비단조 논리 연구

과학적 설명과 비단조 논리 : 정영기 지음, 엘맨, 1996, Page 99~125

1. 비단조논리의 특성

2. 비단조 논리의 유형

     (1) 라이터의 초기화 논리 (default logic)

     (2) 무어의 자동인식적 추리 (autoepistemic reasoning)

     (3) 맥카시의 제한화 추리 (circumscriptive reasoning)

3. 비단조 논리의 사용 사례

4. 비판적 논의 

1. 비단조논리의 특성

연역 논리는 추리가 진행되고 지식이 부가됨에 따라 정보를 버리거나 신념을 변경하는 메카니즘을 갖고 있지 않다. 연역논리의 이러한 측면을 단조적 (monotonic) 이라 부른다. 비단조 논리 (nonmonotonic logic) 는 사용가능한 정보에 기초하여 추리를 진행하지만 새로운 정보가 첨가될 때 그 추리는 제거되고 새로운 추리를 진행할 수 있다. 비단조 논리는 근거가 불완전하거나 완전한 정보획득이 불가능한 상황에서 이용될 수 있는 추리양식이다.

민스키 (M.Minsky) 는 연역논리가 상식적 추리를 표현하기에는 부적절하다고 주장하면서 "Nonmonotonic" 이라는 용어를 1975 년 처음 사용하였다. 맥더모트 (McDermott), 도일 (Doyle), 라이터 (Reiter) 는 1980 년 두 가지 다른 형식 체계를 만들었다. 맥더모트, 도일은 비단조논리라는 말을 그대로 사용하였으나 라이터는 초기화 논리를 개발하였다.

많은 경우 우리의 추리는 불완전한 정보에 기초하여 결론을 내린다. 그 정보가 참이더라도 그 결론은 참이 아닐 수 있다. 랜킨은 성냥갑의 예를 든다. 가령 성냥갑을 그었다면 우리는 전형적으로 그 성냥이 젖었다고 들으면 우리는 그 결론을 수정하고 그 성냥은 불이 붙지 않을 것이라고 결론내릴 것이다. 그러나 그 성냥갑이 젖었지만 파라핀을 입혔다고 들으면 대부분의 사람들은 그 성냥이 불이 붙어 탄다고 결론내릴 것이다. 물론 성냥갑이 그어졌지만 산소가 없다면 또 다른 수정이 요구된다. 이처럼 사람들이 불완전한 정보에 기초하여 결론을 내리지만 더 좋은 정보가 부가되면 그 결론을 수정하는 것이 비단조 논리의 특성이다.

우리의 행위는 일정한 지식과 정보에 기초하여 이루어진다. 일상생활에서 우리가 접하는 상황은 대부분 불확실한 상황이다. 능력의 한계와 시공간적인 제약과 실수 등으로 인하여 우리는 불완전한 정보와 지식에 기초하여 행위할 수밖에 없다. 일정한 결론과 신념에 기초하여 행위할 때 그 결론과 신념이 변경될 수 있는 가능성을 염두에 두고 행위하는 것이 바람직하다. 만일 우리의 결론과 신념이 변경불가능하며 완전하다는 가정하에 행위한다면 대부분의 행위는 실패하여 목적한 바를 실현시키지 못할 것이다. 우리는 일정한 결론을 이끌어 내고 그 결론에 기초하여 행위하지만 새로운 증거가 나타날 경우 그 결론을 철회할 수 있다. 이것은 인간지능의 특성이 융통성 (flexibility) 이라는 점과 관련이 있다.

비단조 논리의 특성은 무엇인가? 첫째, 비단조 논리는 불완전한 정보에 기초하여 결론을 내리며 새로운 정보가 들어와 기존정보와 모순을 야기하면 그 결론은 수정된다. 그러나 연역논리에는 새로운 정보가 결론을 수정하는 메카니즘이 없다. 연역 논리학자들은 추론의 형식을 연구하지만 불충분한 정보로부터 추론하는 문제를 다루지 못한다. 그러나 인공지능 연구자들은 새로운 정보가 계속하여 유입하는 상황에 직면한다. 따라서 그들은 새로운 정보가 기존 정보와 모순을 야기하는 문제를 다루며 새로운 정보가 기존 신념의 수정을 야기하는 상황에도 직면한다. 비단조 논리는 부분적인 정보에 따라 신념을 형성하는 문제와 새로운 정보가 기존신념을 수정하는 문제를 다룬다.

현대 사회는 정보사회이다. 다른 어떤 사회보다 정보 사회에서는 관련 정보를 전부 소유한다는 것이 불가능하다. 필요한 정보를 선택할 수밖에 없다. 우리는 불완전한 정보에 기초하여 행위할 수밖에 새로운 정보의 출현에 귀를 기울여야 한다. 따라서 기존 신념을 고수하는 것보다는 기존 신념을 새로운 정보에 따라 적절하게 수정하는 것이 현명하다. 정보가 완전하게 얻어질 때까지 행위를 하지 않고 기다릴 수도 없다. 상황이 복잡하게 변화하며 언제 어느 때 무슨 정보가 유입될 것이지에 대해 우리는 알 수 없기 때문이다. 어떤 하나의 정보는 일의 성패를 좌우할 정도로 중요하기도 하다. 따라서 우리는 일정한 정보에 기초하여 결론을 내리지만 그 결론이 결정적인 결론이 아니며 새로운 정보가 유입됨에 따라 결론이 수정될 수 있음을 인정하는 태도가 정보사회에 적응하는 태도일 것이다.

둘째, 비단조 논리는 전형성 (typicality) 에 기초한 추리이다. 새를 판단하는 경우 "전형적으로 새는 난다" 는 사실에 기초하여 어떤 것이 새라면 그것은 난다고 결론내린다. 그런 결론은 그 새가 전형적인 새라는 사실, 즉 그 새가 비전형적이지 않다는 사실에 기초하여 내려진 판단이다. 그 결론은 잠정적인 결론이다. 따라서 그 새가 전형적인 새가 아니라고 판명나면 그 결론은 수정된다. 그 결론은 반대되는 정보가 없는 한에서 타당하고 반대되는 정보가 나오면 결론은 수정된다. 그 추리는 비단조적이다.

