Tree  Method

추론의 타당성을 증명하는 방법에는 진리표 (truth table) , tree , 형식적 증명 (formal proof) 방법이 있다.

진리나무의 방법 (명제논리) : 소광희 : 나무방법 (tree method) 은 훨씬 간단하고 기계적인 타당성 검토의 방법이다. 어떤 추론이 타당하다 함은 그 추론의 전제가 모두 진이면서 그 결론은 위가 되는 경우가 없음을 말한다. 앞으로 그러한 경우를 반례 (counterexample) 라고 부르기로 하자. 따라서 어떤 추론이 타당하다 함은 그 추론에 대해 어떠한 반례도 없음을 말하는 셈이다. 그리하여 주어진 추론의 타당성을 검토하기 위해서는 반례가 있는가 확인해 보면 된다. 나무방법은 바로 효과적으로 반례를 찾아내는 방법이다. 이제 예 하나를 들어서 나무방법을 설명하기로 한다.

진리나무의 방법 (술어논리) : 소광희 : 진리나무의 방법은 양화기호 (quantifier) 를 포함한 추론에도 적용될 수 있다. 그러기 위해서는 특정화의 개념 (전칭의 특정화(US) 와 존재의 특정화 (ES)) 을 잘 이해하고 있어야겠다. US 는 (α) ψα 와 같은 보편양화명제 (universal quantifier) 로부터 α 대신에 임의의 상수를 대입한 ψβ를 얻을 수 있게 해준다. 그리고 ES 는 (∃α)ψα 와 같은 존재양화명제 (existential quantifier) 로부터 α 대신에 어떤 상수 β를 대입함으로써 ψβ를 얻을 수 있게 해준다. 이때 주의할 것은 β는 새로운 상수이어야 한다는 것, 즉 이전에 이미 나온 바 있는 상수이어서는 안 된다는 것이다.

진리나무의 방법 (관계명제) : 소광희 : 앞에서 든 예들은 반드시 관계명제로 해석하지 않고도 그 정당성을 증명할 수 있는 것들이라고 말할 수 있다.그러나 관계명제로 해석하지 않으면 그 타당성을 증명할 수 없는 추론들도 있다. 

진리나무의 방법을 정리해 보자. 어떤 추론이 주어졌을 때 그 추론이 타당하다면 그 추론의 진리나무는 유한한 단계를 거쳐서 모든 길이 닫히게 될 것이다. 또 그 추론이 부당할 경우에는 진리나무가 완성되고 난 후에도 닫히지 않은 길이 하나 이상 있게 된다. 그런데 모든 경우에 진리나무가 유한한 단계를 거쳐서 완성되는가? 그렇지는 않다. 진리나무는 끝없이 계속되면서 닫히지 않을 수 있다. 무한히 계속되는 진리나무는 부당한 추론을 나타낸다.그런데 진리나무의 열린 길은 무엇을 뜻하는가? 진리나무의 열린 길은 반례를 나타낸다. 그러면 무한한 나무의 경우 반례가 어떻게 주어지는가? 적어도 나무방법에 의하면 무한히 계속되는 문장들이 유일한 반례라고 할 수 있다.