했고, 사회자가 칼만에게 응답하도록 요청했다. 항해, 유도, 추정, 그리고 수백 가지의 다른 컴퓨터 작업에서 어떠한 다른 시스템보다도 더 많이 사용되고 있는 '칼만 필터' 를 설계했던 칼만은 다음과 같이 말했다.

칼만의 이러한 말은 경력이 적은 많은 사람들을 파멸시켰을 것이다. 그러나 자데에게는 아무런 영향도 주지 못했다. 자데는 자신이 낯이 두껍다고 항상 말하곤 하였는데, 사실 그랬다. 나는 그가 대중 앞에서 공격당하고 모욕당하는 것을 여러 번 목격하였다. 그는 단지 웃기만 하였다.

앞에서 인용한 칼만의 말은 보기보다는 깊은 뜻을 가지고 있었다. 그 두 사람은 어떤 역사를 가지고 있었다. 칼만은 1950년대 후반 컬럼비아 대학의 대학원생이었는데, 그때 자데는 그곳에서 강의를 맡고 있었다. 그들 두 사람은 같은 서클에서 공부하고 있었고 친구였지만 아주 가까운 사이는 아니었다. 두 사람은 시스템 이론을 연구하엿다. '고정된 극 (frozen pole)' 과 '형상 필터 (shaping filter)' 에 관한 자데의 연구 결과는 칼만 필터에 관한 기초를 쌓는 데 도움을 주었다. 그러나 자데는 상을 받지 못하였고, 칼만은 받았다. 그래서 우리는 그것을 자데 필터라고 부르지 않고 칼만 필터라고 부르고 있는 것이다.

계속해서 그리고 조금씩 전구와 라디오와 마이크로프로세서에 달린 칼만 필터는 인류를 위한 공학적인 이득을 주었다. 그것은 여러 개의 방정식들이기 때문에 여러 면에서 이러한 것들을 능가한다. 모든 수학처럼 칼만 필터는 영원하다. 알프레드 노벨 (Alfred Nobel) 은 엔지니어들에게 노벨 상의 기회를 주지 않았다. 만일 그랬더라면 칼만은 분명히 그 상을 받았을 것이고, 아무도 그것에 관하여 불평하지 않았을 것이다.

그렇지만 대부분의 사람들은 칼만 필터에 대해 들어 보지 못했다. 그것은 비행기와 우주 탐사 로켓, 그리고 순항 미사일을 유도하고, 위성과 경제의 추세와 혈액 흐름의 변화 등을 추적한다. 그것은 '최적의' 예측기이다. 그것은 비행기가 구름에 가리어 있을 때 비행기의 방향에 대해 '가장 잘' 예측할 수 있도록 한다. 여러분은 어떻게 미사일이 목표물을 찾고, 어떻게 우주 비행사들이 지구로 돌아오는지 궁금해해 본 적이 없는가? 칼만 필터는 어떻게 이러한 일이 가능한지 보여 준다.

다윈의 적자 생존 이론이 진화 생물학을 대표하는 것과 마찬가지로, 칼만 필터는 대부분의 공학을 대표한다. 수천 명의 엔지니어들은 칼만 필터에 약간 덧붙이거나 변형된 논문들을 발표하였다. 그리고 그들과 수만 명의 다른 엔지니어들은 그들이 최적 필터를 최초로 발견하고 공표하였다면 어떻게 되었을까 생각했다. 모든 영광과 명성과 돈. 칼만은 특허를 하나도 출원하지 않았지만.

1960년대 초에 자데 역시 가끔씩 그런 생각을 하곤 했다고 나는 생각한다. 하루는 그것에 대하여 그에게 물어 보았다. 그는 손을 내저으며 칼만 필터는 '너무나 가우시안 (Gaussian) 적' 이라고 말했다. 종 모양 곡선에 너무 의존한다는 것이다. 사실 그랬다. 그러나 종 모양 곡선은 많은 경우에 들어맞으며, 만일 여러분이 연구해야할 하나의 곡선을 선택해야 한다면 왜 종 모양 곡선이 여러분이 선택할 수 있는 가장 이상적인 곡선인지는 많은 수학적인 이유가 있다.

자데는 내가 아는 가장 현명하고 빈틈없는 사람 가운데 하나이다. 버클리에서 높은 지위에 있던 자데는 1960년대에 칼만이 그의 분야에서 좋은 성과를 하나 얻고 걸어 내려오는 것을 일찍부터 보고 있었을 것이다. 대부분의 칼만 추종자들은 1970년대 또는 1980년대까지 이것을 보지 못했다. 그리고 1950년대에 자데는 자신이 학과장이 되는 데 기여했고, 자신의 책을 시스템 과학의 고전이 되도록 해 주었던 초기의 연구 결과를 가지고 칼만 필터에 가깝게 접근했다.

나는 그 때문에 그가 갑자기 퍼지 집합으로 뛰어들었고, 버트런드 러셀과 얀 루카시에비치와 막스 블랙과 다른 사람들이 '애매한' 혹은 '다치' 라고 불렀던 것을 '퍼지' 라고 불렀다고 생각한다. 새로운 분야에서 새롭게 시작한다. 돌아서서 시스템 이론의 수학에 도전한다. 천국에서 지배당하는 것보다 지옥에서 지배하는 것이 더 낫다.

나는, 이것이 하나의 추측이고, 로트피와 나는 좋은 친구이며, 여러 해 동안 그 관계가 유지되고 있다는 것을 반복한다. 그러나 나의 생각이 그의 정황과 잘 들어맞는다. 나는 로트피에게 이것에 대해 질문했었지만 그는 내게 완전한 대답을 준 적은 없다. 그는 자신이 어떻게 미국에 오게 되었고 어떻게 퍼지 집합에 대한 아이디어를 얻게 되었는지 말해 주었는데, 나는 이것을 여러분에게 이야기하겠다. 그러나 로트피가 말했듯이 그는 자신의 페르시아 조상에 대해 여전히 진실하다.

