진리표 분석과 추론

 

기호논리학 : 소광희 지음, 경문사, 1985, Page 53~76

 

10. 진리표 작성의 요령

11. Tautology

12. 추론

  1) 타당성

  2) 정합성

13. 약식 진리치분석과 타당성

14. 진리나무의 방법 (Ⅰ)

 

10. 진리표 작성의 요령

앞에서 우리는 명제계산에 사용되는 6 가지 기본적 기호의 의미와 용법에 관해서 알아보았다. 이러한 기호로 결합된 분자명제가 진 또는 위가 되는 조건을 표시하기 위하여 고안된 것이 진리표 (truth table) 이다. 명제계산에 사용되는 6가지 기본적 기호의 진리표를 총괄해 보면 다음과 같다.

p

~p

 

p

q

T
F

F
T

 

T
T
F
F

T
F
T
F

T
F
F
F

T
T
T
F

F
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F

T
F
T
T

T
F
F
T

 

 

 

 

진리표는 진리함수적 명제의 진위를 보여줄 뿐만 아니라 추론 에 있어서도 대단히 중요한 역할을 하는 것이니 그 작성요령과 의미를 정확히 알아 두어야 한다. 상세하게 설명하면 다음과 같다.
우선 진리치가 가로로 배열된 열을 횡렬이라 하고 세로로 배열된 것을 종렬이라 하면 이중종선 왼쪽의 명제는 주어진 분자명제에 포함된 각종의 원자명제들이며 그 아래 배열된 진리치의 각 횡렬은 이 원자명제들의 모든 가능한 진리치 할당(truth-value assignment)이다. 가능한 진리치 할당의 경우의 수는 주어진 분자명제에 포함된 원자명제의 종류수에 따라서 결정되며, 진리표의 횡렬수도 이에 따라 달라지게 된다. 원자명제의 종류수를 n이라 하면 '횡렬수=2
n'의 공식이 성립된다. <진리표 A>는 원자명제가 'p' 한 종류이므로 '21=2'에 의하여 횡렬은 두 줄이면 족하나, <진리표 B>에서는 'p'와 'q' 2종류이므로 22=4, 따라서 4개의 횡렬이 필요하다. 원자명제의 종류수에 따라 횡렬수가 결정된 후 진리치를 할당할 때, 무질서하게 할당하면 어떤 경우를 빼놓든가 또는 이중으로 기록하기 쉬우므로 다음 순서로 하는 것이 편리하다.

i) 제 1종렬을 2분하여 상반에는 T, 하반에는 F를 할당한다.
ii) 제 2종렬을 4분하여 위에서부터 T와 F를 교대로 할당한다.
iii) 제 3종렬을 8분하여 ii)와 같이 T와 F를 교대로 할당한다.
iv) 제 4종렬은 16분, 제 5종렬은 32분하여 위의 요령으로 할당한다.

이렇게 하여 이중종선 왼쪽의 원자명제에 대하여 진리치 할당이 끝나면 오른쪽 분자명제의 진리치를 계산한다.
이상의 요령으로    의 진리표를 작성해 보자.

T
T
T
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F

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F

원자명제가 'p', 'q', 'r' 세 종류이므로 종렬수는 23=8이다. 그런데 ''는 'p'와 '의 진리함수이고, ''는 ''의, ''는 'q'와 ''의, ''는 'r'의 진리함수이므로 '', '', ''등 분자명제의 진리치가 먼저 결정되어야 최후로 ''의 진리치가 결정될 것이다. 이들 각 분자명제의 진리치를 이중종선 오른쪽에 간단한 것부터 차례로 계산하여 기입하면 맨끝 열에 전체명제의 진리치가 기입된다. 이렇게 하여 위와 같은 진리표가 작성된다.
그런데 진리표를 작성하기 위하여 분자명제를 분석해서 많은 종렬을 만들고 여기에 일일이 진위를 기입한다는 작업은 여간 번거러운 일이 아니다. 좀 간단히 할 수는 없을까? 위의 명제를 예로 들어 간편한 진리표를 작성해 보자.
  i) 각 원자명제에 할당된 진리치를 다음과 같이 그 명제 바로 밑에 쓴다.
  ii) 각 분자명제를 차례대로 계산하여 그 분자명제의 결합기호 바로 밑에 진리치를 기입한다. 즉 ''에 할당된 진리치에 의하여 결정되는 ''의 진리치를 '~'바로 밑에 쓴 다음, 이 진리치와 'q'에 할당된 진리치로 ''의 진리치를 계산하여 '∨' 바로 밑에 쓴다. 이런 식으로 ''의 진리치는 '~'밑에, 전체명제의 진리치는 '' 밑에 기입하면 다음과 같은 순서로 진리표가 완성된다.

