과거의 퍼지로부터 미래의 퍼지로의 여행
퍼지식사고 : Bart A. Kosko 저, 공성곤. 이호연 역, 김영사, 1995 (원서 : Fuzzy Thinking, Hyperion/Disney Books, 1993), Page 43~79
모든 것은 정도의 문제이다. - 작자 불명
수산 스님 (926 ~ 992) 이 한번은 모여 있는 제자들에게 대나무 막대기를 쳐들고 물었다. "이것을 막대기라 부르면 교리에 저촉되고 막대기가 아니라고 하면 논리에 위배된다. 만일 교리에 저촉되지 않고 논리에 위배되지 않으려면, 이것을 무엇이라 부르겠느냐? 말해라! 말해라!" 제자들 중 하나가 달려나가 스승에게서 막대기를 빼앗아 두 조각으로 부러뜨리며 물었다. "이것은 무엇인가?" - 다이세쓰 테이타로 스즈키, 선 불교 입문
퍼지 원리는 모든 것이 정도의 문제라고 주장한다. 이 책은, 어떻게 퍼지성이 우리의 세계와 우리의 세계관에 배어들어 있는가를 인간의 문제 속에서 들여다본다. 우리는 퍼지 원리에 대해 논쟁하기보다는 오히려, 우리가 어디를 들여다보건 간에 그 속에서 퍼지 원리를 찾으려 하는 것이다.
어떤 것들은 아무리 세밀하게 살피더라도 퍼지가 아니다. 이런 것들은 수학의 세계로부터 나타나는 경향이 있다. 여기서는 신 또는 인간이 고의로 퍼지성을 얼토당토않은 것으로 감춘다. 우리는 '둘 더 하기 둘은 넷' 이 100 % 옳다는 것에 동의한다. 그러나 우리가 수학의 인공적인 세계에서 벗어나면, 퍼지성이 모든 것을 지배한다. 퍼지성은 마치 우리 단어들이 날이 무딘 칼로 우주를 조각조각 자르는 것처럼 경계선들과 최종 기한들을 흐릿하게 한다.
퍼지성은 과학에서 다치성 (multivalence) 이라는 공식적인 이름을 가진다. 퍼지성의 반대는, 각 물음에 대답하는 두 가지 길, 옳음 또는 틀림, 1 또는 0 인 2 치성 (bivalence) 또는 이원성이다. 퍼지성은 다치성을 의미한다. 퍼지성은 단지 두 가지 극단적인 값들 대신에 둘 또는 그 이상, 아마도 무한한, 선택의 여지가 있는 스펙트럼을 의미한다. 퍼지성은 2 진법이 아니라 흑과 백 사이의 무한한 회색의 농도인 아날로그 (analog) 를 의미한다. 퍼지성은 판사들이나 법정 변호사들이 "반드시 예 또는 아니오로만 대답하시오." 라고 말할 때 그들이 제외시키려는 모든 것을 의미한다.
1920 년대, 30 년대의 논리학자들이, 우리가 다음 장에서 들여다볼, 하이젠베르크의 불확정성 원리를 다루기 위해 다치적 논리를 처음 개발했다. 이 양자 역학에서 나온 수학 원리는, 만일 여러분이 어떤 것을 정확하게 측정한다면, 여러분은 다른 것을 똑같이 정확하게 측정할 수 없다고 말한다. 그 원리는 우리가 실제로 3 치 논리를 다룰 것을 제안한다. ――― 주장이 옳음, 틀림, 또는 결정할 수 없음.
재빨리 폴란드의 논리학자 루카시에비치 (Jan Lukasiewicz) 가 중간의 '결정할 수 없음' 의 영역을 여러 개의 조각들로 나누고 많은 값 또는 다치 논리를 생각해 냈다. (주석 : 루카시에비치는 또한 아리스토텔레스를 그리스어 원문으로 연구했으며, 1920 년대 초반에 다치 논리의 초기 판 (version) 을 생각해 냈었다.) 그 다음에 루카시에비치는 다음 단계로 진행하여 비결정성이, 틀림과 옳음 사이, 0 과 1 사이의 스펙트럼인, 연속체를 이루게 했다. 이 '퍼지' 논리에서 보면 "잔디가 푸르다." 또는 "변호사들이 분쟁을 중재한다." 와 같은 주장은, 0 % 옳음과 100 % 옳음 사이의 어떤 백분율을, 0 과 1 사이의 어떤 '옳은 값' 또는 정도 또는 부분을 가질 수 있다.
'퍼지' 란 용어는 30 년 후에야 과학 용어의 범주에 들게 되었다. 그때까지는 버트런드 러셀 (Bertrand Russell) 같은 논리학자들은 다치성을 기술할 때 '애매한' 이란 용어를 사용했다. 1937 년에 양자 철학자인 막스 블랙 (Max Black) 이 우리가 지금 퍼지 집합들이라 부르는 애매한 집합들에 대한 논문을 발표했다. 과학계와 철학계는 블랙의 논문을 무시했다. 그렇지 않았다며 오늘날 우리는 퍼지 논리가 아니라 애매한 논리의 역사를 논의하고 있을 것이다.
1965 년 당시 버클리 소재 캘리포니아 대학의 전기공학과 학과장이며 나중에 내 박사 학위 지도교수들 중의 한 사람이 된, 로트피 자데 (Lotfi Zadeh) 가 '퍼지 집합들' 이란 제목의 논문을 발표했다. 그 논문은 루카시에비치의 다치 논리를 대상들의 집합들 또는 군 (group) 들에 적용했다. 자데는 그 시대의 압도적인 2 진 논리로부터 개념을 분리시키기 위하여 이 애매한, 또는 다치 집합들, 그들의 직장에 만족하는 사람들의 집합 같은, 집합의 요소들이 서로 다른 정도로 소속되는 집합들에 '퍼지' 란 이름을 붙였다. 자데는 과학자들이 문제를 푸는 데 항상 수학을 적용하며 컴퓨터들과 덧셈기계들이 사용하는 흑백 추론으로 과학의 일들을 처리하는 것을 보았다. 그는 현대 과학의 눈에 침을 뱉기 위하여 '퍼지' 란 단어를 선택했다.
'퍼지' 란 용어는 과학의 분노를 불러들였으며 지탄을 받았다. 그것은 새로운 분야가 모든 '수 (Sue) 란 이름을 가진 소년' 의 문제와 더불어 성장하도록 강요했다. 정부 기관들은 퍼지 연구에 연구비를 한푼도 주지 않았다. 몇 안 되는 학술 잡지들과 학술 회의들에서만 퍼지에 대한 논문이 받아들여졌다. 그리고 대학에서는 퍼지 연구를 했던 사람, 특히 퍼지만 연구했던 사람은 교수진으로 승진시키지 않았다. 그 당시의 퍼지 연구에 대한 움직임은 작은 유사 종교였으며, 지하로 숨어들었다. 퍼지 연구는 보조금을 받는 과학과 달리 일상적인 지원 없이 성장했으며, 성숙했다. 그것이 퍼지 연구를 더 튼튼하게 하였다.
퍼지 논리는 대학에서 성년이 되지 않았다. 퍼지 논리는 장바닥에서 성인이 되었으며, 서양 과학자들의 철학적 반대들을 건너뛰었다.
퍼지 원리는 3 천여 전의 서양 문명에서, 퍼지 논리를 부정하고, 무시하고, 틀리다는 것을 증명하고, 새로운 이름을 붙이려는, 그리고 그것이 존재하지 않는다는 공리를 만들려는 3 천년간의 시도들로부터 솟아났다. 퍼지성은 그것을 없애 버리려는 우리의 갖은 노력에도 불구하고 살아남았다. 우리의 추론은 퍼지인 채로 남아 있다. 이제 우리는 우리의 기계들이 추론하는 방법을 퍼지화하고, '시원한 온도' 또는 '느린 속도' 같이, 그들이 추론하는 대상 개념들을 퍼지화함으로써 더 영리하게 만들 수 있다.
이 은밀한 퍼지성이 기계들은 흑백의 상징적 논리와 수학으로만 추론해야 한다고 생각하는 과학자들을 화나게 하고 혼동시킨다. 이는 컴퓨터 과학자들이 컴퓨터를 더 영리하게 만들기 위하여 흑 - 백 논리로 프로그램을 만들려고 아직도 노력하고 있는, 인공 지능의 세계에서 새로운 농담을 만들어 냈다. 좋은 소식은, 마침내 기계 지능 분야가 상업적으로 성공적인 제품을 만들어 냈다는 것이다. 나쁜 소식은, 최소한 컴퓨터 과학자들에게는, 그것이 퍼지를 이용한 사진기라는 것이다.
이 책에서 우리는 고대 그리스와 인도에서부터 일본의 세탁기나 미래의 영리한 무기들에까지 걸친, 그리고 과학과 공학에서 나의 길을 가로지른 퍼지 원리를 들여다볼 것이다. 머지 않아 나는 나의 퍼지 경험들을 퍼지 사건들의 토론으로 자유롭게 엮으려 한다.