의사들이 진단을 내리는 경우 전형성에 기초하여 진단을 내린다. 의사들은 건강한 사람이라면 전형적으로 신체가 어떤 상태를 유지한다는 것을 알고 있다. 환자가 전형적인 신체상태를 갖지 않는 경우 징후에 따라 병의 진단을 내린다. 가령 의사들은 환자에게 잘 먹느냐 또는 대소변을 잘 보느냐고 묻는다. 건강한 사람이라면 전형적으로 잘 먹고 대소변을 잘 볼 것이기 때문이다. 한의사들도 전형성에 기초하여 진단을 내린다. 가령 환자의 얼굴이 보통 이상으로 검을 경우 간의 이상을 진단하며, 환자의 얼굴이 보통 이상으로 붉을 경우 심장의 이상을 진단한다. 그러나 그런 진단이 반드시 적중하지는 않는다. 다른 이유 때문에 환자의 얼굴이 검거나 붉거나 희게 될 수 있기 때문이다.

실제로 우리의 상식은 전형성에 기초한 추리를 하고 있으며 비단조논리는 그것을 잘 반영하고 있다. 이 경우 전형성은 이제까지 타당하다고 인정되어 온 것이며 검증된 것이어서 신뢰할 수 있는 것이다. 따라서 전형성에 기초한 추리는 많은 경우 성공을 가져다 준다. 마치 바둑에서 정석을 믿고 바둑을 두면 대부분의 경우 좋은 결과를 가져다 주는 것과 같다고 할 수 있다.

셋째, 비단조 논리는 진리보존적인 논리가 아니다. 비단조논리에서는 한 시점에 참인 것이 계속해서 참이라고 가정하지 않는다. 그런 의미에서 비단조 논리는 시간-의존적인 논리 (time-dependent logic) 로 간주될 수 있다. 위에서 지적한 바대로 비단조 논리는 새로운 정보가 도입되어 기존의 결론이 수정될 수 있는 논리 체계이다. 이 때 새로운 정보의 도입이나 유입은 시간이 흘러감에 따라 진행되는 절차이다. 즉, 한시점에 주어진 일정한 정보는 다음 시점에 증가할 수 있고 시간이 흐르면 다시 부가될 수 있다. 뿐만 아니라 한 시점에 일정하게 알고 있던 정보는 다른 시점에 잘못된 정보로 판명날 수 있다.

비단조 논리가 시간-의존적인 논리라는 것은 여러 가지 측면에서 생각할 수 있다. 한 시점에 알려진 정보나 지식이 잘못일 수 있는 가능성도 있고 한 시점에 알려진 정보나 지식이 정확하지만 다른 시점에서 거짓으로 알려질 수 있는 가능성도 있다. 실제로 우리는 수많은 정보에 둘러 쌓여 있으며 정보를 수집하는 우리의 능력도 제한되어 있다. 따라서 일정한 신념이나 지식을 시간이 지남에 따라 유지하려는 자세보다는 시간이 지남에 따라 효과적으로 수정하려는 자세가 바람직하다.

그렇다면 고전 논리로는 불충분하고 비단조 논리가 필요한 이유는 무엇인가? 이에 대해 라이터는 두 가지 이유를 제시한다. 첫째, 다음과 같은 공리를 가지고 난다 (fly) 는 것에 대한 모든 예외를 다음과 같이 열거한다고 하더라도,

(∀x)Bird(x) & ￢Emu(x) & ￢Dead(x) &......⊃ Fly(x)

단지 Bird (Tweety) 로부터 Fly (Tweety) 를 도출할 수 없다. 왜냐하면 Tweety 는 Emu 가 아니고 Tweety 는 죽지 않았고 등이 주어지지 않았기 때문이다. 고전논리로는 그런 예외적인 경우인 날지 않는 새들을 열거하기가 불가능하다. 이 경우 조건언의 전건이 도출될 수 없으며 따라서 조건언의 후건이 도출될 수 없다. 비단조논리는 초기화 규칙을 사용하여 그런 추리를 할 수 있다.

둘째, 고전 논리는 단조성이라는 공통적인 성질을 갖고 있다. 이것은 다음과 같은 것을 의미한다. T 가 고전 논리에서 문장 집합이며 w 가 문장일 때마다 일련의 문장 집합 N 에 대해 Tㅑ w 는 T ∨ V ㅑ w 를 함축한다. 다시 말하면 새로운 정보 N 은 이전의 결론 w 를 보전한다. 초기화 논리가 고전 논리로 표현되고 T 는 Tweety 는 난다를 함축하는 공리 Tㅑ Fly(Tweety) 라고 해보자. 그러나 이후에 Tweety 가 타조라는 것을 알았다면 우리는 확장된 공리 집합이 Tweety 는 난다를 함축하지 않기를 원한다. 즉 우리는 다음과 같은 것을 원한다.

T ∨ {Ostrich (Tweety)} Fly (Tweety)

이것은 고전 논리에서는 불가능하다. 초기화 추리를 형식화하는 논리적 메카니즘이 무엇이든 그것은 비단조적이어야 한다. 라이터는 그 결론이 철회가능해야 한다고 주장한다.

2. 비단조 논리의 유형

(1) 라이터의 초기화 논리 (default logic)

라이터 (R.Reiter) 는 일관성에 기초하여 비단조 추리에 접근하며 초기화 논리를 개발하였다. 초기화 언명은 이론의 정식이 아니고 추리규칙이라는 점 때문에 초기화 논리는 맥더모트-도일의 비단조 논리와 다르다. 초기화 추리의 초기화는 다르게 증명되지 않는 한 (또는 다르게 증명될 때까지) 어떤 언명이 믿어질 수 있다는 언명이거나 규칙이다. 초기화 S 는 S 가 아니라고 증명되지 않는 한 S 는 추리될 수 있다고 해석된다. 초기화는 큰 변화없이 예외가 인정될 수 있는 일반성을 진술할 때 사용된다. 예를 들어 초기화 규칙이 '모든 새는 날 수 있다' 라면, 이 경우 예외는 펭귄이나 타조이다.