T
T
T
T
F
F
F
F

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F
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F

 

 

 

 

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F

 

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F

 

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F

 

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F
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F
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F
T
F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

위의 세 표 중 맨 오른쪽 표가 완성된 진리표이다. 이 표에서 ↑로 표시된 열의 진리치가 전체명제의 진리치이다.

11. Tautology

진리표 에서 알 수 있는 바와 같이, 분자명제의 진리치를 결정하는 가능한 모든 조건은 여러 가지 경우가 있으나, 이에 따라 결정되는 전체 분자명제의 진리치는 진과 위 두 종류뿐이다. 전체 분자명제의 가능한 모든 진리치가 어떠냐에 따라 명제를 3가지 종류로 나눈다 ;

 

i) 가능한 모든 조건 아래에서 모든 진리치가 진이 되는 명제가 있는가 하면,

ii) 어떤 조건에서도 위인 진리치만 갖게 되는 명제도 있고,

iii) 조건이 달라짐에 따라 진일 때도 있고 위일 때도 있는 명제도 있다.

 

 

  "김군은 수학을 잘한다"를 'M', "김군은 논리학을 잘한다"를 'L'이라 하여 위 명제들의 진리표를 만들면 각각 다음과 같다.
  다음 진리표를 서로 비교 검토해 보면 (7)과 (11), (8)과 (10), (9)와 (12)는 전체명제의 진리치 (↑표한 종렬의 진리치) 가 어떤 공통적인 특징을 가지고 있음을 곧 알 수 있다.

 

(7)


 

(8)


 

(9)


 

(10)


 

(11)


 

(12)


 

 

 먼저 (7)과 (11) 두 경우를 보면 진리치들은 모든 경우에 있어서 진(T)이다. 이것은 원자명제 즉 'M'과 'L'의 진리치에 상관없이 '' 과 '' 은 항상 진임을 의미하니 이런 명제를 항진명제 (tautology) 라 한다. 일반적으로, 어떤 진리함수적 명제의 가능한 진리치가 모두 진일 때, 오직 그 때에만, 그 명제를 tautology 라 부른다. 항진명제는 그 논리적 형식상 결코 위가 될 수 없고 항상 진이어야만 한다.

 

한편 (8)과 (10)을 보면 가능한 진리치가 모두 F 이지 T 인 경우는 한번도 없다. 즉 'M'과 'L'의 진리치가 어떻든 '' 과 '' 은 항상 위일 수밖에 없다는 것을 알 수 있다. 일반적으로, 어떤 진리함수적 명제의 가능한 진리치가 모두 위일 때, 오직 그때에만, 그 명제를 항위명제 또는 모순명제(contradictory statement)라 부른다.항위명제는, 항진명제와 마찬가지로, 그 논리적 형식 때문에 결코 진일 수는 없고 필연적으로 언제나 위인 명제이다.

 

항진명제의 진리치는 항상 진이요 항위명제는 항상 위이므로 항진명제의 부정은 항위명제요, 항위명제의 부정은 항진명제이다.

예를 들면, '' 은 항진명제이므로 '' 은 항위명제이고, '' 은 항위명제이므로 '' 은 항진명제이다.

 

(9)와 (12)는 그 진리치가 진일 때도 있고 위일 때도 있으므로 항진명제도 아니고 항위명제도 아니다. 항진명제와 항위명제는 그 안에 포함된 원자명제의 진리치에는 관계없이 단지 그 논리적 형식 때문에 항상 필연적으로 진이고 위인데 반하여 (9)와 (12)는 원자명제의 그때그때의 진리치에 의존하여 진위가 규정되므로 그 진리치는 우연적(contingent)이며 따라서 진일 때도 있고 위일 때도 있다. 그리하여 일반적으로 어떤 진리함수적 명제의 가능한 진리치 중 적어도 하나의 진과 하나의 위가 포함되어 있을 때, 오직 그때에만 그 명제를 일부진명제(contingent statement)라 부른다.