이 책은 크게 세 부분으로 나누어진다. ――― 과거의 퍼지, 퍼지의 현재, 그리고 퍼지의 미래.
과거의 퍼지 부분은, 퍼지성과 반퍼지성의 역사적 근원을 알아본다. 아리스토텔레스의 세계가 부처의 세계와 어떻게 다른가로부터 시작하여, 진리의 본질, 양자 역학에서 하이젠베르크의 불확정성 원리, 그리고 퍼지성으로 연결되는 고대 그리스와 현대 수학의 논리적 패러독스들을 재음미하여 본다.
퍼지의 현재 부분은, 퍼지 집합들과 퍼지 시스템들, 그리고 최근에 미국과 일본에서의 재등장을 다룬다. 그리고 그들이 어떻게 적응 퍼지 시스템 (adaptive fuzzy system) ――― 그 속에서 신경망들 또는 '두뇌 같은' 시스템이 퍼지 시스템으로 하여금 경험으로부터 배우게 하고, 보기 (example) 들로부터 그들 자신의 규칙들을 만들어 내도록 하는 시스템 ――― 으로 확장되는가를 알아본다.
퍼지의 미래 부분은, 퍼지 논리와 더 높은 기계 지능이 가까운 그리고 먼 미래에 사회에 어떤 영향을 미치는가를 알아본다.
과거의 퍼지로부터 미래의 퍼지로의 여행에서 서너 개의 주제들이 생겨난다. 그 중 네 가지 주제들이 가장 크게 두드러지는데, 여기서 그것들을 미리 훑어보자.
2 치성은 정확성을 단순성과 바꾼다. 예와 아니오, 흑과 백, 옳음과 틀림의 2 진 결과들은 수학과 컴퓨터 연산을 단순화한다.
여러분은 분수들을 가지고 계산하는 것보다 0 들과 1 들의 열들로 계산하는 것이 더 쉽다. 그러나 2 치성은, 여러분이 특정한 정치가를 지지하거나 또는 반대한다고 주장하든지, 여러분의 직장에 만족하거나 만족하지 못할 때처럼, 어떤 강제적 맞춤과 나머지 버리기를 필요로 한다.
정보 시대는, 신호 처리와 미이크로프로세서 컴퓨터 칩들 (chips) 에서 '디지털 (digital) 혁명' 에 의존하기 때문에, 2 치성에 의존한다. 우리는 시간에 따라 부드럽게 변하는 ――― 소리, 혈압, 빛의 세기, 전압, 온도, 지진 같은 ――― 양들을 측정한다. 그러나 우리는 이런 신호들을 1 들과 0 들로 된 컴퓨터의 2 진 두뇌에 맞추기 위하여 신호들을 시험하고, 양자화하며, 필요한 자릿수만큼 끊어내야만 한다. 여러분은 시간에 따른 신호를 왼쪽으로부터 오른쪽으로 흐르는 곡선으로 볼 수 있다. 그 곡선은 오후 동안의 기온 상승 또는 십 년 동안의 오존 증가를 나타낼 수 있다. 수치화는, <그림 1> 에서처럼, 곡선에 격자를 끼워넣게 한다.
<그림 1>
수치화는 아래쪽의 시간을 나타내는 가로선을 ――― 인간 또는 센서가 오존 표본을 측정할 때마다 잰 시각들인 ――― 이산적 (discrete) 표본 시간들로 자른다. 과학자들은 시간을 자르는 방법에 대하여 수천 편의 학술 논문들을 써 왔다. 결국 여러분은 같은 간격으로 시간을 잘라야 하며, 더 많이 자를수록 더 좋은 결과를 얻는다. 콤팩트 디스크는 매초당 44, 100 개의 표본들로 합성되거나 변환된 부드러운 소리 곡선을 재생한다.
수치화는 세로선을 숫자들의 집합으로 자른다. 여기서 시스템은 신호를 가장 가깝게 잘라진 값으로 '양자화' 하거나 나머지를 버린다. 그리고 시스템은 현실을 무시하고 오직 수치화된 숫자들 (격자 위의 검은 점들) 만 간직하며, 각 숫자를 1 과 0 의 고유한 표 (예를 들어 32=100000, 35=100011) 로 바꾼다. 남은 일은 빠른 속도로 숫자를 처리하는 것이며, 콤팩트 레이저 디스크, 이동 무선 전화기, 서류 전송 기계 (fax), 영화의 특수 효과들, 해왕성과 금성 등의 새로운 영상들의 세계이다.
서양 문명은 이제 2 진 정밀성을 과학적 방법의 한 부분으로 간주한다. 수치화의 혁명이 우리의 마음을 수치화한 것처럼 여겨진다. 질문에 '대강' 이라고 답하는 컴퓨터를 상상해 보라. 우리는, 하얀 실험복을 입은 과학자들이 우리가 이야기하는 것처럼 우리에게 말하도록 프로그램한, 그 컴퓨터가 형편없다고 생각할지도 모른다. 우리는 컴퓨터가 그런 의도를 가졌다든가, 컴퓨터가 진실을 말했다든가, 우주는 그런 방식이라든가, 어떻게 해서인지 원자들과 텅 빈 것들이 '대강' 으로 더해졌다고는 생각하지 않을 것이다.
우리의 2 치적 본능들 뒤에는 아리스토텔레스의 논리가 숨어 있다. 우리는 '잘 만들어진' 주장이, 대강 옳음이나 대강 틀림이 아니라, 옳음 또는 틀림이기를 기대한다. A OR not-A. 이런 '생각의 법칙' 이 우리의 언어와 가르침과 생각을 통하여 흐른다. 실존주의 철학자인 키에르케고르 (Sören Aabye Kierkegaard) 는 1843 년에 발행한 결정과 자유의지에 관한 그의 책에 '둘 중 하나 (Either-Or)' 란 제목을 달았으며, 인간을 할 것인가 또는 안 할 것인가, 될 것인가 또는 안 될 것인가의 2 진 선택에 대한 우주적 노예로 보았다. 오늘날 모든 공학도들은 '수치화 설계' 란 과목을 수강하며, 2 진 논리의 표를 전기 회로로 바꾸는 방법을 배운다.
모든 철학과 종교는 피해야 하거나 없애 버려야 하는 악당이나 악마를 가진다. 2 치성의 악당은 A AND not-A 라는 논리적 모순이다.
2 치 논리의 모순은 모든 것을 암시한다. 그것은 여러분에게 어떤 주장도 증명하거나 부정하도록 한다. 수학자들은 그들의 공리들이 서로 모순이 되도록 암시하는 주장들로부터 그들을 지키기 위하여 공리들을 잘 갈고 닦는다. 지금까지 아무도 현대 수학의 공리들이 서로 모순되는 주장들로 이끌지 않으리라는 것을 증명하지 못했다. 내일 그것이 바뀌어 현대 수학의 틀이 붕괴할지도 모른다. 그동안 두려움과 편집병이 계속된다. 그래서 과학에는, 유와 무가 겹치는 것을 받아들이는, 모순을 받아들이는 견해를 위한 포용력이 거의 없다. 퍼지 논리가 이런 편협성과 정면으로 맞선다. A AND not-A 가 어느 정도까지 유지되는, 모순이 시작하는 데서 퍼지성은 시작한다.
동양의 신비주의는, 음과 양으로, A AND not-A 로 움직이는 체계인, 모순을 받아들이는 단 하나뿐인 중요한 믿음 체계를 제공한다. 아리스토텔레스가 살던 때보다 200 여 년 전에 부처는 그의 청중들이 그를 '둘 중 하나' 질문의 함정에 빠트리는 것을 허용하지 않았다. 부처는 우주가 유한한가 무한한가 같은 2 진 질문에 대해 '고매한 침묵' 을 지켰다.
현대 선 불교의 승려들은 언어의 흑백 껍데기를 깨뜨리고 깨우침에 도달하기 위하여 학승들을 '네가 태어나기 전에 너의 얼굴은 어떻게 생겼는가? 한 손으로 치는 박수의 소리는 어떻게 들리는가?' 같은 관 (Vipasyana. 선정에 들어가서 지혜로써 상대가 되는 경계 (대상) 를 자세히 식별하는 일 : 역자주) 에 대해 명상하도록 훈련한다. 모택동 주석마저도 모순에 관한 수필을 썼다.
아래의 목록은 이 책에서 들여다 볼 인간의 생각 속에 있는 중요한 2 치성 아이디어들과 시스템들 중 몇 개를 보여준다.
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2 치성 아리스토텔레스 A OR not-A 정확한 전부 아니면 아무것도 0 또는 1 디지털 컴퓨터 포트란 (Fortran) 비트 (bit) |
다치성 부처 A AND not-A 부분적인 어느 정도 0 과 1 사이의 연속체 신경망 (두뇌) 영어 (자연언어) 피트 (fit) |
마지막 줄에서, '비트' 가 '2 진 단위들' 의 영어 줄임말인 것처럼, 피트는 퍼지 단위를 나타낸다. 피트 값은 0 과 1 사이의 숫자 또는 정도다. 비트 값은 0 아니면 1 이다. 비트 값은 흑백 질문에 대답한다. ――― 여러분의 수입이 일년에 3 만 달러가 넘는가? 여러분은 자동차를 소유하고 있는가? 결혼했는가? 피트 값은 같은 질문들에 대답하더라도 단지 어떤 정도로만 대답한다. (피트 값이 70 % 라는 것은 예 70 % 와 예-아님 또는 아니오 30 % 를 의미한다.)