예를 들어 보자. 창수는 전산학과 교수이다. 그러므로 창수는 박사 학위를 갖고 있다. 물론 그가 박사 학위를 갖고 있지 않을 수 있다. 만일 그가 박사 학위를 갖고 있지 않다는 믿을만한 정보를 듣는다면 우리는 그 결론을 철회한다. 창수의 예는 초기화 추리의 일반적인 패턴을 예시해 준다. 그 예는 다음과 같이 분석된다.

그런 추리의 결론 부분을 초기화라고 부른다. 새로운 부분은 "라고 증명되지 않는 한" 부분이다. 이 부분이 의미하는 것을 형식화하는 데에는 생각보다 세밀한 것이 요구된다. 그러나 실제 프로그램에 그것을 작용시키는 것은 어렵지 않다. "라고 증명되지 않는 한" 부분은 "consistent" 라는 기호를 도입하여 표현할 수 있다. 즉 (~P) 라고 추리될 수 없으면 (consistent P) 는 참이다. 반대되는 정보가 없는 한, 기존 정보에 기초하여 일정한 결론을 주장할 수 있다는 것이다.

라이터는 이상적으로 논의와 추리규칙에 초기화라고 불리는 새로운 종류의 추리규칙을 접합하여 초기화를 형식화한다. 초기화 추리규칙은 다음과 같은 형식이다. P 이고 그것이 Q 라고 가정하는 것과 일관된다면 R 이라고 추리하라. 이것은 다음과 같이 쓴다. P : Q/R. (여기에서 P, Q, R 은 일상적인 정식이다.) 조건 P 가 주어지면, 초기화 규칙은 Q 가 아니라고 증명되지 않는다면 R 의 추리를 허용한다. 구체적으로 라이터는 다음과 같은 추리규칙을 도입한다.

Bird (x) : M Fly (x)

Fly (x)

이것의 의미는 다음과 같다. x 가 새이고 x 가 난다고 일관성있게 가정할 수 있다면 x 는 날 수 있다고 우리는 추리할 수 있다. 이것을 일반화하면 다음과 같은 추리규칙을 얻을 수 있다.

α (x) : β (x)

γ (x)

위에서 α (x) 는 선행조건이고, β (x) 는 테스트 조건이고, γ (x) 는 초기화의 결과이다. 위 규칙은 ￢β (a) 가 도출되지 않으면 α (a) 로부터 γ (a) 를 도출할 수 있음을 의미한다. 달리 말하면, α (x) 가 타당하고 β (x) 가 일관되게 가정될 수 있다면 우리는 γ (x) 라고 추리할 수 있다.

초기화 논리는 문장들의 집합을 가지고 시작한다. 이 문장들은 세계에 대해 참이라고 알려진 것들이다. 우리는 전지하지 않으므로 이 지식은 보통 불완전하며 우리의 세계에 대한 지식에는 일정한 갭이 있다. 초기화 규칙은 불완전한 이론이 더 완전하게 확장하도록 만드는 기능을 한다. 그 규칙은 가망성있는 결론을 가지고 그 갭을 채운다. 따라서 불완전한 이론이 Bird (Tweety) 를 포함하고 Fly (Tweety) 가 그 이론과 일관성을 가지면 나는 새에 대한 위의 초기화 도식에 의해 Fly (Tweety) 를 부가함으로써 그 이론을 확장시킬 수 있다.

가령 세계 W 에 대해 우리가 알고 있는 것이 E 와 F 라고 하고, 두 개의 초기화 규칙이 있다고 해보자.

E 는 W 와 일관성이 있기 때문에 초기화 규칙 ① 을 적용하여 C 를 추리할 수 있다. Tim 이 새라면 초기화 규칙 ① 에 의해 Tim 이 난다는 결론을 도출할 수 있다. 그러나 Tim 이 날지 못한다는 사실이 발견되면 초기화 규칙 ① 은 적용되지 못한다. Tim 이 상처를 입었다면 초기화 규칙 ② 가 적용되며 Tim 은 날지 못한다는 결론이 나온다. 따라서 초기화 규칙 ① 이 적용되면 초기화 규칙 ② 가 적용되지 못하고 초기화 규칙 ② 가 적용되면 초기화 규칙 ① 은 적용되지 못한다.

라이터는 초기화 이론 T = <W, D> 의 확장 (extension) 개념을 도입하여 그런 상황을 다른다. T = <W, D> 에서 W 는 일련의 정식이고 D 는 일련의 초기화 규칙이다. 여기에서 알 수 있는 것 처럼 다중의 확장이 얻어진다. 이 경우 얻어진 어떤 확장이든 행위자의 가능한 신념이 된다. 확장은 초기화 논리에서 매우 중요한 기능을 수행한다. 확장은 일련의 신념들인데, 그 신념들은 세계에 대해 알려진 것에 비추어 어떤 의미에서 정당화되거나 합리적인 신념들이다. 세계에 대한 우리의 지식은 일련의 문장들로 표현되는데 그 문장들은 보통 불완전하다. 우리는 초기화 규칙에 의해 불완전한 지식을 확장시킬 수 있다.

맥더모트-도일 (McDermott-Doyle) 은 양상 오페레이터 (modal operator) M 을 도입하여 초기화 규칙을 양상적 정식으로 진술한다. p 가 1 차 논리의 문장이라면 Mp 는 양상 논리의 문장이다. M 은 "일관성이 있는", "조화되는" (consistent) 이라는 뜻이다. 따라서 Mp 는 p 는 믿어진 모든 것들과 일관성이 있다는 의미이다. 예를 들어보자. x 가 새이며 그것이 x 가 날 수 있다는 것과 일관성있다면 (또는 조화된다면) x 는 날 수 있다. 이 예를 기호화하면 다음과 같다. {Bird (x) & M Flies (x) → Flies (x)}.