 

12. 추론

 

이미 알고 있는 명제를 기초로 하여 새로운 명제를 도출하는 것을 추론 (argument) 이라 한다. 개개의 명제가 아니라 적어도 2개 이상의 명제를 그 논리적 상호관계에 있어서 함께 다루는 것이 추론이므로 추론은 명제들의 집합으로써 표현된다. 이 명제들 중에서 새로 끌어내진 하나의 명제를 결론(conclusion)이라 하고 결론의 근거를 제공하는 이미 알고 있는 명제를 전제(premise)라 한다. 추론은 명제들의 서로 무관한 집합이 아니므로 '그러므로' (therefore)라는 말로 전제와 결론을 연결시켜서 이것들이 서로 논리적 일관성을 갖고 추론에서 관계되고 있음을 보여 주어야 한다.

 

추론에서는 전제와 결론간의 논리적 관계가 문제이지 결론 또는 전제 자체의 진위가 문제되는 것이 아니다. 결론이 아무리 확실한 진리라 하더라도 그것이 전제와의 논리적 관계에서 도출된 것이 아니라면 그 추론을 정당하다고 볼 수 없기 때문이다. 요컨대 전제에서 결론이 나올 수 있느냐 없느냐 하는 것이 중요하다.

 

결론이 도출될 때 그것이 전제에 대하여 갖는 논리적 관계는 곧 그 추론의 성격을 좌우한다. 그리하여 추론은 크게 2가지 유형으로 나눌 수 있으니, 연역적 추론(deductive inference)귀납적 추론(inductive inference) 이 그것이다. 

 

a) 연역추론 :    1) 모든 포유동물은 심장을 가지고 있다.
                     2) 모든 말(마)은 포유동물이다.
                     ∴ 모든 말은 심장을 가지고 있다.

 

b) 귀납추론 :    지금까지 관찰된 개개의 말들은 모두 심장을 가지고 있다.
                     ∴ 모든 말들은 심장을 가지고 있다.

 

a) 의 결론은 전제를 분석하면 필연적으로 도출되는 것이므로 전제와 결론의 관계는 결론이 전제 속에 논리적으로 포함된 관계라고 말할 수 있다. 그런데 Aristoteles 의  편유편무의 법칙이 말하듯이 '전체에 대하여 진인 것은 부분에 대하여서도 진'이므로 만일 전제가 결론을 논리적으로 포함하고 있다면, 전제가 진일 경우에는 결론도 반드시 진이 되어야만 할 것이다. 그러나 여기서 전제가 과연 진이냐 아니냐 하는 것은 문제 밖이다. 포유동물은 모두 심장을 가졌느냐, 또는 말이 포유동물이라는 것이 진이냐 위냐 하는 문제는 이 추론에서 상관할 바가 아니다. 또 결론의 진위도 전제와의 관계를 떠나서 문제삼을 필요가 없다. 결론이 진이라면 그것은 전제와의 논리적 관계에서 그런 것이지 사실에 부합하니까 그런 것은 아니다. 설혹 여기서 "모든 말은 심장을 가졌다"는 결론이 위라고 하더라도 이 추론이 잘못된 것은 아니다. 전제가 진이면 그것을 근거로 결론도 필연적으로 진이라는 점만 진술하고 있을 뿐이다. 이와 같이 전제와의 논리적 관계만으로 필연적으로 결론이 도출되는 추론을 연역추론이라한다. 그러므로 연역추론에 있어서, 전제는 진이라고 인정하면서도 결론을 부정한다면 우리는 모순에 빠지고 말 것이다.

그러나 b) 는 그렇지 않다. 여기서는 전제는 진이라 하더라도 결론은 위일 수도 있다. 왜냐하면 지금까지 관찰한 바로는 어떤 말이건 심장을 가졌다고 할지라도 앞으로 심장 없는 말이 발견될지도 모르기 때문이다. 물론 아직까지 수많은 말을 보았지만 심장 없는 말은 없었다는 사실은 앞으로도 그럴 것이라는 데 대하여 강력한 증거가 되기는 한다. 그러나 그것은 어디까지나 개연성에 그칠 뿐이고 반드시 그렇다는 필연성을 갖는 것은 아니다. 이는 연역추론과는 달리, 전제 안에 결론이 포함되어 있는 것이 아니어서, 결론은 전제에서부터 논리적 필연성에 의하여 도출된 것이 아니기 때문이다. 즉 전제의 진리성이 결론의 진리성을 보증할 수 없는 추론이다. 이러한 추론을 귀납추론 또는 귀납법 (induction) 이라 한다. 귀납추론에서의 결론은 전제의 범위를 벗어나는 것이며 따라서 그 진위를 확인하기 위해서는 경험적인 관찰이 필요하다.