여러분이 손에 쥐고 베어문 사과를 다시 생각해 보라. 처음에 여러분이 손에 쥐었던 것은 100 % 사과다. 혹은 사과의 100 % 가 거기에 있었다. 또는 여러분이 쥐고 있는 사과는 전체 사과들의 집합에 100 % 에 속한다. 백분율은 여러분이 사과를 한 입 베어문 10 % 로부터 사과를 다 먹을 경우의 0 % 까지 감소한다. 대략 중간 단계에서 여러분은 사과 반쪽을 쥐고 있다.
피트 값들은 사과의 줄어듦을 사과의 완전한 존재로부터 완전한 없어짐까지, 비트 값 1 로부터 비트 값 0 까지 기술한다. 이런 의미에서 피트 값들은 비트 값들 사이를 '메워 준다'. 만일 우리가 사과가 어떻게 100 % 사과로부터 0 % 사과로 줄어드는가를 그래프로 그린다면, 우리는 피트 값들이 0 과 1 사이의 숫자들의 선분을 메우는 것을 볼 수 있다 (그림 2).
<그림 2>
숫자들의 선분은 2 치성과 퍼지성 사이의 수학적 다툼을 보여 준다. 2 치성은 단지 숫자들의 선분의 양 끝, 또는 '구석' 만을 차지한다. 비트 값들인 0 과 1 은 서로 반대편에 위치한다.
퍼지성 또는 다치성은 양쪽 구석 사이의 모든 곳에 위치한다. 그것은 두 개의 구석도 특수한 경우로 포함한다. 유리잔에 물이 약간 남아 있고 우리가 나머지를 버리고 유리잔이 비었다고 한다면, 우리는 피트를 비트로, 5 % 또는 10 % 를 0 % 로 바꾸는 셈이 된다. 숫자들의 선분 위에서 이것은 우리가 먼저 피트 값을 측정하고 그 다음에 비트 값을 얻기 위하여 숫자들의 선분의 가장 가까운 구석으로 뛰어 넘는 것을 의미한다.
여기서 여러분은 어떻게 우리가 선분 위에서 피트 값의 반대값을 찾을 수 있는가를 물을지도 모른다. 1 의 반대값은 0 이며, 0 의 반대값은 1 이다. 선분을 다시 한번 들여다보라. 반대값들, A AND not-A 는 대략 1/2 의 중간점 피트 값에 반영된다. 비트 값들 0 과 1 은 중간점으로부터 같은 거리에 있다. 같은 원리가 피트 값과 그 반대값에 적용된다. 3/4 의 반대값은 1/4 이다. 1/3 의 반대값은 2/3 이며, 그런 식으로 계속된다. (이것은 1/2 의 반대값이 1/2 이라는 것을 의미한다. 중간점에서 A 는 not-A 와 같다.) 여러분은 비트들을 사용하는 것처럼 피트들을 사용할 수 있다. 여러분은 그들의 나머지를 버릴 필요가 없다.
피트들의 나머지를 버려서 비트들로 만드는 것은 숫자들의 선분의 양쪽 구석 근처에서는 잘 맞는다. 그러나 만일 우리가 중간점 값의 나머지를 버리려 한다면 어떻게 되겠는가? 우리가 50 % 를 0 % 또는 100 % 로 나머지를 버리는가? 그 질문은 유리잔이 절반이 비어 있는가 또는 절반이 채워져 있는가와는 다르다. 만일 우리가 전부 아니면 아무것도라고 말해야 했다면, 그 질문은 유리잔이 가득 차 있는가 아니면 텅 비어 있는가이어야 한다.
그 선분의 중간점은 현대 수학에서의 '패러독스' 이다. 수학자들은 약간은 중간점 또는 경계선의 경우들이, 우리가 연구를 하면 해결할 수 있는 쉬운 문제들인, 예외들이라는 것을 암시하기 위하여 중간점에 '패러독스' 란 용어를 부여했다. 사실은 그들이 2 치적 수학과 논리의 바로 그 토대에서 생겨난다.
20 세기 초, 최초로 평화 표지를 만든 논리학자 버트런드 러셀은 패러독스들이, 대상들의 집합들과 대상들의 부분 집합들의 수학 이론인, 집합론을 괴롭히는 것을 보여 주었다. 그는 이것을 이발사 예로 보여주었다.
러셀의 이발사는, '나는 스스로 수염을 깎지 않는 모든 남자의 수염을 깎는다.' 라는 광고를 내걸고 있는, 수염을 기른 사람이다. 그렇다면 누가 이발사의 수염을 깎는가? 만일 그가 스스로 수염을 깎는다면, 그의 광고에 의하면 그는 자신의 수염을 깎지 않아야 한다. 그러나 만일 그가 스스로 수염을 깎지 않는다면, 그의 광고에 의하면 그는 자신의 수염을 깎아야 한다. 그는 스스로 수염을 깎아야 하며 동시에 깎지 말아야 한다.
또는 '나를 믿어라.' 라고 쓰인, 캘리포니아의 자동차에 붙은 스티커를 생각해 보라. 우리는 그 운전자를 믿거나, 믿지 않거나, 또는 어느 정도만큼만 믿을 수 있다. 그러나 우리가 '나를 믿지 말라.' 라는 스티커를 붙인 자동차를 보았다고 가정해 보자. 우리는 그 운전자를 믿는가? 만일 우리가 그 운전자를 믿는다면, 그 스티커에 의하여 우리는 그 운전자를 믿지 않아야 한다. 우리가 그 운전자를 믿지 않는다면, 또다시 스티커 때문에 우리는 그 운전자를 믿어야 한다. 우리는, 아리스토텔레스식 상황이 아닌, 운전자를 믿으며 동시에 믿지 않아야 하는 상황에 이르게 된다.
퍼지 해석은 유리잔, 이발사, 그리고 운전자를 중간점 현상으로 취급한다. 그들을 기술하는 주장들을 문자 그대로 절반의 진실이다. 그들은, 100 % 또는 0 % 가 아니라, 50 % 진실이다. 만일 우리가 100 % 가득 찬 유리잔, 100 % 수염 깎기, 또는 100 % 믿음을 고집한다면, 우리는 2 치적 패러독스에 빠진다. 절반이 비고 절반이 가득 찬 유리잔이 이것을 잘 보여준다. 물은 유리잔에 50 % 만 들어 있다. 그것이 세계의 진짜 상태다. 그것은 유리잔이 가득 찰 확률이 50 % 라는 것을 의미하지는 않는다. 유리잔이 절반만 찬 것을 의미하고 있다.
만일 어떤 문명적 이유 때문에 우리가 말하는 것을 전부 또는 아무것도, 옳음 또는 틀림, 예 또는 아니오의 선택만으로 제한한다면, 우리는 대가를 치르고 우리 앞에, A AND not-A 의 경우인, 진짜 모순 덩어리를 갖게 된다.
2 치성과 다치성의 줄다리기의 밑바닥에 방정식이 있다. 2 치성은 그런 방정식이 존재하지 않거나 논리적 이치에 맞지 않는다고 말한다. 다치성은 방정식이 어느 정도까지는 존재한다고 말한다. 극단적인 경우에는 방정식이 완전한 정도로 존재하거나 전혀 존재하지 않는다. 편집자들은 마치 정원사가 장미 정원에서 잡초들을 뽑아내듯이, 인기 있는 과학책들에서 방정식들을 줄여 나간다. 그래서 이 방정식의 충격을 완화하기 위하여 나는 퍼지 논리와 이 책의 중심이 되는 방정식에, 분명히 과학자들과 수학자들의 웃음거리가 되겠지만, 음 - 양 방정식이란 이름을 붙이겠다.
A = not-A
이것은 방정식 형태로는 '모순' 이다. 'A AND not-A' 또는 'A 는 not-A 다.' 라는 대신에 등호 (=) 는 두 명제가 모든 엄격함과 겉치레를 갖춘 형식 수학의 형태를 갖게 한다. 논리에서 등호는 상호 조건을 의미한다. A 는 not-A 를 의미하는 동시에 not-A 는 A 를 의미한다. 그래서 2 치적 추론이 음 - 양 방정식으로 환원된다. 절반이 빈 컵은 컵이 절반 차 있다는 것을 의미하며, 그 반대도 마찬가지다.
<그림 3>
우리는 음-양 방정식이 작용하는 그림, 또는 음-양 방정식이 다른 정도들을 유지하는 일련의 그림들을 그릴 수 있다. 초등학교에서 가르쳤던 집합론의 벤 다이어그램 (Venn diagram) 을 기억해 보라. 우리는 상자 또는 네모꼴을, A 조각과 not-A 조각의, 두 부분으로 나눈다. 우리는 상자 속의 사과들을 빨강 사과들과 빨강이 아닌 사과들로 분리한다. 이것은 A 와 not-A 의 두 집합 사이를 깨끗한 선으로 만든다 (그림 3).