맥더모트-도일은 다음과 같은 예를 들고 있다.

① noon ∧ M (sun-shining) ⊃ sun-shining

② noon

③ eclipse ⊃ ￢ sun-shining

이것으로부터 ④ sun-shining 을 증명할 수 있다.
여기에 ⑤ eclipse 를 부가하면 ④ 는 일관성이 없다.
따라서 ①③⑤ 에 의해 ￢ sun-shining 이 도출된다.

(2) 무어의 자동인식적 추리 (autoepistemic reasoning)

무어 (R.C.Moore) 는 일관성보다는 신념에 기초하여 비단조논리를 구성하였다. 무어는 비단조 논리에 두 가지 생각이 혼합되어 있다고 주장하였다. 전형성 (typicality) 과 신념 (belief) 이다. 그는 다음과 같은 두 가지 경우를 구별하였다. 첫째, 트위티가 날 수 없다고 알려지지 않았으며 전형적으로 새는 날 수 있다는 것에 기초하여 트위티는 날 수 있다고 결론내리는 경우, 둘째, 트위티가 날 수 없다고 알려지지 않았으며 "트위티가 날 수 없다면 내가 그것을 알고 있을 것이다" 는 것에 기초하여 트위티는 날 수 있다고 결론내리는 경우. 무어는 후자를 자동인식적 추리라고 명명하였으며 후자의 추리양식을 위해 논리적 의미론을 고안하였다.

무어는 자동인식 추리가 상식적 추리의 일부분을 형성한다고 주장한다. 예를 들어 보자. "나에게 형이 있었다면 내가 그 사실을 알고 있을 것이다". 이것은 사람들이 보통 자신의 형을 알고 있다는 전형성에 대한 신념을 진술할 뿐만 아니라 나는 구체적으로 나의 모든 형을 알고 있다는 신념을 진술하고 있다. 물론 나의 형이 나에게 알려지지 않은 상황도 존재할 수 있지만 그런 상황은 심각하게 고려되고 있지는 않는 것 같다. 결과적으로 일종의 전형성이 존재할 수 있다는 것이다.

무어는 자동인식적 신념에서 그 신념이 잘못될 수 있는 가능성을 지적하였다. 내가 그 신념을 변경해야 되는 경우 그 신념은 잘못일 수 있다. 반면에 전형성의 경우 나는 형에 관한 지식에 있어서 비전형적이지만 전형적으로 형이 알려진다는 신념을 유지할 수 있다. 놀랍게도 그런 형이 존재한다는 것을 내가 발견한다면 나는 나의 자동인식적 신념이 잘못이라고 즉시 결론내릴 수 있지만 그 신념은 여전히 대부분의 사람들에게 적용된다.

자동인식적 논리는 자신의 신념에 기초하여 행위하는 행위자의 신념을 모델화하려는 의도를 갖고 있다. 중요한 관심대상은 행위자의 전체 신념으로 해석되는 자동인식적 논리 정식의 집합이다. 무어는 그런 정식의 집합을 자동인식적 이론이라고 부른다. 자동인식적 논리는 신념 개념에 기초하여 L 을 도입하는데 그 의미는 'is believed' 이다. 그리고 M 은 ￢ L ￢ 이다. 결국 자동인식적 논리는 신념의 논리인데, 신념의 논리는 일관성에 기초한 비단조성과 어떤 관계를 갖는가? 현재의 이론은 일련의 신념에 불과한데 그 신념들이 논리적 결과에 닫혀있다면, 한 가정은 그 부정이 믿어지지 않을 때 현재의 이론과 일관성이 있다. 이런 설명 하에서는 비단조적 가정은 다른 명제를 믿지 못함에 기초하여 구성된다. 예를 들어, 날지 못한다고 믿어지지 않는 모든 새는 날 수 있다고 우리는 기꺼이 믿는다.

다른 예를 들어 보자. 출발하는 것이 안전하다고 믿는 우주 왕복선 비행 감독을 생각해 보자. 그의 믿음은 어떤 긍정적인 정보 때문이 아니라 잘못이 있다면 엔지니어로부터 잘못된 것을 자신이 보고받았을 것이라는 점 때문이다. 이 경우 P 를 "그 왕복선을 출발시키는 것은 안전하다" 를 의미한다면, ￢ L ￢ P ⊃ P 는 비행 감독 자신의 지식을 표현한다. ￢ L ￢ P ⊃ P 는 신념상태 (L ￢ P) 와 세계에 관한 조건 (P) 사이의 논리적 구속이다.

(3) 맥카시의 제한화 추리 (circumscriptive reasoning)

모든 대상은 어떤 측면에서 비정상적 (abnormal) 이다. 우리는 그 대상의 어떤 측면이 비정상적이라는 것을 인정하고 싶어하며 그 나머지는 정상적이라고 가정한다. 우리는 비정상적 (abnormal) 이라는 술어를 도입하여 전형성에 대한 추리를 하기 위한 약간의 직관을 얻을 수 있다. 예를 들어 새는 그것이 여러 가지 점에서 비정상적이지 않다면 날 수 있을 것이다. 술어를 제한함으로써 트위티는 날 수 있다는 식의 결론에 이를 수 있다. 왜냐하면 새가 날 수 없다는 것은 비정상적이며 그 비정상성은 제한에 의해 최소화될 수 있기 때문이다.