여러분은 그를 화나게 할 수 없는 것처럼, 그를 속박할 수도 없다. 그의 정치적인 천재성은 마치 합기도 사법과 같다. 그는 항상 침착하고 마음의 평정을 유지하며, 주먹을 빗겨나가게 하고, 무엇보다도 항상 자신을 지켜 나간다. 여러 번 그는 격렬한 장소에서 나와 다른 친구들이 빠져나오도록 도와 주었다. 그는 결코 힘이 아니라 인품으로 이끌었고, 상대방을 압도하는 짓은 하지 않았다. 그는 여자와 남자를 모두 매료시켰다. 자데가 즐겨 하는 말, "친구들은 왔다가 사라지지만 적은 계속 쌓인다." 학술 토론회나 레스토랑에서 그는 모든 사람을 자신과 대화하거나 식사하는 데 기꺼이 맞이한다. 그는 진정한 의미에서의 자유스러운 사람이다.

자데는 기술적인 대화와 저녁 파티의 세계에서 살고 있다. 그는 이것 위에서 번창하고, 이것을 지속시키기 위해 세계를 비행기로 돌아다닌다. 다른 그 무엇보다도 그는 노소를 불문하고 사람들과 사귀는 것을 좋아한다.

나는 자데에게 퍼지 시스템에 관한 나의 박사 학위 논문의 사본을 보낸 직후인 1987년의 여름을 기억한다. 나는 그때 나의 새 아내와 어린 딸과 함께 살고 있었다. 어느 금요일 밤, 자데가 가까운 곳에 와서 집으로 전화를 걸어 나를 찾았다. 나는 오하이오에 있는 라이트 패터슨 공군기지에서 신경회로망과 퍼지 논리에 관한 세미나를 하느라고 멀리 떠나 있었다. 아내는 로트피에게 나는 외출 중이고 그녀는 친구 집에서 있을 파티에 참석할 예정이라고 하였다.

그들은 그때까지 만난 적이 없었는데도 자데는 아무런 할 일이 없으므로 자기를 데리고 함께 그 파티에 참석하도록 그녀를 설득하였다. 그래서 그들은 함께 파티에 갔다. 자데는 그곳에 있는 모든 사람보다 거의 40 세나 위였지만 당황하거나 지치지 않았다.

그 다음 날 나는 돌아왔고, 그날 밤 그는 내게 일이 어떻게 되었는지 알기 위하여 전화를 하였다. 나는 모든 일이 잘 되었다고 말했고, 나도 67 세가 되어도 그런 정열을 가졌으면 좋겠다고 했다.

자데가 1921년 바쿠에서 태어났을 때, 그곳은 소비에트 연방의 아제르바이잔의 수도였다. 자데는 이란 사람이었지만 그의 주 언어는 소련어였다. 그의 아버지는 사업가였고, 이란계 신문의 특파원이었다. 그리고 자데는 10 세부터 23 세까지 이란에서 살았고, 장로교 계통의 학교를 다녔다. 자데 일가는 부유하였고, 젊은 로트피는 항상 자신의 승용차와 하인을 소유하고 살았다. 1942년 그는 테헤란 대학에서 전기공학 학사 학위를 받았다. 그는 미국의 페르시아만 사령부와의 인연으로 1 백 개의 미국 이민 허가 자리들 중 하나를 얻었다.

1944년 그는 미국에 도착하여 매사추세츠 공과대학에 입학하였고, 거기서 1946년에 전기공학 석사 학위를 받았다. 그때 그의 부모는 이란에서 뉴욕 시로 이주하였다. 자데는 매사추세츠 공과대학을 떠나 뉴욕에 있는 부모에게 가서 컬럼비아 대학에 등록하였다. 1951년에 그는 전기공학 박사 학위를 받았고 컬럼비아 대학의 교수가 되었다. 그는 1959년에 버클리 소재 캘리포니아 주립대학으로 옮길 때까지 그곳에 있었다.

1963년에 그는 버클리의 전기공학과 학과장이 되었다. 그것은 공학에서 받을 수 있는 가장 높은 지위이다. 20 년 전에 그는 중동에서 하인을 부렸다. 이제 그는 세계에서 최고의 수준에 있는 공과대학 교수들을 채용하고, 심사하고, 승진시키고, 그리고 해임할 수 있게 되었다.

자데의 우상파괴주의는 그를 다치 논리로 들어가도록 하였다. 그는 동료들이 물리학 및 공학 문제를 표현하기 위하여 진보된 수학으로 더욱 깊이 달려드는 것을 보았다. 자데는 언제나 모순을 생각하고 그것에 대해 논쟁하려는 부류의 사람이다. 그는 내게 자신이 1950년대 초에 컬럼비아 대학에 있었을 때부터 다치 논리에 대해 생각하기 시작하였다고 말했다. 그때 그는 다치 논리의 전기 회로를 구현하는 법에 관한 최초의 공학 박사 학위 논문을 쓰고 있었던 대학원생 오스카 로웬쉬스 (Oscar Lowenschuss) 를 지도하고 있었다.