 

연역추론과 귀납추론의 근본적 차이를 비교하면 다음과 같다.

 

연역추론

 

귀납추론

I. 만일 전제가 진이면, 결론도 반드시(necessarily) 진이다.

II. 결론에서 진술되는 모든 내용은 이미 전제 속에 포함되어 있다.

 

I. 만일 전제가 진이면, 결론은 확률적으로는 진(probably true)이나 필연적으로 진은 아니다.
II. 결론의 내용이 전제 속에 포함되어 있지 않다.
 

 

귀납추론이 경험을 필요로 하는데 반하여 연역추론은 엄밀한 논리적 규칙에만 의존한다는 점에 주의해야 한다.

 

1) 타당성

2) 정합성

 

13. 약식 진리치분석과 타당성

 

14. 진리나무의 방법 (Ⅰ)

약식진리치 분석의 방법은 진리표에 의한 타당성 검증보다는 한결 간결하나, 여러 전제를 연언으로 연결해서 가언명제의 전건으로 하고 결론을 그 후건으로 한 뒤에 함언기호의 진리치에 입각하여 전건을 진, 후건을 위로 하여 전체명제가 위로 되는 경우가 있는지 없는지를 확인하는 것이었다. 이 방법보다 더 간편하고 직관적인 방법은 없을까?

나무방법(tree method)은  약식진리치 분석의 방법보다 훨씬 간단하고 기계적인 타당성 검토의 방법이다. 어떤 추론이 타당하다 함은 그 추론의 전제가 모두 진이면서 그 결론은 위가 되는 경우가 없음을 말한다. 앞으로 그러한 경우를 반례(counterexample) 라고 부르기로 하자. 따라서 어떤 추론이 타당하다 함은 그 추론에 대해 어떠한 반례도 없음을 말하는 셈이다. 그리하여 주어진 추론의 타당성을 검토하기 위해서는 반례가 있는가 확인해 보면 된다. 나무방법은 바로 효과적으로 반례를 찾아내는 방법이다. 이제 예 하나를 들어서 나무방법을 설명하기로 한다.

이 추론의 진리나무는 다음과 같다.

첫째단계 : 먼저 전제들(나무의 1)과 2))을 쓰고 그 밑에 결론의 부정(나무의 3))을 쓴다. 추론이 타당하다는 것은 그 추론에 대해서 어떠한 반례도 없다는 것을 말한다. 반례란 전제가 진이면서 결론이 위인 경우, 즉 전제가 진이고 결론의 부정도 진인 경우이다. 따라서 위 추론에 대한 반례를 찾기 위해서 우리는 1), 2), 3) 모두가 진인 경우를 찾으면 된다.

둘째단계 : 1), 2), 3) 중 어느 것을 먼저 검토해도 상관없다. 먼저 3) 부터 검토하기로 하자. 반례가 성립하려면 3) 이 진이어야 한다. 또 3) 이 진이기 위해서는 'B⊃C' 가 위 이어야 한다. 그것이 위인 경우는 B 가 진이면서 C 가 위인 경우뿐이다. 이것을 B 와 ∼C 를 내리 적음 (and) 으로써 (나무의 4)와 5)) 표시한다. 또 이때 3) 을 체크(√) 해서 그것이 진일 수 있는 모든 가능성을 검토했음을 나타내 준다.
이 과정은 다음의 도표로 요약될 수 있다(○과 △은 임의의 원자명제이다).

√   ∼(○⊃△)

∼△

셋째단계 : 이제 1)을 검토하자. 반례가 성립하려면 1) 역시 진이 되어야 한다. 그런데 1)은 A가 위이거나 ∼B가 진이기만 하면 진이 된다. 이때 추론규칙의 도표는

○⊃△
╱╲
∼○  △  

이다.
즉, 가언명제가 진인 경우는 전건이 위인 경우들과 후건이 진인 경우들이다(어떤 경우는 둘 다일 수도 있지만 그래도 괜찮다). 여기서 나무의 가지(╱╲)는 '또는' (or : ∨)의 의미를 가짐에 주의해 두자. 이렇게 해서 6)이 이루어진다.