이것이, 아리스토텔레스와 수학의 흑백 세계인, 2 치적 경우이다. 음-양 방정식은 여기에는 전혀 적용되지 않는다. 더 정확히 말하자면 음-양 방정식은 여기서 0 의 정도를 나타낸다. 거기에는 아무런 겹침도 없으며, 정확한 경계선들이 존재한다.
자, 이제 전체가 빨강이 아닌 사과들이 있다고 가정해 보자. 몇 개는 오렌지색, 핑크색, 또는 초록색 줄무늬가 있다. 만일 우리가 가게 주인에게 사과 한 상자를 열어 빨강 사과들과 빨강이 아닌 사과들의 두 무더기로 구분하라 한다면, 그는 두 개의 무더기와 빨강 또는 빨강-아님으로 구분하기 어려운 사과들의 셋째 번 무더기를 만들지도 모른다. 셋째 번 무더기에 있는 사과들은 어느 정도로 빨간색이며 동시에 어느 정도로 빨간색이 아니다. 대부분의 가게 주인들은 그들이 분류하기 어렵다고 생각한 '회색 영역' 사과들의 셋째 번 무더기를 가질 것이다. 이들이 이것-아니면-저것의 아리스토텔레스의 법칙을 깨뜨린다.
<그림 4>
<그림 4> 에 있는 벤 다이어그램에서 A 와 not-A 의 집합들은 약간 겹쳐진다. 이 경우에 음 - 양 방정식은 어떤 정도를 나타낸다. A 와 not-A 의 겹쳐진 양이 그 정도의 척도다.
<그림 5>
자, 이제 가게 주인이 새 사과 상자 하나를 연다고 가정해 보자. 이번에는 각 사과가 빨간색인 만큼이 빨간색이 아니다. 우리는 가게 주인이 사과들을 무더기로 나누는 한 그가 어떻게 빨강과 빨강-아님을 결정하는지는 상관하지 않는다. 그러면 셋째 번 무더기가 유일한 무더기가 된다. 그래서 벤 다이어그램은 두 개의 서로 완전히 겹치는 네모꼴을 보여준다 (그림 5).
여기서 서로 반대가 되는 것들이 일치한다. 그래서 음 - 양 방정식은 100 % 를 나타낸다. A = not-A. 우리는, 빨강 사과들의 집합과 빨강이 아닌 사과들의 집합을, 만족한 고객들의 집합과 만족하지 못한 고객들의 집합을, 자신의 직업을 좋아하는 사람들과 좋아하지 않는 사람들을, A 와 그 반대인 not-A 를 구별할 수 없다.
이들 세 퍼지 벤 다이어그램은 다시 한번, 극단적인 경우들에 다치성이 2 치성으로 환원되는, 흑과 백이 회색의 특별한 경우라는 것을 보여준다. 벤 다이어그램들에서처럼 실생활에서도, 우리는 퍼지성의 정밀성과 표현 능력을 2 치성의 나머지를 버린 단순성과 맞바꾼다.
1980 년대 중반에 퍼지성을 가르치는 동안에 나는 퍼지성과 2 치성의 교환을 잘 나타내는 그림을 찾아보았다. 나는 그 그림을 루빅 큐브 (Rubik's Cube) 에서 발견했다. 색깔이 칠해진 작은 네모들은 그 그림의 일부가 아니다. 그러나 그 네모들은, 다음 장에서 우리가 논의할, 학습 퍼지 시스템의 꽤 복잡한 그림의 일부분이다. 루빅 큐브는 3 차원 입방체이다. ――― 3 차원 퍼지 입방체이다. 루빅 큐브의 여섯 면은 각각 2 차원 입방체 또는 정사각형처럼 보인다. ――― 2 차원 퍼지 입방체이다. 루빅 큐브의 열두 모서리들은 모두 각각 1 차원 입방체 또는, 위에서 보았던 숫자들의 선분처럼 직선처럼 보인다. ――― 1 차원 퍼지 입방체이다. 여러분은 이것을 사과의 예에서 찾을 수 있다.
세 개의 빨간색 사과를 보라. 세 개의 사과로 만들 수 있는 부분 집합은 몇 개인가? 여덟 개의 부분 집합이 존재한다. ――― 세 개의 사과 모두, 두 개씩 짝짓는 세 가지, 하나씩 세 가지, 그리고 아무 사과도 없는 '공집합'. 루빅 큐브도 역시 여덟 개의 꼭지점들 또는 구석들을 가진다. 우연의 일치? 아니다, 관련이 있다. 수학에서 우리는 그것을 ――― 두 가지 대상이 같은 구조 또는 형태를 가지는 ――― 동형 사상 (isomorphism) 이라 부른다.
여러분은 입방체의 서로 수직인 세 모서리를 길이, 폭, 그리고 높이의 척도로 생각할 수 있다. 또한 여러분은 그 세 모서리를 세 개의 빨간색 사과들의 빨간 정도의 척도로 생각할 수 있다. 각 수직인 모서리는 빨간 정도 0 % 로부터 100 % 까지, 0 에서 1 까지, 빨간색 아님으로부터 순수한 빨간색까지 늘어선다. 만일 우리가 빨간 정도를 0 또는 1 의 2 치적 극단들로 제한한다면, 그것은 입방체의 꼭지점들에 0 과 1 들의 여덟 가지 조합을 마련한다 (그림 6).
<그림 6>
1 과 0 들은 사과의 완전한 빨강과 빨강-아님을 표시한다. 2 진수열 (1 0 1) 은 첫째와 셋째 사과들은 완전한 빨간색이지만 둘째 사과는 100 % 빨간색이 아니라는 것을 의미한다. 0 의 2 진수열 (0 0 0) 은, 빨간색 사과들의 공집합인, 어느 사과도 빨간색이 아니라는 것을 의미한다. 만일 여러분이 입방체를 잠시 동안 들여다보면, 여러분은 아리스토텔레스의 흑 - 백 논리가 작용하고 있는 것을 알 수 있다. 긴 대각선들 (점선들) 은 서로 반대인 집합들을 연결한다. 그림에서 긴 대각선이, 셋째 번 빨간색 사과만을 포함하는 집합인 (0 0 1) 과, 단지 첫째 번과 둘째 번 빨간색 사과들만을 포함하는 집합인 (1 1 0) 을 연결한다. 만일 여러분이 1 과 0 을 서로 바꾸면, 여러분은 2 치적 반대 집합을 얻는다. (주석 : 만일 우리가 비트 열들 (0 0 1) 과 (1 1 0) 을 서로 옆에 놓고 각각 해당하는 칸에 가장 큰 값을 뽑는다면 우리는 합 비트 열 (1 1 1 ) 을 얻기 때문에, 중간제외의 법칙 (A OR not-A) 이 성립한다.
(0 0 1) or (1 1 0) = (1 1 1)
그래서 각 빨간색 사과는 사과들의 첫째 번 집합 또는 둘째 번 집합 안에 있다. 만일 우리가 각각 해당하는 비트 값들을 더하면, 이 합 비트 열이 또한 만들어진다. 만일 우리가 (0 0 1) 과 (1 1 0) 속에서 각각 해당하는 칸에서 가장 작은 값을 뽑는다면 우리는 공집합 (0 0 0) 을 얻기 때문에, 모순-아님의 법칙 not- (A AND not-A) 은 성립하지 않는다.
(0 0 1) and (1 1 0) = (0 0 0)
그래서 사과들의 첫째 번 집합, 그리고 둘째 번 집합 양쪽에 아무 사과도 존재하지 않는다. 만일 우리가 각각 해당하는 비트 값들을 곱하면, 이 교차하는 비트열이 또한 만들어진다.)
만일 2 치적 집합들이 입방체의 꼭지점에 위치한다면, 그 입방체의 속에는 무엇이 있겠는가? 퍼지 또는 다치 집합들이 존재한다. 이런 집합들 안에서 사과들은 오직 0 과 1 사이의 어느 정도까지만 빨간색이다. 퍼지 집합들이 입방체 내부를 채운다. 퍼지 집합 (0 0 3/4) 에는 오직 셋째 번 사과만이 존재하며 단지 75 % 만 빨간 것을 의미한다. 반만 빨간 사과들의 집합 (1/2 1/2 1/2) 은 퍼지 정육면체의 중심점에 위치한다. 이 집합은 자신의 반대 집합 ――― 반만 빨간색이 아닌 사과들의 집합 ――― 과 같을 뿐만 아니라 그 집합 ――― 오직 그 집합만이 ――― 정육면체의 여덟 개의 꼭지점들과 같은 거리에 있다. 각 꼭지점이 똑같이 가깝고 똑같이 멀기 때문에, 여러분은 나머지를 버려서 중심점을 가장 가까운 꼭지점으로 보낼 수 없다.