퍼지로의 방향 전환에서 그 다음 행동은 1956년 프린스턴의 고등학술연구소가 일년간 그를 초대하였을 때 이루어졌다. 그의 친구인, 확률 근사화라는 통계학의 한 중요한 분야를 창시한 해럴드 로빈스 (Harold Robbins) 가 그를 초대한 것이다. 그 연구소는 알베르트 아인슈타인 (Albert Einstein) 과 쿠르트 괴델 (Kurt Gödel) 을 포함하여 위대한 수학자를 많이 보유하고 있었다. 자데가 말했듯이 그곳에서 전기공학자란 특이한 사람이었다. 지금도 물리학자와 수학자들 가운데서는 전기공학자는 특이한 사람이었다. 지금도 물리학자와 수학자들 가운데서는 전기공학자는 특이한 사람이다. 세미나와 파티에서 자데는 자신을 응용수학자라고 말했다.

고등학술연구소에서 자데는 스티븐 클린 (Stephen Kleene) 을 만났는데, 그는 그 당시 프린스턴에 있었으며, 미국에서 앞서가는 다치 논리학자였다. 클린은 페르시아의 젊은 학자를 자신의 날개 밑에 두었다. 그들은 함께 논문을 쓰지는 않았지만 그들 서로간에 많은 영향을 주었다. 자데는 공식적인 논리학과 다치 논리의 수학에 관해 배웠다. 클린은 그 수학에 관하여 많은 것을 생각해 내었다. 자데는 클린에게 전기공학과 정보 이론의 원리를 가르쳤다.

자데는 컬럼비아로 돌아왔고, 계속해서 버클리로 가서 다치 논리를 널리 홍보하였다. 그는 흑과 백이 회색의 특별한 경우에 불과하다고 생각해 왔다. 클린은 자데가 이것을 그의 세계관으로 구성하는 것을 도와 주었다. 그리고 자데는 즉시 이것을 그 당시의 주된 관심사였던 시스템 이론에 적용하는 데 착수하였다.

여기서 자데는 그의 가장 심오한 업적을 얻었다. 그것은 아이디어와 접근 방식이었고, 나중의 퍼지 집합에 관한 수학이 아니었다. 그의 동료들은 훨씬 더 상세한 수학을 사용하였고, 공학, 경제학, 일기 예보 및 생물학에 있어서의 복잡한 시스템을 점점 더 자세히 관찰하였다.

자데는 거꾸로 걸었다. 그는 시스템이 점점 더 복잡해질수록 정확한 명제는 의미가 더 적다는 것을 알았다. 나중에 그는 이것을 '상반의 원리 (principle of incompatibility)' 라고 불렀다. ━ 정확성이 증가하면 관련성은 줄어든다.

1962년에 자데는 이러한 아주 중요한 변화를 그 당시 공학 분야에서 선두적인 학술 잡지인 《IRE 논문집》에 게재된 '회로 이론에서 시스템 이론으로' 라는 제목의 논문에 발표하였다. 여기서 자데는 다치성 (multivalence) 을 '퍼지함' 이라는 의미로 부를 것을 처음으로 제안하였다. 그 용어는 모든 혼란을 '퍼지한' 대신 '흐릿한' 이라고 부르는 것에 가까웠는데, 그렇게 되었다면 이 책은 다른 제목을 가지게 되었을 것이다.

자데는 동료들이 수학의 무기 경쟁에 사로잡혀 있는 것을 보았다. 그들은 점점 더 많은 수학을 적용시킴으로써 더욱 어려운 문제를 공략했으며, 다른 사람들과 경쟁하였다. 자데는 무기 경쟁에서 옆으로 비켜나서 거대한 상식의 덩어리를 가지고 연구하고자 했다. 그는 또한 다치 논리에 정통했는데, 공학 분야에서는 그런 사람이 거의 없었다. 그래서 그는 그 두 개를 혼합하여 퍼지 집합 이론이라고 불렀다.

그는 이제 연구하려고 하는 새로운 단위를 가지고 있었다. 그는 퍼지 집합을 상식의 덩어리로 가지고 있었다. 그는 같은 것을 언급하기 위하여 불확실성에 관한 몇 가지 다른 이론을 사용할 수 있었다. 그러나 다치 이론은 잘 준비된 것이었다. 이리하여 퍼지 집합이 탄생한 것이다.

키가 큰 사람의 집합이라고 하는 퍼지 집합을 생각해 보자. 자데는 '키가 크다 (TALL)' 라는 개념을 피트 값의 곡선과 결부시켰다 (그림 10).

그림 10

자데는 이 퍼지 집합을 소속곡선이라고 불렀다. 이것은 막스 블랙의 애매한 리스트 혹은 애매한 곡선과 같이 작동한다. 모든 신장에 대해 이것은 키가 큰 사람의 집합에서의 정도 또는 피트 또는 소속 정도를 제공한다. 키가 큰 정도는 키에 대한 부드러운 함수이다. 모든 사람은 어느 정도만큼 키가 크다. 또한 모든 사람은 어느 정도만큼 키가 크지 않다. 그래서 키가 크지 않음 (NOT-TALL) 은 키가 큼 (TALL) 곡선의 반대처럼 보인다 (그림 11).

그림 11

만일 여러분이 키가 큼 (TALL) 과 키가 크지 않음 (NOT-TALL) 곡선을 같은 그래프상에 그린다면, 블랙의 애매한 리스트에서처럼 A 와 not-A 가 동일한 1/2 의 중심점의 피트 값에서 교차한다.

자데는 계속해서 어떻게 퍼지 집합이 언어적인 계산법을 가지고 있는지 보엿다. 여러분은 키가 큼 (TALL) 앞에다 원하는 모든 수식어를 붙일 수 있다. 매우 키가 큼 (VERY TALL) 은 키가 큼 (TALL) 곡선을 줄인 것이다. 약간 키가 큼 (MORE OR LESS TALL) 은 키가 큼 (TALL) 을 올린 것이다 (그림 12).