넷째단계 : 이 나무를 통관해 내려온 오른쪽 길에는 다음의 명제들이 들어 있다.

그런데 이 중 두 개(B와 ∼B)는 서로 모순이다. 즉 이 길에 들어 있는 모든 명제가 함께 진일 수는 없다. 따라서 이 길에서는 반례가 성립할 수 없으므로 아래에 '×'로 표시함으로써 그 길을 닫는다.

다섯째단계 : 이제 2)만이 남아 있다. 반례가 성립하려면 2) 역시 진이어야 한다. 2)는 "∼C⊃A"의 가언명제이므로 셋째 과정에서 1)을 처리할 때처럼 처리한다. 아직 닫히지 않은 길 아래에 가지를 치고 ∼C의 부정과 A를 쓴다.

     ╱╲
∼∼C     A

그런데 이중부정은 없앨 수 있다('∼∼C'와 'C'는 서로 논리적 동치이다).
이렇게 해서 7)이 주어진다.

마지막단계 : 이미 '×'표로 닫혀있는 길은 무시하면 나무의 위에서 아래까지 두 길이 나 있다. 그런데 그 중 왼쪽 길은 C와 ∼C를 둘 다 지니며, 오른쪽 길은 A와 ∼A를 지니고 있으므로 어느 길도 모두 진일 수는 없다. 따라서 두 길 모두 닫힌다.
이제 모든 길이 닫혀 있다. 우리는 1), 2), 3) 의 명제들이 진일 수 있는 가능성을 모두 검토할 수 있도록 나무를 그려 왔다. 나무의 각 길은 1), 2), 3) 이 모두 진이 되는 경우들의 가능성을 나타낸다. 그런데 모든 길이 닫혀 있다는 것은 반례가 성립할 수 없음을 보여 준다. 따라서 위 추론은 타당하다.
이와 비교해서 다음의 부당한 추론을 나무방법으로 검토해 보자.

이 추론에 대한 나무는

이다. 이 나무는 왼쪽 길이 열려 있다. 이 열린 길이 반례를 나타낸다. 왼쪽길에 포함된 명제들 중에서 체크표시가 없는 명제는

∼A, ∼B

이다. A와 B가 둘 다 위인 경우가 바로 반례가 된다. 이 경우 'A⊃B'와 '∼A'는 둘 다 진인데 'B'는 위가 된다.

 

 

  전제

결론

 

 

 

 

 

 

 

 

A

B

A⊃B

∼A

B

F

F

T

T

F

이제 나무방법을 완성하기 위해서 '∼'과 '⊃' 이외의 결합기호들로 이루어진 명제들을 검토하는 규칙을 알아보자. 우리는 어렵지 않게 다음의 규칙들을 알 수 있다.

 

○⊃△
╱╲
∼○    △  

○ㆍ△

○∨△
╱╲ 
○   △

○≡△
╱╲ 
○   ∼○
△   ∼△

∼(○⊃△)

∼△

∼(○ㆍ△)
╱╲
∼○  ∼△  

○∨△
∼○
∼△

○≡△
╱╲ 
∼○   ○   
△  ∼△

예를 들어 다음의 명제를 검토해 보자.

이것은 ∼(○ㆍ△)의 형태로 되어 있다. 'A⊃B'가 '○'에, 그리고 '∼AㆍB'가 '△'에 해당한다. 따라서 (1)은 다음과 같이 체크될 것이다.

이제 (4)에서 왼쪽 길의 끝 명제는 다시 ∼(○⊃△)에 의해서 또 오른쪽 길의 끝 명제는 ∼(○ㆍ△)에 의해서 다음으로 된다.

여기서 알 수 있듯이 앞의 도표의 규칙들은 명제의 부분에 대해서는 적용될 수 없고 명제 전체에만 적용된다. 즉 (3)의 명제에 '∼(○ㆍ△)' 이외의 어떤 규칙도 적용될 수 없다.
다음은 나무방법의 풀이를 예시한 것이다. 부당한 추론에 대해서는 반례를 찾아보라.

(예 1)

 

(풀이 1)

 

(예 2)

 

(풀이 2)