<그림 7>
두 사람만의 청중을 생각해 보라. 각자는 질문에 대답하려고 한손을 올린다. 우리는 그들에게 자신의 직장에 만족하는가 묻는다. 아리스토텔레스의 흑 - 백 논리의 극단적인 경우에, 네 가지 경우가 생길 수 있다. ――― (1) 두 사람의 손이 모두 올라간다. (2) 두 사람의 손이 모두 내려져 있다. (3) 한 사람의 손만 올라가고 다른 한 사람의 손은 내려진 채 있다, 또는 (4) 한 사람의 손은 내려진 채 있으며 다른 한 사람의 손만 올라간다. 이 네 가지 2 치적 경우들은 네 쌍의 비트 값들 (1 1), (0 0), (1 0), (0 1) 에 해당한다. 3 차원 퍼지 입방체는 차원 하나를 잃어 버리고 2 차원 입방체인 단위 길이의 정사각형이 된다 (그림 7).
수평 좌표 축은 이제 첫째 번 사람이 손을 올리는 정도를 측정한다. 수직 좌표 축은 둘째 번 사람이 손을 올리는 정도를 측정한다. 중간점은 한가운데 위치하여 여전히 네 개의 2 치적 꼭지점들로부터 같은 거리에 있다.
퍼지 청중들의 반응들이 정사각형의 나머지 부분들을 채운다. 퍼지 반응 (1/3 3/4) 은 비트들 대신에 피트들 (퍼지 단위들) 의 목록이다 .여기서 첫째 번 사람인 여자는 손을 부분적으로, 약 33 % 정도 올린다. 그녀는 자신의 일을 좋아하기보다는 더 싫어한다. 둘째 번 사람인 남자는 손을 75 % 올린다. 그는 자신의 일을 싫어하지 않고 더 좋아한다. 그들을 퍼지 정사각형에 집어넣기 위하여 우리는 아래 맨 왼쪽 구석에서 시작하여 수평선을 따라 1/3 만큼 움직이고 수직선을 따라 3/4 만큼 올라간다 (그림 8).
<그림 8>
반대편 청중의 반응은 (2/3 1/4) 이다. 여기서 여자는 자신의 일을 싫어한다기보다 더 좋아한다. 남자는 자신의 일을 좋아한다기보다 더 싫어한다. 만일 A 라는 글자가 첫째 번 퍼지 집합 (1/3 3/4) 을 나타낸다면, not-A 은 그 반대 집합인 (2/3 1/4) 을 나타낸다.
자, 그렇다면 아리스토텔레스의 법칙은 어떻게 되었는가? 이것 아니면 저것의 법칙이 더 이상 성립하지 않는다. ――― A OR not-A 는 (2/3 3/4) 이다. 그것은 2 치적 극단인 (1 1) 에 미달한다. 모순 - 아님의 법칙 역시 맞지 않는다. A AND not-A 는 (0 0) 이 아니라 (1/3 1/4) 이다. 그것은 '공집합' (0 0) 이 아니다. 아리스토텔레스가 부처에게 약간의 자리를 내준다. ――― 한 사람이 올라가면 다른 사람이 내려간다. 이 네 점을 퍼지 정사각형에 표시해 보면, 그들이 내부에서 사각형을 형성하는 것을 알 수 있다 (그림 9).
<그림 9>
나는 이것을 '퍼지 사각형 완성하기' 라 부른다. 청중들의 반응들이 덜 퍼지적일수록, 내부 사각형은 퍼지가 아닌 구석들을 향하여 움직인다. 극단적인 경우에, 만일 우리가 2 치적 방법을 따르고 퍼지 반응 (1/3 3/4) 을 가장 가까운 비트 값으로 나머지를 버린다면, 우리는, 위 왼쪽 구석인, (0 1) 을 얻는다. 그 경우에 내부 사각형은 정사각형의 구석들과 일치하며 아리스토텔레스가 지배한다. 현대 과학과 수학의 모든 답이 흑 또는 백인 바로 이 매우 드문 경우에 해당한다. 아리스토텔레스가 구석으로 몰렸다.
자, 이제 대답들을 더 퍼지적으로 해 보자. 말하자면 그들이 손을 대강 반쯤 올리려 한다. 그러면 A, not-A, A OR not-A, A AND not-A 의 내부 사각형이 중간점으로 줄어든다. 만일 청중이 50 명 또는 100 명이라도 같은 일이 일어나지만, 우리가 시각화할 수 없는 '다차원 입방체 (hypercube)' 에서 일어난다. (주석 : 50 명의 청중은 250 구석들을 가진다. 여기서 250 은 2 × 2 × 2 × 2 ×…… × 2 를 의미한다. 100 명의 청중은 2100 구석들을 가진다. 모든 다면체들은 정확히 하나의 중심점을 가진다. 다면체 속의 모든 점들 중에서 오직 중심점 하나만이 각 꼭지점 (구석) 으로부터 같은 거리에 있다.)
대답이 더 퍼지적일수록, 내부 사각형은 더 줄어들어, A OR not-A 가 더욱더 A AND not-A 와 비슷해진다. 모든 손이 단지 50 % 만 올라간 상태, 즉 각 사람이 그의 직업에 만족하지 못하는 만큼 만족할 때의 극단적인 경우에, 내부 사각형은 정사각형의 중심점으로 수축한다.그러면, 그리고 오직 그때만, 음 - 양 방정식이 정사각형 내부에서 100 % 적용된다. 그러면 A 는 그 반대인 not-A 와 같다.
A = A OR not-A = A AND not-A = not-A
중심점에서 여러분은, 마치 반쯤 빈 유리잔과 반쯤 채워진 유리잔을 구별할 수 없는 것처럼, 어떤 것과 그 반대의 차이를 말할 수 없다. 정사각형의 꼭지점에서 여러분은 유와 무를 100 % 분명하게 구별할 수 있다. 그 사이에 회색의 색조가 존재한다.
2 치성은 정사각형의 꼭지점에서 적용된다. 다치성은 그 밖의 모든 곳에서 적용된다. 아리스토텔레스는 퍼지 정사각형의 꼭지점만 지배한다. 이것은 회색 선택의 여지들의 연속체의 한복판에 흑백 선택의 드문 경우다. 부처는 아무 꼭지점에서도 지배하지 않는다. 부처는 어느 정도까지 직사각형 내부 모든 곳을 지배한다. 부처는, 음 - 양 방정식이 100 % 적용되는, 직사각형의 중심점에서 100 % 지배한다. 여러분은 이것을 수많은 작은 아리스토텔레스들이 정사각형의 꼭지점에 앉아 있고 부처가 정사각형의 중심에 가부좌를 틀고 앉아 있는 것으로 그려 볼 수 있다.
정사각형의 중심점은 패러독스로 가득 차 있다. 중심점은 과학의 흑 - 백 세계를 향하여 들어올린 가운뎃손가락처럼 솟아 있다. 2 치주의 과학자들이 아무리 노력해도, 그들은 결코 꼭지점으로 만들기 위하여 중심점의 나머지를 버릴 수 없다. 여러분은 물이 반쯤 담긴 유리잔을 동시에 가득 차고 텅 비게 할 수 없다. 중심점은 집합론의 블랙 홀 (black hole) 이다.
정보는 우리가 세계를 그려 보는 것을 도와 준다. 매초마다 우리 눈은 수백만 비트의 정보를 우리 뇌에 보낸다. 우리 마음은 신문들, 텔레비전 쇼들, 편지들, 전화 통화들, 팩스, 소문들을 먹고 산다. 우리는 현미경, 콘택트 렌즈, 망원경, 온도계, 기압계, CAT 스캐너, 쌍안경, 그리고 세계를 정보고 바꾸는 데 우리는 도와 주는 수백 가지 다른 도구들을 이용하여 우리의 감각들을 확장한다.
각 새로운 데이터는 우리 마음을 변화시킨다. 우리 뇌 소에서 정보는 우리의 뇌세포 또는 뉴런 (neuron) 을 어떠하게 변화시킨다. 이것이, 우리 뇌세포들 사이의 '젖은' 연결선인 시냅스 (synapse) 들의 패턴을 약간 바꾼다. 우리가 더 많은 정보를 얻으면, 우리는 더 분명하게 세계의 더 정확한 그림을 얻는다. 우리는 현실에 대한 더 분명한 견해를 가진다. 그러나 그것이 현실로부터 퍼지성을 제거하는가?
존이 30 대 초반이라 갖어해 보자. 존은 늙었는가? 예 또는 아니오? 그는 젊은가? 예 또는 아니오? 존이 나이를 더 정확하게 알아본다. 말하자면 존은 오는 생일에 30 세가 된다는 것을 우리가 알게 된다. 그러면 존은 젊은가 늙었는가? 존의 나이에 대한 정밀한 정보가 우리에게 무엇을 말해 주는가? 그것은 단지 존이 35 세가 될 때 더 늙게 된다는 것만을 말해 준다. 그것은 우리에게 늙음과 젊음이 정도의 문제라는 것을 말해 준다. 그것들은 퍼지 개념들이다. 늙음과 젊음은 인구의 퍼지 부분 집합을 나타낸다.