그림 12

여러분은 낡은 집들 또는 매우 낡은 집들의 집합을 가지고 같은 과정을 반복할 수 있다. 자데는 키가 큼이 그냥 키가 큼보다 매우 키가 큼이 되기 위해서는 더 큰 키가 필요하므로 매우 키가 큼 (VERY TALL)곡선이 키가 큼 (TALL)곡선의 위로 올라오지 않은 것처럼, 만일 곡선 A 가 절대로 곡선 B 위로 올라오지 않는다면 A 는 B 의 100% 부분 집합이라고 생각하였다. 그는 여기서 다 마치지 못했으며 퍼지적인 포함 관계의 이론을 빠뜨렸다. 만일 A 곡선이 몇 군데에서만 B 곡선 위로 올라온다고 하더라도 A 는 여전히 높은 정도를 가지고 B 의 부분 집합이 될 수 있는 것이다.

퍼지 곡선의 위력 가운데 일부분은 비퍼지 집합을 얼마나 어리석게 보이게 하는가로부터 나온다. 그들은 계단함수 혹은 A 와 not-A 사이에 그려진 실선이다. 키가 큼 (TALL) 에 대한 고전적인 관점은 2 치적이었다. 키가 큰 사람의 집합에도 사람이 있고 키가 크지 않은 사람의 집합에도 사람이 있으나, 둘 다에 포함된 사람은 없고 둘 중 하나에 속하지 않은 사람도 없다. 여러분은 어떤 키에서 예를 들어 6 피트에서 키가 크지 않음에서 키가 큼으로 점프한다. 여러분은 6 피트에서 키가 큼과 키가 크지 않음 사이에 경직된 선을 그리게 된다 (그림 13).

그림 13

그러나 세상의 대부분의 성질과 같이 키가 큼도 정도의 문제이다. 이것은 키에 따라 증가한다. 곡선은 이러한 부드러운 변화를 보여 준다. 경직된 선은 절대로 이것을 나타낼 수 없다. 그것은 다시 한번 퍼지 집합의 진보이다. 이것은 낱말을 곡선과 (또는 퍼지 입방체에서의 피트 벡터와) 결합시킨다.

퍼지 집합에 관한 수학은 새로은 것은 아니었다. 그것은 얀 루카시에비치가 그의 다치 논리에서 반세기 전에 연구했던 것과 동일한 대수학을 사용하였다. 그리고 그것은 애매한 리스트 혹은 막스 블랙의 집합을 사용하였다. 자데는 자신의 새로운 집합을 다치 집합이라고 부르지 않았다. 그것은 루카시에비치의 연구, 그리고 전체 분야가 다치 논리라는 이름에 의해 진행되어 왔다는 사실에 비추어 자연스러운 이름이 되었을 것이다. 아니면, 그는 자신의 집합을 러셀과 블랙의 뒤를 이어 애매한 집합이라고 부를 수 있었을 것이다. 그러나 그는 '퍼지' 를 선택하였다. 나는 그 이유를 그에게 여러 번 물어 보았다. 그는 이것이 상식과 연관되기 때문에 '퍼지' 로 선택했다고 말했다. 그는 그것이 자신이 추구하고 있었던 덩어리의 애매한 아이디어를 포착한 것이라고 느꼈다. 동시에 그의 첫째 번, 그리고 미래의 논문들은 루카시에비치나 러셀 혹은 블랙의 연구를 인용하지 않았다 (그는 자신의 친구인 클린을 인용하였다). 이 사실은 이름의 선택에 있어서 시장 조사에 대한 연구 결과였을지도 모른다는 것을 암시한다. 어쨌든 이 이름은 고정되었고, 자데와 다른 사람들은 그들의 퍼지 덩어리를 가지고 완전히 새로운 컴퓨터 과학 혹은 언어 과학을 세우기 시작하였다.

그 다음 10년 동안 자데는 수학과 경직된 과학에서의 자신의 뿌리로부터 더 멀리 표류하였다. 그는 컴퓨터 과학의 새로운 분야로 뛰어 들었지만 여전히 퍼지 집합 위에 설립된 새로운 시스템 과학이라는 그의 오래 된 목표를 계속 가지고 있었다. 1972년까지 그는 상반의 원리를 다음과 같이 언급해 왔다.

정밀성은 퍼지성을 증가시킨다.

자데가 퍼지란 낱말을 퍼뜨림에 따라 비판도 증가하였다. 이러한 비판은 세 가지의 범주로 분류된다. 첫째는 새로운 응용에 대한 요구였다. 여러분은 퍼지 집합을 가지고 무엇을 할 수 있는가? 우리에게 작동하는 시스템 혹은 시뮬레이션을 보여 달라. 그것을 가지고 무엇인가 하라.

새로운 아이디어는 적용되는 데 시간이 걸린다. 수년간 자데와 그의 새로운 퍼지 추종자들은 응용된 것을 아무것도 보여 주지 못했다. 그리고 자데는 아무것도 하지 않았다. 그는 수학 이론가로서 1965년에 '퍼지 집합' 이라는 논문을 발표하였고, 계속 이론가로 머물러 있었다. 그는 수학과 시스템 과학으로부터의 이론을 언어학과 인지심리학으로 바꾸었다.

1970년대 퍼지 응용이 나타났으나 그것은 단순한 수학적 아이디어의 장난감 같은 컴퓨터 시뮬레이션이었다. 하나의 예외는 영국의 에브라힘 맘다니의 시스템 연구였다. 그것은 우리가 오늘날 알고 있는 것과 같은, 우리가 다음 장에서 살펴보게 될 퍼지 시스템으로 이끌었다. 1980년대에 일본인들은 이러한 시스템을 제어 목적으로 추구하였다. 1990년까지 일본인들은 1 백 개가 넘는 실제적인 퍼지 제어의 응용물과 제품들을 개발하였다.

