모델링, 컴퓨터, 오차해석

공학도를 위한 수치해석 : Steven C. Chapra, Raymond P. Canale 저, 김철.김태국.나양.신동신.이승배 공역, McGraw-Hill Korea, 2002 (원서 : Numerical Method for Engineers, 4th ed), Page 2~4

1. 수학적 기초지식

본 교재에서 다룰 모든 내용의 효과적인 공부를 위해서는 상당한 수학적 기초지식이 필요하다. 따라서, 각 부에 대한 소개에서는 그에 관련된 수학적 기초지식에 대한 절이 포함되어 있다. 제 1 부는 그 자체가 수학과 컴퓨터에 대한 배경을 설명하는 것이 주목적이므로, 특정 수학적 주제에 대한 자세한 검토가 포함되어 잇지는 않으며, 그보다는 본 교재에서 다루고자 하는 여러 가지 수학적 주제 영역에 대한 소개를 위주로 하고 있다. 그림 1 에 요약되어 있는 바와 같이 이들 영역은,

그림 1  본 교재에서 다룰 수치해법에 대한 요약

1. 방정식의 근 (그림 1a). 이러한 문제는 단일 비선형 방정식을 만족하는 변수 (variable) 나 매개변수 (parameter) 의 값을 구하는 것과 관련되어 있다. 이와 같은 문제들은 특히 공학적 설계의 관점에서 매우 유용한데, 이는 매개변수를 기술하는 설계 방정식 (design equation) 을 외재적으로 풀 수 없는 경우가 상당히 많기 때문이다.

2. 연립선형 대수 방정식 (그림 1b). 여러 방정식들을 동시에 만족하는 값들을 구한다는 측면에서 방정식의 근을 구하는 문제와 유사하다. 그러나 단일 방정식의 해를 구하는 것과는 달리, 연립선형 대수 방정식들을 동시에 만족하는 값들을 구하여야 한다. 모든 공학적 분야에서 이와 같은 경우의 문제가 발생하게 된다. 특히, 구조해석, 전기회로, 유체 네트워크에서와 같이 서로 내부적으로 연관된 요소들을 포함한 대규모 시스템에 대한 수학적 모델링을 하는 경우에 많이 발생한다. 그러나 곡선접합 (curve fitting) 과 미분 방정식과 같은 문제의 수치해법의 영역에서도 만날 수 있다.

3. 최적화 (그림 1c). 이와 같은 문제는 주어진 함수가 "최선" 또는 최적값을 가질 수 있도록 독립변수의 값 또는 값들을 결정하는 경우를 말한다. 따라서 그림 1c 에서와 같이 최적화는 최대값 또는 최소값을 찾아내는 것과 직접적으로 관련된다. 그와 같은 문제는 공학적 설계의 관점에서 흔히 발생되며, 여러 가지 다른 종류의 수치해법에서도 발생한다. 본 교재에서는 단일 또는 다중 변수의 비구속 (single-, multi-variable unconstrained) 최적화 문제에 대해 주로 다룰 것이며, 선형 프로그래밍에 중점을 둔 구속 최적화 문제에 대해서도 살펴볼 것이다.

4. 곡선접합 (그림 1d). 종종 데이터들을 곡선으로 접합하여야 할 경우가 있을 것이다. 이와 같은 목적으로 개발된 기법은 회귀분석 (regression) 과 보간법 (interpolation) 의 두 개의 일반 영역으로 나눌 수 있다. 회귀분석은 데이터에 상당한 오차가 포함되어 있을 때 사용된다. 보통 실험 데이터를 해석하는 경우가 이에 해당된다. 이와 같은 경우 각각의 점들을 통과하지는 않지만 데이터의 일반적 경향을 나타낼 수 있는 하나의 곡선을 유도하는 것이 기본 전략이 된다. 이와는 대조적으로 보간법은 상대적으로 오차가 없는 두 데이터 점 사이에서의 값을 결정할 때 사용된다. 보통 도표화된 정보를 다루는 경우가 이에 해당한다. 이 경우, 데이터 점들을 직접 지나가도록 곡선을 접합하고 그 곡선을 사용하여 그 사이에 있는 점들에서의 값을 구하는 전략을 사용한다.

5. 적분 (그림 1e). 그림에 보여진 바와 같이, 수치적분의 물리적 해석은 곡선 아래 부분의 면적을 구하는 것이다. 적분은 기묘한 형상을 한 물체의 중심 (centroid) 을 구하는 것에서부터 각각의 위치에서의 측정값을 더하여 전체의 값을 구하는 문제 등 공학의 여러 분야에서 응용이 되고 있다. 또한 수치적분의 공식은 미분 방정식의 해를 구하는 데 매우 중요한 역할을 한다.

6. 상미분 방정식 (그림 1f). 공학적 측면에서 상미분 방정식은 매우 중요한 역할을 하고 있다. 이는 많은 물리적 법칙들이 어떤 양의 크기 그 자체보다는 양의 변화율로 표현되기 때문이다. 인구 예측 모델 (인구의 증가율) 에서부터 낙하하는 물체의 가속도 (속도의 변화율) 에 이르기까지 다양한 예를 들 수 있다. 초기조건 문제와 경계조건 문제의 두 가지 형태의 문제를 다루게 된다. 또한 고유값 문제에 대해서도 알아 볼 것이다.

7. 편미분 방정식 (그림 1g). 편미분 방정식은 물리적 양 (physical quantity) 의 거동이 두 개 또는 그 이상의 독립변수에 대한 변화율로 표시되는 공학 시스템을 특징짓는 데 사용된다. 예로는 가열된 판 (두 개의 공간차원) 에서의 정상상태 온도분포를 구하는 경우, 가열된 막대 (시간과 한 개의 공간차원) 의 시간에 따른 온도를 구하는 경우들이다. 편미분 방정식을 수치적으로 풀기 위해서는 근본적으로 다른 두 가지 접근방법이 사용된다. 본 교재에서는, 각각의 격자점에서 근사적으로 해를 구하는 유한차분법에 대해서 강조할 것이나 (그림 1g), 각각의 구간별로 해를 구하는 유한요소법에 대해서도 소개할 것이다.

 2. 소개