그것은 모두 이렇게 귀착한다. ――― 어디에 우리가 선을 긋는가? 그 질문이 회색의 세계 속에서 흑 - 백 추론을 괴롭힌다. 미국 정부는 여러분의 18 세 생일의 첫순간에 성인 (adult) 임이 시작된다고 말한다. 정부가 우리를 위하여 선을 긋고, 우리는 그것을 잘 이용한다. 우리는 이 선을 나이들의 척도 위에 성인과 성인 아님을 구분하는 가상의 선으로 볼 수 있다 (그림 10).
<그림 10>
우리는 18 세 근처의 다른 나이에 선을 그을 수 있지만, 그 이유를 잘 설명할 수 없다. 우리는 14 세면 성인이라 하기 어렵고, 25 세면 충분치 않더라도 보통 성인으로 알고 있다. 우리는 또한, 늙음에 대한 퍼지 개념 '늙음' 과 같이, 나이를 먹음에 따라 성인이 된다. 그래서 퍼지 원리는 성인을 퍼지 개념으로 보고 직선이 아니라 곡선으로 그것을 그린다 (그림 11).
<그림 11>
퍼지 이론은, A 와 not-A 사이에, 반대편들 사이에 곡선을 그린다. 더 많은 정보, 더 많은 '사실들' 은 우리가 곡선 긋는 것을 돕는다. 만일 우리가 충분한 정보를 가졌다면, 우리는 늙음과 젊음의 흐릿한 개념을 퍼지 집합 곡선들로 바꿀 수 있다 (그림 12).
<그림 12>
우리가 더 많은 정보를 가질수록, 곡선에 굴곡이 더 많아지고, 곡선은 더 현실과 가까워진다.
모든 것이 상대적일 때, 유와 무 사이의 분리는 여전히 더 복잡해진다. 예술과 비예술 사이의 '선' 을 생각해 보라. 더 많은 정보가 무슨 그림들, 몸 움직임들, 서정시들, 영화 연속물이 예술이고 어떤 것이 '외설' 또는 비예술인가를 결정하는 검열을 도울 수 있는가? 최후에는 그 분리는 '판단 필요' 때문이다. 그리고 시작에서도 마찬가지다. 대상들과 행위는 취향, 전통, 그리고 일시적 기분에 따라 어느 정도까지는 예술 또는 비예술이다. 예술품 상인들과 비평가들은 그들이 보는 대상의 미적 내용물에 따라 그림들, 펜화들, 그리고 조각들의 값을 매기고 등급을 정한다.
아름다움은 퍼지적이면서 상대적이다. 아름다움은 말하는 사람과 문명에 따라 다르다. 비슷한 그림들, 또는 선율들, 또는 이야기 줄거리, 대사 글귀는 새로운 문명적 조류를 만들 수 있으며 표절 판결로 끝날 수 있다. 대중 예술가들과 코미디언들은 아름다움과 오락 사이의, 또는 통찰력과 어리석음 사이의, 또는 예술과 검열관의 외설에 대한 공표되지 않은 정의 사이의 경계들을 흐릿하게 하는 데 뛰어나다. 아름다움은 보는 사람의 눈에 달려 있을 뿐 아니라, 어느 정도까지는 그러한 데도 달려 있다.
법률적 판단은 항상 퍼지적이고 상대적이다. 정의의 척도는 변하는 정도에 따라 기울어진다. 법관들은 충분한 의도를 가지고 죄를 지은 사람들에게 유죄 선고를 하며, 충분한 정신 장애로 죄를 지은 사람들을 사면한다. 판사들, 법률 학자들, 그리고 나머지 우리들은 개인의 자유와 정부의 규제 사이의, 개인과 국가, 선택과 명령 사이의 경계들을 찾는다. 농담들은 모욕 또는 욕설 또는 괴롭힘을 감추고 있다.
여러분은 여러분의 집이 서 있는 땅을 소유할지는 몰라도 여러분 집 위의 공간도 소유하는가? 여러분은 지금 바로 여러분의 몸을 뚫고 지나가는 수십 개의 라디오와 텔레비전 신호들을 소유하는가? 누가 바다 또는 달 또는 태양 또는 오르트 성운을 소유하는가? 만일 우리가, 지금 막 지구를 다른 외계인들에게 팔아넘긴, 또는 지구에 생명의 씨앗을 심고 나중에 거두어 들이려고 계획한 우주여행을 하는 외계인들이 남긴, 수백만 년 또는 수억 년 된 아주 옛날의 소유권 표지들을 파냈다면 어떻게 되는가?
법률적 개념들은 문명에 따라, 그리고 그들 내부에서 달라진다. 20 세기의 엄청난 정보의 증가가 정의와 불의, 공평함과 불공평함, 옳음과 틀림, 의도와 무의도, 계약 위반과 준수, 개인과 대중, 나의 것과 너의 것 사이에 선을 그으려는 우리를 돕지 못해 왔다. 정보는 앞으로 수백 년 동안 증가할 것이다. 법률적 결정들이 단순화되기보다는, 더 많은 정보가 법률적 유와 무 사이에, 그리고 그 속에 퍼지적인 것을 증가시킨다. 더 많은 정보는 법률적 진창에 더 깊이 빠져들게 하다. 정밀성이 증가하면, 정보가 늘어나고, 퍼지성이 증가한다.
생명은 퍼지 개념인가? 더 많은 과학과 측정들이 임신 중절 논쟁을 해결할 것인가? 의학 또는 정부가 수태시 또는 첫째 번 또는 둘째 번 3 개월에 생명과 생명-아님 사이에 선을 그을 것인가? 때가 되면 나는 우리가 생명을 퍼지 곡선으로 그릴 것이라고 생각한다 (그림 13).
<그림 13>
우리는 이 곡선을 의학 학술회의들, 또는 언론 매체를 통한 여론 조사 또는 국민 투표, 또는 서로 작용하는 유선 방송 투표로부터의 자료들로 그릴지도 모른다. 그런 곡선으로 우리가 무엇을 하는가는 또 다른 문제이다. 또 다른 정도의 문제이다.
더 많은 정보는 더 많은 사실을 의미한다. 더 많은 정보가 사실들을 더 잘 설명할 것이다. 더 많은 정보는 우리에게 여러 각도로부터 더 선명한 그림들을 제공할 것이다. 그러나 퍼지적인 것들은 그런 그림들의 영원한 한 부분이 될 것을 약속한다. 많은 분야에서 미래는 퍼지적으로 보인다.
퍼지 엔지니어들은 컴퓨터가 사람이 하는 것처럼 추론하게 하기 위하여 반도체들과 소프트웨어들을 설계한다. 그것이 컴퓨터들을 더 똑똑하게 하고 컴퓨터를 가지고 일하기 쉽게 한다. 이제 여러분은 퍼지 소프트웨어 시스템들을 영어나 일본어로 프로그램할 수 있으며, 세부사항들은 여러분이 결코 만나지 않을 소프트웨어 기술자들에게 맡길 수 있다. 미래의 퍼지 시스템들은 여러분이 키보드를 두드려서가 아니라 말로 프로그램하게 할 것이다. 또 다른 미래의 퍼지 시스템들인, 다음 장에서 우리가 논의할, 적응 퍼지 시스템들은 경험으로부터 배우고 자체적으로 프로그램한다.
퍼지 지식은 퍼지 규칙들로 귀착된다. 퍼지 규칙은 퍼지 개념들과 조건부 주장들의 형식으로 관련된다. ――― 만일 X 가 A 라면, Y 는 B 다. 만일 교통량이 많다면, 푸른 신호를 더 길게 해라. 그냥 평범한 문장이다. 규칙은 퍼지 집합들 '많다' 와 '길게' 를 관련시킨다. 우리는 이 집합들을 커다란 퍼지 입방체 속에서 곡선들 또는 점들로 그릴 수 있다. 모든 교통량은 어느 정도까지 많다. 우리는 교통 신호가 푸른색을 어느 정도로 더 길게 유지하도록 시간을 조절할 수 있다. 교통량의 밀도들과 교통 신호의 시간들의 조합들은 무한히 많다. 그러나 단 하나의 퍼지 규칙이 그들 모두를 연결한다. 그리고 그것을 사용하는 교통 신호 제어기의 기계 지능을 높인다.
퍼지 시스템들은 수십 또는 수백 또는 수천 개의 이런 상식적인 퍼지 규칙들을 간직한다. 각각의 새로운 자료가 모든 퍼지 규칙을 어느 정도 (대부분은 0 의 정도) 까지 활동하게 한다. 그 다음에 퍼지 시스템은 결과들을 서로 섞어서 마지막 결과 또는 해결책을 만든다. 퍼지 반도체 (chips) 에서 이런 '병행하는' 추론이 매초당 수천 번 또는 수백만 번 일어난다. 우리는 그 추론하는 것을 플립스 (FLIPS) 또는 매초 당 퍼지 논리 추론 횟수로 셈한다.