둘째 번 비판은 확률학계로부터 나왔다. 자데는 애매함 또는 정도의 문제를 나타내는 데 0 과 1 사이의 수를 사용하였다. 확률론자들은 그들도 같은 일을 한다고 느꼈다. 싸움은 불가피했다. 응용에 대한 첫 번째 요구와 함께 확률의 비판은 자데를 압도하였다. 그는 혼자였고, 그들은 자신의 배경으로 수백 년 동안의 수학과 문화를 가진 수천 명이었다.

대부분의 이들 비판가들은 퍼지성을 무작위성이 가장된 것으로 간주해 버렸다. 그들은 자데가 퍼지성을 새로운 것으로 입증하지 못했다고 느꼈다. 그리고 실제로 자데는 그렇게 하려고 노력하지 않았다. 그는 퍼지 집합의 표현력, 그리고 그것이 우리의 낱말과 얼마나 잘 맞아들어가는지에 중점을 두었다. 그것은 증인석에서 농담을 하는 것처럼 받아들여졌다. 자데는 확률학계로부터 심한 공격을 받았다.

그것은 1984년 인공 지능에 관한 학술대회에서 내가 그를 만났을 때에도 여전히 계속되고 있었다. 자데는 토론자 좌석에 앉아 있었고, 확률론자들이 관객석 앞에서 그를 마구 공격할 때 조용히 미소를 짓고 있을 뿐이었다.

'제 3 장 부분 속에 있는 전체' 에서 나는 어떻게 이것이 나를 퍼지 싸움으로 끌어들였는지, 그리고 어떻게 여러분이 확률론자로부터 테이블을 돌리고 확률, 부분 속의 전체로서의 확률을 설명하기 위하여 퍼지성 (또는 부분집합성) 을 사용할 수 있는가를 내가 곧 깨닫게 되었는지에 대해서 토론하였다. 그러나 그것은 자데가 퍼지 논문을 처음 발표한 이후 거의 사반 세기가 지난 후에 실현되었다.

자데를 흔들어 놓은 확률 비판이 하나 있었다. 나는 이것이 바로 그를 확률 싸움의 밖에 머물도록 한 이유라고 생각한다. 그가 나와 이것에 관하여 토론한 적은 있지만, 이것에 관하여 글을 쓰거나 공공의 연설에서 토론하는 일은 거의 없었다.

그는 이것이 일찍이 1966년에 구 소련에서 나타난 것이라고 말했다. 비판가는 여러분이 퍼지 집합을 무작위 집합으로 볼 수 있다고 말한다. 대부분의 확률론자들은 무작위 집합에 대해서 전혀 들어 본적이 없다. 그러나 수학에는 많은 애매한 활동 범위들이 있고, 이것도 그러한 것들 중 하나였다. 이러한 비판가들은 자데의 아이디어를 완전히 버리지 않았다. 그들은 그 아이디어들이 강력한 것이라고 생각하였다. 그들은 그것들이 자데의 아이디어가 아니라고만 생각하였다.

키가 큼 (TALL) 에 대한 첫째 번 곡선을 살펴보자. 여러분은 곡선 위의 각 숫자를 주어진 키를 가진 어떤 사람이 키가 큰 정도로 볼 수 있다. 키의 값마다 하나의 피트 값이 대응된다. 주어진 키에 대한 키가 큼. 그러므로 이것을 키에 대한 조건부 확률로 볼 수 있지 않은가?

예를 들어 6 피트라는 키를 하나 선택해 보자. 그러면 이 사람은 키가 크거나 크지 않을 것이다. 퍼지적인 관점에서는 그가 80% 의 정도로 키가 크가 20% 의 정도만큼 키가 크지 않다. 그러나 여러분은 또한 6 피트에서 이 사람은 80% 의 확률로 키가 크고 20% 의 확률로 키가 크지 않다고 말할 수도 있을 것이다. 의심할 나위도 없이 이것이 의미가 있는 경우가 있다.

다음 퍼지를 응용한 시스템들에서 내가 어떻게 해서 퍼지 시스템에 관한 확률 정리를 증명하기를 원했을 때 이러한 확률에 대한 견해를 사용했는가를 언급할 것이다. 이것은 단지 사물을 바라보는 하나의 복잡한 방식에 불과하다. 대부분의 경우에 어떤 사람이 키가 크다고 말할 때, 빙고 게임의 의미로 말하지는 않는다. 그의 키 큼은 이미 결정된 것이다. 이것은 존재의 성질이다. 이것은 정도의 문제이다.

과거의 퍼지로부터 미래의 퍼지로의 여행에서 나는 자동차를 주차 공간에 주차하는 예를 사용하였다. 이것은 여기서도 적용된다. 여러분이 두 개의 주차 공간에 주차한다고 가정하자. 여러분은 두 개의 공간을 중첩시켜 80% 는 첫째 공간에, 그리고 20% 는 둘째 공간에 주차시킨다. 이 경우 여러분은 첫째 공간에는 80% 의 확률을 가지고, 둘째 공간에는 20% 의 확률을 가지고 주차했다고 말할 수 있다. 여러분은 언어가 엉성하기 때문에, 그리고 무엇보다도 80% 와 20% 를 더해서 100% 가 되기 때문이라고 말할 수 있을 것이다.