맥카시 (J.McCarthy) 의 제한화 (주석 : 제한화 추리 (circumscription) 는 특정한 결론으로 뛰어 넘어가기 위해 어떤 사람 (또는 프로그램) 이 사용할 수 있는 추리규칙이다. circumscription 은 일종의 추리이므로 제한화 추리라고 번역하지만 제한하는 과정 자체를 의미하는 경우에는 제한화 또는 제한이라고 번역하였다. J. McCarthy (1980)) 는 술어 논리에서 상식적 추리 과정의 일부를 반영하기 위한 시도이다. 근본적인 주장은 상식은 이상한 (unusual) 또는 비정상적 (abnormal) 술어의 외연을 최소화 (minimize or circumscribe) 한다는 점이다 (제한화하는 것은 이상한 또는 비정상적인 영역을 최소화 한다는 의미이다). 모든 사람은 어떤 새가 날지 못한다는 것을 알고 있다. 그러나 트위티가 새라는 것을 들으면 우리는 트위트는 날 수 있다고 추리할 것이다. 그 이유는 날지 못함은 새의 병적인 또는 이상한 조건이며 상식은 그런 이상함의 영역을 최소화하기 때문이다. 맥카시의 통찰은 한 술어의 영역을 최소화하는 형식적인 과정은 방금 기술된 상식의 최소화 과정을 잘 표현할 수 있다는 점이다.

이것을 기호화하면 다음과 같다.

b (x) ∧ ￢ ab (x) → f (x)

이것의 의미는 x 가 새이고 x 가 비정상적이지 않다면 x 는 날 수 있다는 것이다. 이 경우 어려운 것은 비정상적인 것을 결정하는 문제이다. 생각할 수 있는 것은 비정상적인 대상의 수를 최소화하고 비정상적이라고 알려진 것만을 비정상적이라고 인정하라는 것이다.

맥카시는 어떤 개념의 최소화 (minimization) 를 포함하는 상황을 표현하기 위한 수단을 개발하였다. 그는 이런 테크닉을 제한화라 부른다. 제한화는 술어 P 를 만족시키는 대상들만이 P 를 만족시키는 것으로 밝혀질 수 있는 대상들이라고 주장하는 형식적인 장치이다. 예를 들어, 단지 Q(a) 라는 사실을 포함하고 있는 데이타베이스로부터 Q 의 제한은 정식 ∀x.Q(x)⇒x=a 를 산출한다. (앞의 정식은 a 는 Q 를 만족시키는 유일한 대상이라는 의미이다.) 따라서 b 가 a 와 다른 대상이라면 Q 를 제한함으로서 우리는 ￢ Q(b) 라는 결론으로 비약할 수 있게 된다. 그러나 Q(b) 가 알려진다면 앞의 결론은 더 이상 타당하지 않다.

어떤 술어 P 에 대해 일련의 공리 A 를 제한하기 위해서는 P 를 만족시키는 대상만이 공리 A 로부터 도출되는 것이라고 진술하는 문장 도식을 구성해야 한다. 그 문장 도식으로부터 연역적인 추리 규칙에 의해 도출되는 모든 언명은 원래의 공리 A 로부터 P 에 관한 제한적 규칙에 의해 얻어진 결론이라고 할 수 있다. 예를 들어 보자. 우리가 붉은 머리를 가진 친구 제인만을 유일하게 알고 있다고 해보자. 그런데 붉은 머리를 가졌다는 의미에서 제인과 비슷하게 생긴 어떤 사람을 보았다면, 우리는 제한화에 의해 그 사람이 제인이라고 추리할 수 있다. 제인이 쌍둥이 자매 조안을 가졌다는 것을 우리가 이제 알았다면 우리는 제인과 비슷하게 생긴 사람은 모두 제인이라고 더 이상 결론내릴 수 없기 때문에 그 추리는 비단조적이다. 맥카시의 제한화 추리에 의해 형식적으로 표현하면 그 예는 다음과 같다. 우리는 일련의 공리 A = <red-haired (Jane)> 를 가지고 시작하며 red-haired 라는 술어를 제한한다. A 에서 그 술어의 제한화는 다음의 공리 도식이다.

φ(Jane) ∧ ∀x (φ(x) → red-haired(x)) → ∀x (red-haired(x) → φ(x))

이제 위 도식에 붉은 머리를 가진 사람의 유일하게 알려진 사례를 대입하면 즉, φ(x) 에 x = Jane 을 대입하면 다음과 같은 것을 얻는다.

Jane = Jane ∧ ∀x (x = Jane → red-haired(x)) → x (red-haired(x) → x = Jane)

이 도식의 처음 두 부분은 참이며 그것을 단순화하면 결과하는 가정인 초기화 규칙 ∀x (red-haired(x) → x = Jane) 가 남는다. 이것은 제인과 비슷하게 보이는 새로운 사람에게 적용될 수 있다. 그러나 이 추리는 비단조적이다. 왜냐하면 A 에 새로운 공리 red-haired (Joan) 을 부가하면 그런 동일한 결론을 더 이상 도출할 수 없기 때문이다. 기껏해야 다른 제한화를 적용하여 덜 구체적인 결론 ∀x (red-haired(x) → x = Jane ∨ x = Joan) 을 추리할 수 있다.

이상에서 살펴 본 비단조 논리는 두 가지 유형으로 나누어 볼 수 있다. 하나는 일관성에 기초한 초기화 추리이고 다른 하나는 제한화 추리이다. 라이터, 맥더모트-도일, 무어이 주장하는 일관성에 기초한 접근은 부분적인 정보에 기초하여 얻은 신념을 일관성있게 확장하는 방법이다. 맥카시의 제한적 접근은 부분적인 정보에 기초하여 신념을 확장함에 있어 기초하지 말아야 할 비정상적인 경우를 제한하고 최소화하는 방법이다. 어떤 술어에 관해 비정상적인 영역을 최소화하기 위해 우리는 술어 "비정상성" 를 제한한다. 그 경우 술어의 최소화는 데이타 베이스의 전반적인 일관성을 보전하는 방식으로 진행되어야 한다. 제한화 추리도 일관성에 의해 해석할 수 있다는 것이다. 그런 점에서 비단조논리는 기존의 신념을 일관성 있게 확장하는 문제를 다루고 있다고 할 수 있다.