고속의 퍼지 시스템들은 똑똑하다. 오늘날 일본에서는 퍼지 시스템들이 인간들이 할 수 있는 것보다 지하철을 더 잘 제어하며 헬리콥터를 안정하게 한다. 그들의 규칙들 속에 있는 퍼지성이 부드러운 제어로 인도한다. 이 방식이 낡은 수학적 제어 시스템들의 덜컹거리며 지나치는, 또는 미치지 못하는 경우들을 줄인다. 다시 말해 너무 춥거나 너무 더운 에어컨, 초점이 맞지 않거나 흐릿한 카메라.
곧 우리는 집, 사무실, 자동차, 그리고 비행기 안에 퍼지 장치들을 갖게 될 것이다. 우리가 알지 못하거나, 광고업자들이 우리에게 알리지 않더라도, 그들은 거기에 존재할 것이다. 우리는 결코 잘못을 저지르지 않으며 피곤해하지 않고 불평을 하지 않는 아주 작은 고속의 퍼지 전문가들의 집단에게 명령을 내리 것이다.
센서 기술이 퍼지 혁명을 재촉하다. 그 아주 작은 퍼지 전문가들은 수많은 자료들을 필요로 하며, 빠를수록 그리고 정밀할수록 더 좋다.
퍼지 세탁기는 빨랫감들의 양과 옷감의 종류를 측정하기 위하여 부하 센서를 이용하며, 빨래하는 물의 더러움을 측정하기 위하여 맥동하는 빛 센서를 사용한다. 매초마다 몇 안 되는 퍼지 규칙들이 이 측정 결과들을 다른 시간 간격으로 물을 휘젓는 패턴으로 바꾼다. 퍼지 진공 청소기는 먼지 밀도와 양탄자의 짜임새를 측정하기 위하여 적외선 센서를 사용한다. 자료들이 입력되면 퍼지 규칙들이 청소기의 흡입 강도를 조절한다.
퍼지 텔레비전들은 매 텔레비전 영상 화면에서 상대적 밝기, 대조, 그리고 색깔을 측정하며, 그리고는 더 선명한 화면을 만들기 위하여 각 영상의 각 부분에 대한 이 값들에 대하여 '손잡이들을 돌려' 조절한다. 여러분이 텔레비전을 볼 때, 손잡이들은, 마치 고속의 전문가처럼 화면을 쳐다보며 매초당 스쳐가는 30 여 개의 영상들 각각에 대한 가장 적당한 값을 계산하여, 약간씩 돌리기를 계속한다.
더 오래 된 퍼지 시스템에서는 전문가는 상식적인 규칙들을 제공한다. 퍼지 엔지니어가 전문가와 나란히 앉아 어떻게 렌즈의 초점을 맞추는가, 또는 어떻게 왼쪽으로 도는가, 또는 어떻게 헬리콥터를 흔들리지 않게 하는가를 물을지도 모른다. 적응 퍼지 시스템에서는, 어떻게 인간의 두뇌가 배우고 패턴을 인식하는가를 흉내내는 컴퓨터 시스템인, '두뇌 같은' 신경 회로망이 교육받은 자료들로부터 퍼지 규칙들을 만들어 낸다. 그들은 경험으로부터 배운다. DIRO : Data in, rules out (자료를 넣으면, 규칙들이 나온다). 신경 시스템은 시스템의 눈과 귀처럼 행동한다. 신경 시스템은 자료들 속에서 패턴을 '보며' 이 패턴들을 연관시키는 규칙들을 천천히 만들어 낸다. 패턴들은 퍼지 집합들이며, 그 관계들이 퍼지 규칙들이다. 퍼지 시스템은 이 규칙들을 패턴으로 추론하는 데 사용한다. 여러분은 적응 퍼지 교통 신호 제어기에게 어떻게 교통 경찰 또는 교통 신호가 교통을 통제하는가를 보여 줄 것이다. 더 많은 자료들이 들어가면, 더 좋은 규칙들이 만들어진다.
적응 퍼지 시스템들은 전문가들의 '두뇌를 흡수한다'. 전문가들은 시스템에게 무엇이 그들을 전문가로 만드는가를 이야기할 필요가 없다. 그들은 단지 전문가로서 행동만 하면 된다. 그 행동이 신경망들이 규칙들을 찾아내고 제어하는 데 사용할 자료들을 제공한다. 똑똑한 자동차들, 또는 똑똑한 미사일들, 또는 우리의 혈액과 피부속에서, 그리고 우리의 치아 표면에서 움직이는 매우 작은 로봇 속에 장치된, 미래의 초고급 기계 지능 시스템들은 신경망들로 모든 그들의 퍼지 규칙들을 만들어 낼지도 모른다. 결국 우리는 그렇게 한다.
과학자들은 대부분 퍼지 이론과 퍼지 이론가들을 나쁘게 대우해왔다. 우리들 중 몇몇은 그것을 자초했다. 우리 모두가 그것을 받아드렸다. 마지막에는 그 과정이 퍼지 이론과 퍼지 이론가들을 강화시켰다. 불운은 근육 피로처럼 작용했다.
그러는 동안 우리들 중 많은 사람들이 과학에 대한 믿음을 잃어 버렸다. 그것은 이미 종교와 정부에 대한 믿음을 잃어 버렸던 우리에게 실망을 안겨 주었다. 과학은 구원이 아니었다. 직업으로서 과학은, 직업으로서의 정치처럼, 연구와 진리 추구에 의존하는 만큼이나 좋은 경력을 쌓는 일, 모습을 갖추는 일, 그리고 정치에 의존한다. 사람들은 그들이 과학이란 게임을 시작했을 때 그런 점을 알지 못한다. 그러나 그들은 머지 않아 그것을 배운다.
내가 나의 퍼지 추구에서 배운 가장 어려운 점은 현대 과학이 진짜 새로운 아이디어를 환영하지 않는다는 것이다. 그리고 현대 과학은 '자명한' 수준의 논리와 수학에서조차도 실수를 한다는 점이다.
과학은 커다란 창조적 도약보다 작은 단계들을 더 좋아한다. 현대 과학은 자주 새로운 아이디어들에 대하여, 로마의 카톨릭 교회가 지구가 태양 주위를 돈다는 그의 믿음을 부인하도록 갈릴레이에게 강요하던 때의 행동보다도 더 나을 것이 없는 행동을 한다. 교회와는 달리, 현대의 2 치적 과학은 모든 지식을 소유한다고 주장하지는 않는다. 2 치적 과학이 지식으로 향하는 단 하나의 길을 따른다고 주장한다. 그리고 ――― 고대 그리스의 개화기에 번성했던 ――― 문명의 불구자에 의하여 2 치적 과학은 그 길로 흑백 논리를 인도했다. 과학은 2 치성을 옳은 것으로 가정하므로 퍼지성은 과학적이 아니라고 본다.
나는 확률 논문에 대한 나의 퍼지 응답을 발표하기를 거절한 학술잡지 편집자에게 전화를 한 적이 있다. 그의 편지에 그의 학술잡지는 A AND not-A 가 옳다고 주장한 논문을 발표할 수 없다고 쓰여 있었다. 그래서 나는 그에게 전화를 걸고 그 이유를 물었다. 그는 바로 요점을 말했다. "왜냐하면 내가 편집자이기 때문에 …… ."
나의 퍼지 연구와 싸움은 또한 나에게 움직일 수 없는 사실을 가르쳤다. ――― 과학은 과학자들과 다르다. 과학의 결과는 지식이다. 그러나 과학자들의 결과는 평판이다.
모든 사람은 어느 정도까지 명성과 권력을 추구한다. 과학자들은 그들이 추구하는데 있어 최소한 두 가지 이유에서 독특하다. 첫째로, 그들의 결과는 평판이다. 둘째로, 그들은 더 높은 권위에 순응하지 않는다. 과학 관련 기관은 명성과 권력의 개인적 목적을 위한 수단을 제공하며, 그들은 그들의 젊은이들의 대부분을 이 기관에 들어가도록 훈련한다. 만일 모든 일이 잘 되면, 좋은 평판을 쌓아 가며 과학의 결과인 지식을 뒤에 남긴다. 그들은 학술 논문들, 교과서들, 특수 연구서들, 학술회의 발표 논문집들, 소프트웨어들, 새로운 하드웨어 장치들까지도 남긴다. 그들은 월급, 전문가에 대한 상, 강연 후의 악수, 강연 사례비, 상금, 자문료, 중역 몫의 주식, 그리고 제일 우선해서 긍지를 집으로 가져간다.
퍼지 논리는 과학을 확장한다. 퍼지 논리는 과학의 밑바탕에 깔려 있는 2 진 수학을 확장한다. 퍼지 논리는 우리에게 회색 세계의 회색 그림을 그리도록 허용함으로써 불일치 문제를 해결하는 데 도움을 준다. 다음 장에서 논의되듯이, 퍼지성은 '무작위성' 과 '확률' 의 오래 되고 정의되지 않은 개념들을 집합들 사이에 적용되는 자연스런 관계들로 환원한다. 퍼지 논리는, 경험으로부터 배운 상식으로, 우리가 추론하는 것 이상으로 기계가 어떻게 추론하는가를 우리에게 보여줌으로써 기계 지능을 증가시키며, 그런 방법으로 기계 지능 지수를 높인다.