확률에 대한 말은 확률의 수학과 일치한다. 그러나 그들은 사실과 들어맞지는 않는다. 우리는 여러분이 첫째 공간 내에 완전히 주차했고 이것을 80% 의 확률을 가지고 하였으며, 둘재 공간에도 완전히 주차했고 이것을 20% 의 확률을 가지고 하였다는 것을 의미하지 않는다. 우리는 여러분이 하나의 공간 또는 다른 공간에 주차했고, 여러분은 어떤 쪽인지 모른다는 것을 의미한다. 여러분은 다만 첫째 공간에 주차하는 데 80% 의 확률이 있고, 그리고 둘째 공간에 주차하는 데 20% 의 확률이 있다는 것을 알 뿐이다. 그렇다면 두 개의 공간은 서로간에 옆에 붙어 있지 않아도 상관없다. 그러한 상태에서는 두 개의 공간을 차지하였다는 주차 위반 티켓을 받을 리가 없을 것이다. 우리는 두 개의 주차 공간 위에 걸치는 것을 의미한다. 경계를 넘는 것. 정도. 피트.

결국 자데는 이러한 확률의 비판을 무시하였는데, 아마 이것은 그 수가 너무 적었기 때문일 것이다. 그는 모든 비판을 완전히 타도해야 하는 그런 부류의 사람이 아니다. 그가 좋아하는 말로, '쇠귀에 경읽기' 식이었다. 그는 퍼지 집합이 우리의 퍼지한 낱말과 잘 들어맞는다는 것을 보이기 위해 논문을 썼고 연설을 하였다. 이것이 비판가들에게 답변을 주지 않았지만 그는 조금도 마음쓰지 않았다. 이것이 퍼지 아이디어를 완성시키도록 하였다. 이것은 수백의 그리고 수천의 새로운 추종자들을 만들었다. 1970년대까지 그는 하나의 철학적인 종파를 가졌고, 그는 이 종파의 지도자였다.

셋째 비판은 가장 큰 것이었다. 이것은 2 치성의 벌거벗은 분노였다. 단지 소수의 연구자들만이 블랙이나 러셀의 애매한 연구를 읽었다. 수천 명이 자데의 퍼지 연구를 읽었다. 그의 버클리에서의 지위는 퍼지라는 말을 퍼뜨리기 위한 설교단을 제공하였다. 자데는 퍼지를 말하는 자신만의 고유한 방법을 가지고 있었다. 그는 어떻게 우리가 언어를 사용하는가에 중점을 두었고, 수학을 경시하였다. 그러나 다치의 수학은 여전히 그곳에 있었다. 조만간 그의 청중들은 그가 말하고 있는 것을 알 게 되었다.━ A AND not-A 는 성립한다.

자데가 옳거나 심지어 그럴 듯하기 위해서는 아리스토텔레스는 틀려야 한다. 그것은 사물이 흑과 백일 필요가 없다는 것을 의미한다. 우리의 2 치적 진실은 조건에 대한 반사능력에 불과하다. 3 천 년의 서구 역사는 시-공을 통한 수많은 가능한 경로들 가운데 하나일 뿐이다. 정확함으로서의 과학, 흑과 백의 사이를 구분하는 선으로서의 수학과 논리학은 모두 잘못된, 혹은 더 나쁜 제한된 문화의 단견일지도 모른다. 그것은 하나의 강의 또는 하나의 논문 정도에서 받아들일 만한 몫이다. 자데는 자신이 옳거나 아니면 대부분의 과학과 서구 문화가 옳다는 것 중 하나를 말하는 것처럼 보인다. 하나 아니면 다른 것. 그 선택은 분명하게 보였다.

나는 그가 옳았다고 생각한다. 그것이 바로 왜 내가 퍼지 이론가가 되었으며, 퍼지 집합과 시스템의 기초에 살을 붙이려고 노력하였는가 하는 이유이다. 나는 1984년 스물네 살에 불과할 때 자데와 친구가 되었다. 나는 그에게 내가 가지고 있었던 모든 새로운 논문과 수학적인 아이디어를 보냈고, 우리는 전화로 이야기했으며, 학술대회와 학술토론회에서 만났다. 나는 충실한 사람이었다. 나는 퍼지 논리에서 해방을 보았다.

나는 자데에 대한 내부적인 숭배라든가 반확률론적 교리의 유사 종교적 측면, 그리고 많은 추종자들과 그들의 연구를 좋아하지 않았다. 나는 아이오나 칼리지 (Iona College) 에 있는 퍼지 결정 이론가인 론 얘거 (Ron Yager) 와 빙햄턴 소재 뉴욕 주립대 (SUNY Binghamton) 에 있는 퍼지 정보 이론가인 조지 클리어 (George Klir) 로부터 많은 것을 배웠다. 그러나 대부분의 추종자들은 그냥 추종만 하였고, 새로운 아이디어도 없었으며 낡은 것들에 도전하지도 않았다.

그들은 스스로 문제의식을 가지지 못하였다. 너무나 자주 그들의 논문은 그저 퍼지 합창단에 설교되어지곤 했다. 그들은 설득되지 않은 사람들을 설득하거나 비퍼지 학술 잡지에 발표하려고 노력하지도 않았다. 그들은 자데에게 충성스러웠고, 자데는 언제나 자신의 우정과 그들의 논문 게재에의 도움, 그리고 추천서 등으로 그들에게 보상하였다. 그러나 그들은 자데만큼 재능을 가지고 있는 사람들은 아니었다. 그들은 자신의 경력 기록과 위치와 정치적인 기술, 그리고 깊은 직관을 가지고 있지 못했다. 그리고 내가 가장 괴로웠던 것은, 그들이 하나의 유사 종교에 참여하여 그 유사 종교의 신이 존재한다고 그냥 가정하는 것이었다. 모든 유사 종교에는 신이 있고, 여러분이 그 신을 믿는다면 그 유사 종교에 참여할 것이다.