3. 비단조 논리의 사용 사례

비단조 논리는 어떻게 사용되는가? 맥카시는 몇 가지 경우를 다음과 같이 제시하고 있다. 첫째, 비단조 논리는 의사소통의 규약으로 사용된다. 가령 A 가 B 에게 새를 포함하는 상황을 말해준다고 해보자. 그 새가 날 수 없으며 그것이 사실이라면 A 는 그 사실을 B 에게 말해주어야 한다. 반면에 그 새가 날 수 있다면 그 사실을 말할 필요가 없다. 왜냐하면 새가 날 수 있다는 것은 당연한 것이기 때문이다. 내가 나의 친구를 고용하여 그 친구에게 새장을 만들어 줄 것을 부탁하였는데 그 친구가 새장의 천장을 만들지 않았다면, 내가 그 새가 날 수 있다는 것을 말하지 않았더라도 나는 비용을 지불하지 않아도 된다. 그러나 내가 펭귄용으로 생각한 새장에 나의 친구가 새장의 천장을 만들다가 낭비된 비용에 대해 내가 불평한다면, 새장에 넣을 새가 날 수 없다는 것을 말했어야 한다는 나의 친구의 말은 옳다. 이것은 일상 생활에서 의사소통의 관례 또는 규칙 (communication convention) 을 보여주는 예이다. 이러한 규약은 단조 논리로는 표현할 수 없다.

둘째, 비단조 논리는 약속의 표현으로 사용될 수 있다. A, B, C 세 사람이 모임을 갖기 위해 의논을 하다가 잠정적으로 다음 주 수요일에 만나기로 하였다. 그리고 다른 연락사항이나 결정이 없었다고 하자. 이 경우 다른 결정이 명확하게 있지 않는 한 그 모임은 수요일에 열릴 것이다. 비단조 논리에서 보여진 것 처럼 반대되는 증거가 없는 한 그 모임이 수요일에 열릴 것이라고 비단조적으로 결론내릴 수 있기 때문이다.

셋째, 비단조 논리는 수적인 확률이 얻어지지 않을 경우 확률 정보를 표현하는데 사용된다. 맥카시의 제한화는 "대부분의 새는 날 수 있다" 와 같은 확률적인 언명을 표현하는 것으로 또는 표준적인 경우들을 표현하는 것으로 간주된다. 제한화는 수적인 확률을 제공하지 않기 때문에 제한화의 확률 해석은 극미한 (infinitesimal) 또는 중간적인 (intermediate) 확률을 포함한다. 제한화 추리는 조건적인 확률을 제공한다. 따라서 우리는 새가 날 수 없는 확률을 극미한 것으로 취급할 수 있다.

넷째, 상식적인 물리학과 상식적 심리학은 비단조적인 규칙을 사용한다. 한 물체는 다른 것이 방해하지 않는 한 일직선으로 계속 진행할 것이다. 보통 사람은 배가 고플 경우 다른 방해요인이 없다면 음식을 먹을 것이다. 예측된 행동을 방해하는 것에 대한 그런 규칙은 매우 많으며 또한 필요하다. 왜냐하면 우리는 그런 규칙의 작용을 수정하는 예측되지 않은 현상을 항상 만나기 때문이다. 상식과는 달리 과학은 예측적인 규칙을 갖고 연구하려 한다. 그러나 이것은 상식적인 추리는 과학적인 모델이 적용되는 경우를 결정해야 함 -- 사용되는 이론에 의해 고려되지 않는 중요한 현상은 없다는 것 -- 을 의미한다.

다섯째, 비단조 논리는 추리규칙으로 사용된다. 제한화 추리는 어떤 결론을 얻기 위해 우리가 사용할 수 있는 추리규칙이다. 다음 절에 나오는 선교사와 식인종의 예를 참고해 보자. 우리는 제한화에 의해 문제의 표현과 상식적인 지식으로부터 도출되는 것 이외에 어떤 관련된 대상도 존재하지 않는다고 추리할 수 있다. 즉 우리가 보트 등에 관한 상식적인 사실을 가지고 문제의 표현을 제한하면 다리나 헬리콥터가 없다고 결론내릴 수 있다. 그리고 보트 사용을 방해하는 다른 상황 (노가 없는 상황) 이 도출될 수 없다면 보트는 사용할 수 있다고 결론내릴 수 있다. 우리의 상식적인 추리는 어떤 도구의 사용이 방해되지 않는다면 의도된 목적을 위해 그 도구를 사용할 수 있다고 결론내린다.

물론 위에서 언급된 다섯 가지 이외에도 여러 가지가 있다. 무어가 제시한 형에 관한 예와 다음 절에서 논의될 닫힌세계 가정과 승계추리도 비단조논리의 사용사례이다.

4. 비판적 논의

비단조 논리는 현재 활발하게 구성되고 있는 논리이며 아직 체계화가 완성되지 않았기 때문에 현재 많은 논쟁이 진행되고 있다. 물론 일반적으로 공인받고 있는 부분이 있다. 비단조 논리에 대한 몇 가지 비판을 살펴 보자. 특히 헴펠이 비단조 논리에 대한 대안으로 제시할 수 있는 최대 상세화의 요건을 검토해 보도록 한다.

첫째, 가장 일반적인 비판은 확률론의 주장이다. 즉 확률이론이 더 적절하다는 반론이다. 확률론자들은 확률론이 비수자적인 (nonnumeric) 방법보다 훨씬 더 잘 이해될 수 있다고 주장한다. 그들은 "전형적으로 새는 날 수 있다" 는 언명과 "대부분의 새는 난다" 는 언명을 동일시한다. 달리 말하면 그들은 전형적인 성질과 통계적인 성질을 동일시한다. 그러나 확률적이 관점만을 강조하는 것은 비단조 논리의 의도된 목적을 오해하는 것이다.