많은 경우에 퍼지 논리는 2 치적 믿음에 길들여진 수만 명의 살아 있는 그리고 죽은 과학자들의 집단적인 명성의 대가를 지불함으로써 이 공헌이 이루어졌다. 미래학자들에 의하면, 지금까지 존재해 온 과학자들과 공학자들의 70 % 에서 90 % 가 오늘날 살아 있으므로, 집단적인 대가의 대부분은 현대 과학자들에 해당된다.
지난 세기에 존 스튜어트 밀 (John Stuart Mill) 은 새로운 아이디어들은 반대의 세 단계를 통과한다고 말했다. 첫째로, 그들은 틀린다. 둘째로, 그들은 종교에 위배된다. 셋째로, 그들은 이미 낡은, 새로운, 하찮은, 상식적인 것이며, 만일 우리가 충분한 시간과 돈, 그리고 흥미를 가졌다면, 우리 모두가 그들에 대해 생각했을 것이다.
사회의 재빠른 정보 변화율과 연결된 퍼지 논리는 1 단계로부터 3 단계를 향하여 2 단계를 통과하고 있다. 서양에서는 퍼지 이론이 1 단계와 2 단계 사이에 놓여 있다. 대부분의 과학자들은 여전히 2 치적 믿음에 위배된다고 퍼지 이론을 공격하고 있다. 오직 퍼지 제품들의 상업적 성공만이 퍼지 이론을 화제로 삼고 있다. 그렇지 않았다면 퍼지 이론은 아직도 눈에 띄지 않는 학술잡지들의 기사 속에서 잠자고 있었을 것이다.
극동 지역에서는 퍼지 이론이 거의 3 단계까지 발전하고 있다. 퍼지 논리에 대한 그들의 반대들은 철학적 문제보다는 기술적 문제와 관련되어 있다. —— 전문가 지식의 가치, 학습 데이터의 유효성, 소프트웨어 개발의 손쉬움, 컴퓨터-반도체 (chip) 속의 공간과 속도, 센서 데이터의 정확성. 근본적으로 퍼지 논리 또는 다치성은 세계관 또는 이데올로기다. 2 치성 역시 이데올로기이므로, 거기에 말썽의 소지가 존재한다.
과학적 이데올로기들은 정치 마당에서 충돌한다. 나는 이런 주제가 나의 동료들의 취향에 맞지 않는다는 것을 알지만, 이런 것들은 자주 언급되지 않고 지나가므로 누군가가 말해야만 한다. 퍼지 논리의 역사는 이런 정치 속에 젖어 있다. 과학계 밖의 사람들은, 만일 그들이 기술적 전문용어들과 두꺼운 서류들을 헤쳐 나갈 수 있다면, 정치를 과학적 절차와 혼동할지도 모른다. 아리스토텔레스가 말했듯이, 인간은 정치적 동물이다. 과학자들과 비과학자들 모두가 과학자들을 진리를 찾는 자들이라는 덮개, 전문화된 지식의 방패로 가리기 때문에 정치는 점검받지 않은 채 운영된다.
언론은 거의 그 장막을 뚫지 못한다. 그들이 뚫고 들어갔다고 하더라도, 그들은 기술적 주제들을 어떻게 뚫고 나가야 하는지 모르며, 그리고 논쟁에서 누구를 믿어야 하는지 알지 못한다. 그래서 언론은 이름을 밝히지 않은 과학자들의 '대부분' 에게 결정을 맡기며, 소수 의견들을 끼워 넣고는 그 주제를 포기한다. 언론은 정부의 정책, 산업계, 운동과 연예, 또는 언론 자신들마저도 그렇게 가볍게 다루지는 않는다. 여러분은 대학의 부정 행위와 내부적 싸움, 대학원생들의 남용, 정부의 연구비의 배정과 운용에 대한 60 분 (60 Minutes. 사회 문제들을 파헤쳐 심층 보도하는 인기 있는 미국 텔레비전 프로그램 : 역자주) 의 프로그램을 몇 개나 본 적이 있는가?
매일 과학자들은 선택의 여지가 많은 집합들에서 선택을 한다. 정치는 논문 인용과 인용 않음, 대학에서의 승진, 정부 기관에 자리 얻음, 계약과 연구비 받음, 학술회의 초청 강연과 학술회의 조직위원 선발, 학술잡지와 연속으로 발간하는 책의 편집위원회, 학술 논문들과 계약 제안서, 대학 공인 신분을 위한 심사자 선정, 그리고 무엇보다도, 정치적 기류가 레이저 빛처럼 파고드는 곳은, 전문 학술 논문들의 ――― 사무실 문을 잠그고 홀로 이름을 밝히지 않은 과학자가 경쟁자의 연구 결과를 일고 평가하는, 심사 과정 뒤에 숨어 있다. 전문적인 학술회의에서, 공식적인 구두 발표가 거부된 사람들이 외로운 포스터 발표판에 그들의 연구 결과를 보여 주기 위한 장소인, 포스터 지역에서 그들이 말하듯이, 논문을 발표하거나 살라져라. ――― 여러분의 친구들이 발표하는 것을 돕고 여러분의 적들이 사라지는 것을 도와라.
어디까지? 학위, 직장, 승진, 정년 보장 신분, 봉급 인상, 연구비, 더 좋은 자문 일거리, 이력서에 한 줄 추가, 상, 좋은 직책, 총회의 강연, 명성을 얻음, 죽은 뒤의 명성, 정치가들 앞에서의 증언, 아마도 정치가가 되기 위하여, 셈을 갚기 위하여, 친구들을 돕는 친구들을 돕기 위하여, 여러분의 경쟁자를 이기는 단순한 기쁨을 위하여, 평판의 마지막까지.
핵무기가 과학자들과 법률가들을 같은 사무실에 모이게 했다. 그 초창기에는 거래가 확실했다. 법률가들이 과학자들보다 우위에 있었다. 그런 과학자들의 대부분은 물리학자들과 경제학자들이었다. 그들은 정치가들을 위하여 새로운 정책을 입안했다. 그들은 정책의 대안들을 제시하지 않았으며 소수만이 직업 정치가가 되었다.
오늘날 그것이 변하고 있다. 더 많은 분야들로부터 더 많은 과학자들이 정부가 새로운 문제들에 직면하도록 도우며 새로운 정책 대안들을 세운다. 우리는 법률가들과 과학자들의 시대에 살고 있다. 전 지구적 온난화, 전 지국적 경제, 온실 효과, 암을 일으키는 식품들, 정신적 충격, 유전공학, 낙태, 우주탐험, 마약에 대한 전쟁, 마약의 합법화 똑똑한 무기들, 생명 연장과 인간 냉동 보존술.
어느 정도까지 사회적 의사일정들 또는 밤 뉴스의 모든 문제가 과학자와 엔지니어들의 의견을 다룬다. 정치가들은 과학적 연구들에 연구비를 제공하고 관찰하며, 그들 앞에서 증언하도록 과학자들을 초청하고, 그 다음에 규칙들과 법률들을 입안한다. 텔레비전과 신문의 후광을 업은, 정치가보다 하나의 퍼지 단계가 제거된, 언론인들은 그들의 관점을 지지하기 위하여 가장 최근의 '과학적' 여론 조사를 인용한다. 신문과 방송의 언론인들은 그런 대중 여론들을 형성하는 것을 돕는다.
다음 단계가 법률가들보다 우위에 선 과학자들이다. 나는 그런 날이 오리라 기대하지는 않지만, 만일 그런 날이 온다면, 과학자로서 나도 그러한 과학 우위 상태에서 잘해 낼지도 모른다. 그러나 나의 퍼지에 대한 과거가 나를 방심하지 않게 한다. 만일 과학자들이 논리와 수학의 '자명한' 수준에서 실수를 범한다면, 그들은 어디에서나 실수를 범할 수 있다. 그것이 퍼지 경험의 진짜 교훈이며, 우리는 지붕 꼭대기에서 그 점을 외쳐야 한다. 정치적 - 과학 격언이 말하듯이, 나는 MIT 나 스탠퍼드, 또는 동경 대학의 교수진들보다는 전화번호 책에 나오는 임의의 수천 명의 사람들로부터 다스림을 받겠다.
이 책 전체에 걸친 또 다른 주제가 있다. 확률과 퍼지성 사이의 싸움이다. 과학자들은 퍼지성이 단지 확률이 모습을 바꾼 것에 불과하며 여러분이 퍼지 논리로 할 수 있는 것들은 퍼지 논리 없이도 할 수 있다고 오랫동안 말해 오고 있다.
나는 젊은 시절 한때를 이 싸움으로 보냈으며, 그것이 내 세계관의 대부분을 형성했다. 퍼지 논리의 가장 심오하고 이상한 아이디어로 인도하고 말하기 위해서는 하나의 장이 필요하다. 부분 속에 있는 전체.