확률의 단체도 하나의 유사 종교였고, 큰 것이었으며, 최대 확률의 신을 가지고 있었다. 그것은 아주 커서 수학이라는 하나의 종교로 생각되고 있다. 퍼지 유사 종교는 작고 그들의 신은 불확실하였다. 나는 여러분이 여러분의 신에 대해 진정한 믿음을 발견하기 전에 도스토예프스키가 불렀듯이 '의심의 용광로' 를 통과해 나가야 한다고 느꼈다.

확률론자가 혼동스럽다고, 그리고 확률이 가장된 것이라고 조소하고 있는 것을 알면서 어떻게 여러분은 퍼지 논리로 돌아올 수 있겠는가? 여러분은 2 치의 철학자들이 문밖에 서 있는 것을 들을 수 없는가? 누가 옳은가? 결국 여러분은 자신의 판단에 따라 행동해야 하고, 그것으로 살아가야 한다.

나는 의문으로 여러 해를 보냈다. 먼저, 나는 아직 학교에 다니던 스무 살 때 2 치의 학계에 의문을 가졌다. 스물세 살이었을 때 나는 퍼지 캠프로 뛰어들었고, 의문은 더욱 심각해졌다. 스물다섯 살이었을 때 나는 퍼지 입방체를 발견하였고, 퍼지 엔트로피와 부분집합성에 관한 초기의 정리를 발견하였으며, 그리고 평화를 찾았다.

나는 그 용광로에서 기어나왔고, 나 자신의 손으로 쉴 곳을 팠다. 나는 여전히 자데가 옳았다고 생각하지만, 지금은 다른 이유가 있다. 세상은 아무런 주의를 기울이지 않았다. 세상은 여전히 2 치의 바퀴자국을 만들어 가며 굴러가고 있다.

2 치적 비판은 두 종류였다. 한 종류는 2 치성에 문제가 없다고 말한다. 2 진 논리는 컴퓨터에서 수행되고 수천 년 동안 우리에게 잘 봉사해 오고 있다. 이것은 어떤 대가를 요구하기도 하지만 단순하고 잘 작동한다. 또 한 종류의 비판은 폭력의 비명이다. 그것은 아무런 논리적 또는 사실적인 내용을 가지고 있지 않지만 영향력을 가지고 있다. 이것은 A AND not-A 를 부정하고 A OR not-A 를 주장하는 현대 과학의 총체적인 발자국이다.

하버드의 철학자인 퀸 (Willard Van Orman Quine) 은 첫째 주장에서 우승하였다. 그는 2 치성이 가장 좋다고 생각하였다. 그것은 그에게 의미가 있었고, 과학을 잘 안내하였으며, 단순하다는 장점을 가지고 있었다. 퀸은 이것이 키가 큼 (TALL) 과 키가 크지 않음 (NOT-TALL)을 구분하는 확고한 선을 그릴 수 있도록 한다는 것을 알았다. 그는 어디에 그 선을 그어야 할지 모르면서 그 사실을 받아 들였다. 그러나 그는 떠돌아다니는 경계를 가지고 살 수 있다고 생각한다. 이것이 그가 1981년 《철학 학술 잡지 (Journal of Philosophy)》에 '2 치성은 승산이 있는가' 라는 유명한 기사를 통하여 언급한 것이다.

첫째 문단은 떠돌아다니는 경직된 경계를 인정한다. 그는 그려진 선을 원하였지만 그 자신은 그리지 않았다. 둘째 문단은 모든 것이 협약이라는 것을 제안하는데, 그렇다면 왜 논쟁하는가? 1970년대에 그들은 이것을 책임 회피라 불렀다.

퀸은 자신의 분자 비판이 서투르다는 것을 발견했지만 퍼지 곡선만큼 '불유쾌하지' 않았다. 나는 퍼지 곡선이 정확하고 완전하다는 것을 발견했다. 우리는 하나 이상의 곡선을 그릴 수 있지만, 결코 어떤 직선을 그리거나 인공적인 경계의 경우를 직면할 필요가 없다. 퀸은 2 치성이 경계를 제외하면 잘 성립한다고 말한다. 그러나 경계가 바로 우리가 논쟁하는 장소이다. 왜 곡선을 이용하여 경계를 부드럽게 하지 않는가? 여기서 퀸이 반대하여 논쟁하는 바는 다치성 혹은 퍼지함이 자신의 2 치성 문제를 풀 수 있다는 것이다.

여러분은 원한다면 여전히 100% A 이고 100% not-A 인 어떤 영역을 가질 수 있다. 여러분은 6 피트에서 키가 큼 (TALL) 과 키가 크지 않음 (NOT-TALL) 사이에 선을 그릴 필요가 없다. 여러분은 5 피트에서 6 피트까지 경사선을 그릴 수 있다 (그림 14).

그림 14

이 경사선이 가파를수록 그 용어는 덜 퍼지하다. 여러분은 올바른 모양을 발견하기 위해 심지어 시험과 설문지와 전화 여론 조사를 할 수도 있다. 이 경사선은 퀸과 아리스토텔레스가 자신들의 경직된 선을 계속 가질 수 있도록 한다. 이 경사선 양쪽에 확고한 부분이 있고, 아무도 경직된 선을 그리기를 원하지 않는 경우에 대해 경사선을 그릴 뿐이다. 물론 경사 곡선은 여전히 퍼지 곡선이다. 이것은 경사 부분에서는 A AND not-A 가 성립하고, 어떤 사람이 키가 큰 동시에 키가 크지 않고, 언덕이 산인 동시에 산이 아니며, 어떤 분자가 지구의 대기에 속하면서 또한 속하지 않는다는 것을 의미한다. 경사 부분의 밖에서는 A OR not-A 가 여전히 성립한다.