많은 연구들이 밝혀놓은 바에 따르면, 사람들은 확률을 판단하고 예측을 하고 불확실성에 대처하는데 어려움을 느낀다. 단순하고 친숙한 의사결정의 문제를 고려할 때 우리의 선호는 분명할 수 있다. 그러나 우리 생활에서 의사결정의 많은 부분은 새롭고 친숙하지 않으며 복잡한 결과를 가지기 쉽다. 그런 상황에서 우리의 가치는 모순되고 충분히 숙고되지 않는다. 맥카시도 유사한 주장을 하고 있다. 그는 선교사와 식인종의 예에서 보트가 새지 않는다는 명제에 조건적인 확률을 할당하는 것이 무의미하다고 말하고 있다. 확률적인 추리가 소용 없는 상황에서 비단조적인 추리가 도움을 제공할 수 있다고 그는 주장한다. 긴스베르그도 수적인 방법이 재미있다는 것을 알고 있지만 시간이 흐름에 따라 맥카시의 주장이 옳다는 것을 점차 알게 되었다고 말하고 있다.

맥카시의 제한화는 "대부분의 새는 날 수 있다" 와 같은 확률적인 언명을 표현하는 것으로 또는 표준적인 경우들을 표현하는 것으로 간주된다. 제한화는 수적인 확률을 제공하지 않기 때문에 제한화의 확률 해석은 극미한 (infinitesimal) 또는 중간적인 (intermediate) 확률을 포함한다. 제한화 추리는 조건적인 확률을 제공한다. 따라서 우리는 새가 날 수 없는 확률을 극미한 것으로 취급할 수 있다. 그러나 그 새가 펭귄인 희귀한 사건이 발생하면 그것이 날 수 있는 조건적 확률은 극미하다.

그렇다면 일반 법칙이 제공하는 유한한 확률을 사용하지 않는 이유는 무엇인가? 우리가 수를 갖고 있다면 그런 확률이 좋을 것이다. 그러나 우리가 수를 가질 수 없거나 수의 사용이 불편하다는 것을 안다면 제한화가 유용하다. 우리는 특정한 새가 특정한 상황에서 날 수 있는가에 관한 우리 견해에 영향을 주는 사실에 관심을 갖고 있기 때문에 어떤 새가 날 수 있는 일반적인 확률은 무관하다. 더구나 확률을 사용하려면 보통 샘플 공간을 정의해야 한다. 제한화에 의해 우리는 우리가 알고 있는 경우가 존재하는 모든 경우라고 추리할 수 있게 된다.

둘째, 헴펠이 비단조 논리에 대해 제시할 수 있는 대안은 최대 상세화의 요건이다. 과학적 법칙 문장이나 조건언 문장은 경험적 일반화이므로 대부분 "다른 사정이 동일하다면" (ceteris paribus) 이라는 절을 포함한다. 펫처는 최대 상세성 요건이 과학적인 맥락에서 매우 중요한 기능을 수행한다고 주장한다. 그 중의 하나가 ceteris paribus 절의 의미를 설명하는 것이다. 그에 의하면 최대 상세화 요건은 어떤 법칙적인 적절한 조건들이 상세화되지 않았을 때 ceteris paribus 의 의미를 설명한다. ceteris paribus 는 논증의 전제 안에 명확하게 포함되지 않은 모든 조건들이 무관하거나 동일하다고 전제한다. 최대 상세성 요건이 요구하는 것은 조건언의 전건은 법칙적으로 적절한 술어와 조건들 모두를 이미 포함해야 한다는 것이다.

ceteris paribus 는 조건절 속에 나오는데, 조건절을 포함하는 논증을 다룰 때 타당성 (validity) 과 건전성 (soundness) 을 혼동하지 말아야 한다. 조건언의 참을 가정할 때 우리는 그 조건언이 최대로 상세하다고 가정한다. 왜냐하면 최대로 상세하지 않은 조건언은 참일 수 없기 때문이다. 그러나 논증의 건전성은 그 전제가 참이며 최대로 상세해야 함을 요구한다. 조건언이 가정법적이거나 유사법칙적이거나 인과적인 경우 그 조건언이 참이기 위해서는 전건이 최대로 상세해야 한다. 그러나 ceteris paribus 절을 포함하는 조건언은 전건을 부분적으로 상세하게 -- 최대로 상세하지 않게 -- 할 뿐이며 따라서 거짓일 수 있다. 그리고 그러한 종류의 조건언에 기초한 논증은 건전하지 않을 수 있다. 최대 상세화 요건은 유사법칙적인 문장과 법칙적인 조건언들에 대한 진리조건이다. 최대 상세화 요건을 만족시키지 못하는 모든 조건언은 참일 수 없다.

과학의 경험적 일반화 대부분은 "다른 사정이 동일하다면" 이라는 조건을 함축적으로 포함한다. 그러나 그러한 절이 첨가되면 경험적 일반화가 애매하게 되는 결과를 초래하므로 그러한 절의 범위가 축소되야 한다. 그러한 절의 범위를 축소하기 위해 최대상세화 개념을 이용할 수 있다.

최대 상세화의 요건이 의도하는 것은 특정한 사건에 대한 설명에서 적절한 -- 최대로 상세한 -- 조회집합 (reference class) 을 가진 통계 법칙을 선택하는 문제이다. 투오멜라 (Tuomela) 도 최대 상세화는 동질성의 원리라고 말하고 있다. 동질성 개념은 무엇인가? F 안에서 어떠한 적절한 분할도 이루어질 수 없는 경우 집합 F 는 성질 G 에 대해 동질적이다. 우리가 적절한 분할 방법을 모를 경우 그것은 인식론적으로 동질적 (epistemically homogeneous) 이다. 우리의 지식 상태와 무관하게 원리적으로 적절한 분할이 불가능할 경우 그것은 객관적으로 동질적 (objectively homogeneous) 이다. 결국 어떤 부적절한 요소도 설명에 포함되지 말아야 한다는 것이다. 다시 말하면 조회집합의 객관적이며 동질적인 적절한 분할 (an objectively homogeneous relevant partition) 이 이루어질 때 -- 최대로 상세화될 때 -- 모든 적절한 요소들이 고려된다. 우리는 설명을 할 때 피설명항에 적절한 요소만을 고려하지 말고 피설명항에 적절한 모든 요소들을 고려해야 한다. 그러나 적절한 모든 요소를 고려한다는 것은 거의 불가능하다. 최대 상세화의 요건은 완전 정보 획득 가능성에 기초하고 있는 것이다.