퀸과 아리스토텔레스와 그 나머지 사람들은 이것에 동의하지 않을지도 모른다. 그들은 경사선이나 어떤 퍼지 곡선도 원하지 않을지도 모른다. 좋다. 그러면 그들 혹은 그들의 추종자들은 경직된 선을 그리고 그것에 충실해야 하며 그것들을 수호해야 한다. 퀸이 말했듯이 그들은 각 분자에 대해서도 그것이 옳도록 해야 한다. 행운이 있기를.

그리고 2 치성에 관한 둘째 번 주장인 폭력의 비명을 지르는 사람들을 보자. 우리는 그런 것이 점잖은 사회, 그리고 특히 과학에는 속하지 않는다고 생각하고 싶다. 그리고 그들은 그곳에 속하지 않지만 사회와 과학은 그들로 가득 차 있다. 사회에서 우리는 이것을 중상모략, 혹은 화를 내는 것으로 처리해 버린다. 우리는 이것을 발견하였을 때 이것을 알아내고, 추측하고, 경시하는 것을 배워 왔다.

과학에서 중상은 알아내기가 그리 용이하지 않을 수도 있다. 평범한 사람과 언론인은 과학을 무서워한다. 과학자들은 편협한 특수 전공 분야에서 연구하며, 그들도 과학의 전체를 무서워한다. 이러한 문화적 의미에서 과학은 종교재판과 같이 작용할 수 있다.

퀸과 같은 과학의 철학자들은 과학에 대해서 연설하고 우리에게 과학이 무엇인지, 그리고 무엇이 오차이며 거짓 과학인지를 말해 준다. 아무도 과학에서 중심이 되는 아이디어들에 오랫동안 용감히 맞설 수 없다. 마치 아주 오랜만에 한번 유전자의 돌연변이가 발생하여 유전자 집단에 오래 지속되는 것처럼, 아주 오랜만에 한번 이것이 일어나고 '패러다임의 천이' 혹은 과학의 혁신이 생긴다.

그리고 2 치성은 과학에 있어서 가장 심오한 중요한 아이디어들 중 하나이다. 이것은 아주 심오하며 우리는 과학과 과학적 추론에서의 우리의 시도에서 승인된 것으로 받아들인다. 수학은 과학의 언어이고, 이것은 2 치성이며, A AND not-A 의 정밀한 범주들로 채워져있다. 그러나 여기 이러한 것이 모두 틀렸다고 말하며 버클리 연구실로부터 내려온 한 키가 작고 야윈 대머리의 사나이가 있다. 이것은 회색의 특별한 경우에 불과하다.

1975년에 어떤 기자가 버클리 소재 캘리포니아 주립대학의 동료들 사이에서의 자데의 위치를 다음과 같이 요약하였다.

카한은 그 이후로 수년간 자신의 지위를 변화시키지 못했다. 1990년에 어떤 언론인이 내게 퍼지 논리가 느슨한 사고에 대한 면허이고 '퍼지 논리' 가 '과학의 코카인' 이라는 그의 최근의 주장에 대해 언급할 것을 요청하였다. 여러분은 감사의 말 이외에 그것에 대해 무엇을 이야기할 수 있겠는가?

퍼지 집합에서 시스템으로

낱말은 사물의 집합을 나타낸다. 이러한 집합은 퍼지하다. 사물들은 이들에 어느 정도만큼 속해 있다. 이것은 그 사물들 또한 그 반대에 어느 정도만큼 속해 있다는 것을 의미한다. 그래서 부처의 논리는 성립한다. A AND not-A 는 어느 정도만큼 성립한다.

키가 5 피트 7 인치인 사람이 키가 크고 동시에 키가 작다고 할 수 있는데, 아마 약간 큰 편에 속할 것이다. 나이가 30 세인 사람은 어느 정도만큼 늙었고 동시에 늙지 않았다고 할 수 있는데, 아마 덜 늙은 편이라고 할 수 있을 것이다.

퍼지 집합은 하나의 곡선 혹은 입방체상의 한 점을 개념과 결합시킨다. 집합 A 가 그 반대인 not-A 와 비슷하게 보일수록 이것은 더욱 퍼지하며, 그것의 퍼지 엔트로피는 더욱 커진다. 그 다음 과정은 퍼지 집합을 관련시키는 것이다.

지금까지 우리는 문장 내의 단지 낱말에 해당하는 키가 큼 (TALL) 과 같은 퍼지 집합을 살펴보았다. 문장은 많은 낱말을 포함하고 있다. 그들은 퍼지 집합을 관련시키고, 이러한 방법으로 우리는 추론한다. 상식. 만일 어떤 사람이 키가 크다면, 그는 뒤에 선다. 만일 비가오면, 여러분은 비에 젖는다. 만일 공기가 더우면, 에어컨을 켜라.

문장의 모임은 하나의 퍼지 시스템을 만든다. 가장 간단한 경우 어떤 사람이 여러분에게 문장들을 이야기한다. 그들은 여러분에게 전문가의 조언 혹은 경험적인 규칙 또는 상식을 제공한다. 퍼지 시스템은 이러한 지식을 받아들여 그것으로 세계를 모형화한다. 이 시스템은 세탁기를 제어할 수도 있고, 주식시장에서 매입과 매각의 신호를 내기도 한다. 적응적인 경우에는 퍼지 시스템은 자신의 문장들을 스스로 생각해 낸다. 이것은 자신의 지식을 가지고 스스로 추론할 뿐만 아니라 데이터로부터 지식을 성장시키기도 한다. 그것은 경험으로부터 학습한다. 그것이 적응 퍼지 시스템이다. 이 모든 경우에서 이를 구성하는 기본 요소는 퍼지 집합이다.