셋째, 이스라엘 (D.J.Israel) 은 비단조 논리를 사용하는 행위자는 종종 모순에 이르게 된다는 것을 지적하고 있다. 이상적인 합리적 행위자라도 잘못된 신념을 가질 수 있으며 그 신념이 옳다고 믿는 이유를 가질 수 있다. 트위티의 예를 살펴보자. "트위트는 새이다. 그래서 트위티는 날 수 있다고 나는 추리한다. 그러나 트위티는 타조이고 결국 날 수 없다. 그러면 트위티가 날 수 있다는 나의 신념은 거짓이며, 그 신념은 초기화 가정을 수락함으로써 야기되었다." 여기에서 (과거와 현재 사이에) 바로 모순이 발생한다. 따라서 합리적 행위자가 적절한 상식적 추리를 하려면 과거의 잘못이나 미래의 가능한 잘못을 자세하게 살펴볼 수 있어야 한다. 비단조 논리가 종종 모순에 이르게 된다는 것은 옳은 지적이다. 비단조 논리는 새로운 정보에 의해 결론이 수정되는 가능성을 인정하고 있다. 또한 비단조 논리는 시간 의존적인 추리이므로 우리의 신념은 시간의 흐름에 따라 수정되고 모순에 이를 수 있다. 비단조 논리는 신념 형성의 문제만이 아니라 신념 수정의 문제와 연결되어 있다. 신념수정 체계는 모순을 다루는 인공지능 프로그램이다. 비단조 논리는 새로운 정보에 따라 기존의 신념을 수정하는 신념수정 프로그램을 갖고 있다.

위에서 살펴 본 바대로, 비단조 논리가 여러 가지 한계를 갖고 있지만 우리가 관심을 가져야 할 부분은 신념의 확장 (extension) 이다. 세계에 대한 우리의 지식은 일련의 문장들로 표현되는데 그 문장들은 보통 불완전하다. 우리는 초기화 규칙에 의해 불완전한 지식을 확장시킬 수 있다.

비단조 추리는 일련의 신념과의 일관성에 기초하여 일정한 신념을 이끌어 내고 있다. 그 새는 난다고 결론내릴 수 있다. 그러나 새들이 나느냐 날지 않느냐의 문제는 새와 난다는 술어를 다루는 문제이지 특정한 신념을 가진 사람과의 문제가 아니다. 그러므로 새와 난다의 관계는 다른 신념과 독립적으로 해결되어야 한다. 그러나 내가 알고 있는 모든 것이 새는 전형적으로 난다는 것과 독수리는 새라는 것이라면 독수리는 난다고 추리하는 것은 합리적인 것 같다. 이런 접근법은 새와 나는 것 (flight) 의 관계를 표현하는 것이 아니라 일련의 신념을 일관성있게 확장하는 방법을 우리에게 알려주는 것으로 간주할 수 있다.

사이먼은 비단조 논리의 특징을 다음과 같이 말한다.

비단조 논리를 사용하려면 두 가지 조건이 필요하다. 첫째, 한 명제를 주장할 수 있기 위한 충분한 증거나 그 명제가 다른 명제와 모순되지 않는다는 충분한 증거를 결정하는 절차가 필요하다. 둘째, 어느 경우 무모순적이기 때문에 주장할 수 있지만 이후에 모순적일 수 있는 가능성을 남겨놓는 체계가 필요하다. 그러므로 모순이 발견되었을 경우 모순을 해결하는 절차도 필요하다. 결국 신념형성과 신념수정은 비단조 논리의 두 가지 중요한 측면이다. 비단조 논리는 부분적인 정보에 기초하여 신념을 형성하는 방법과 그 신념을 새로운 정보에 따라 수정하는 방법을 제시하고 있다.

비단조논리는 확률적인 추리가 소용없는 상황에서 사용될 수 있는 추리양식이다. 이상생활에서 우리가 접하는 상황은 대부분 불확실하다. 그런 상황에서 합리적인 행위는 확률적인 계산보다 비확률적인 규범에 의지하는 것이다.

우리가 직면한 상황이 시간적인 제약과 능력의 제약을 받지 않고 확률적인 계산을 충분히 할 수 있는 상황이라면 기대 효용이론에 기초한 헴펠의 합리성을 따르는 것이 바람직하다. 그러나 많은 경우 우리가 접하는 상황은 시간과 능력의 제약을 받고 확률적인 계산을 충분히 할 수 없는 상황이므로 그런 상황에서는 비확률적인 규범에 따르는 것이 효율적이다. 비단조논리적인 행위는 가능한 모든 대안을 고려하여 확률을 게산하는 것이 아니라 가능한 모든 대안들 중에서 전형적인 대안을 고려하여 판단하며 그에 따라 행위하는 것을 말한다.

필자는 헴펠의 합리성은 적용에 한계가 있음을 지적하면서, 제시되는 대안은 헴펠이 고려하지 못한 세 가지를 고려해야 한다고 주장하였다. 세 가지는 시간 개념에 대한 고려, 불완전한 정보에 대한 고려, 규범적인 측면에 대한 고려이다. 앞에서 살펴 본 바대로 비단조논리는 시간의존적인 논리이며 불완전한 정보를 가진 상황에서 이용될 수 있는 논리이며 규범적인 측면을 갖고 있다. 초기화 논리는 일관성에 기초한 추리이며 일관성이 유지되는 한에서 잠정적으로 타당한 결론을 이끌어 낸다. 따라서 새로운 정보에 의해 모순이 발견될 경우 기존의 결론은 수정해야 한다.