카오스의 기초

결정론적 다이나미칼 시스템(deterministic dynamical system)이란, 룰이 정해진 게임이다. 즉, 상태공간(state space)이라고 불리는 경기장이 있고, 그 속에 있는 상태(state)라고 부른다면, 현재의 상태에 대응하여 미래의 상태가 룰 북에 의해서 유일하게 결정되어 있는 게임이다. 그러므로, 룰을 반복하여 참조함으로써 도달 가능한 미래의 상태는, 현재의 상태와 유일한 궤도(orbit)로 대응된다.

상태공간 중에서, 이 운명의 궤도는 여러 가지의 모습으로 나타난다. 무한에서 와서 무한으로 사라지는 것, 점으로써 미래영원히 움직일 수 없는 것, 원으로 되어 빙빙돌고 있는 것, 그리고 떠있는 바퀴의 위를 휘감아 도는 것. 이들이 질서였던 상태(코스모스, cosmos)라면 과거도 미래도 손에 잡힐 것 같이 예상할 수 있다. 그리고 고전역학은, 이러한 코스모스가 우주를 지배하고 있다고 믿어마지 않았다.

그런데 놀랍게도 금세기에 들어 처음으로

결정론적 다이나미컬 시스템 중에 있어도,
예측불가능한 상태 "카오스"가 존재한다.

라고 하는 사실이 인지되기 시작하여, 역학에 있어서 코스모스의 지배는 황혼을 맞고자 하고 있다.

본 장은 「카오스란 무엇인가?」를 몇 개의 키워드로 묶어서 가능한 한 간단히 설명한다. 제 1절은 전장을 통한 키워드인 아날로그로에서 시작하여 다이나미컬 시스템, 그리고 선형(리니어 : linear), 비선형(논리니어 : nonlinear)이란 무엇인가를 생각한다. 제 2절에서는, 상태공간에서의 카오스의 모습인 스트랜지 어트렉터(strange attractor)를 소개하고 그 복잡한 구조가 간단한 룰의 반복(이터레이션 : iteration)에 의해 생겨나는 자기상사구조(프랙탈 : fractal)임을 밝힌다. 제 3절에서는 이질의 코스모스 상태가 분기(bifurcation)라고 불리는 기구를 통하여 옮겨지는 것을 설명하고, 코스모스로부터 카오스에로의 천이현상의 시나리오(scenario)를 분기현상의 입장에서 취급한다. 그리고, 마지막으로 비선형 시스템에 고유의 다안정성(multi-stability)에 기인하는 복수의 카오스에 의한 분기현상을 설명해간다.

2. 아날로그, 선형, 비선형

[1] 0과 1에 거는 다리

디지털 세계는 0과 1이 모든 것이다. 한편, 아날로그 세계는 0과 1에 걸린 다리위의 세계이다. 다리에는 구멍이 나 있지 않으므로, 발의 크기가 점이라고 해도 떨어지는 일은 없다. 이 다리는 2 종류의 받침목인 유리수와 무리수로 만들어져 있다.

(a) 공평한 파티와 불공평한 파티 : 유리수란 정확한 케이크의 분배방법이다. 즉 파티의 참가자 인(정수)으로 케이크 개(정수)를 불평없이 균등하게 나누었을 때 한사람당의 몫이다.(단 과 은 그이상 줄일 수 없다.) 그러면, 독자들이 「파티에 몇사람을 데리고 와도, 케이크를 몇 개 준비해도 좋으므로 케이크의 분배방법을 전부 헤아리시오」라는 말을 들었다면 어떻게 대답할 것인가? 아마 "무한히 있다"는 의미를 포함하여 「너무 많이 있어서 헤아릴 수 없다」고 생각할지도 모른다. 그러나 정확히는 「무한히 있지만 헤아릴 수 있다」라고 말하지 않으면 안된다. 왜 그럴까? 헤아린다는 것을 일렬로 세워서 번호를 매기는 것을 의미하므로, 케이크의 분배방법이 이렬로 세워서 번호를 매기는 것을 의미하므로, 케이크의 분배방법이 일렬로 세워질 수 있다는 것을 보이면 된다. 그것은 아주 간단하며, 다음과 같이 나열하여, 모든 분모 분자의 쌍을 만든다.

1	\|	2	1	\|	3	2	1	\|	4	3	2	1	\|		\|						2		1	\|
1	\|	1	2	\|	1	2	3	\|	1	2	3	4	\|		\|	1		2						\|

그후 왼쪽에서부터 번호를 매기는데, 먼저 각각을 간추려 두고 좌측에 같은 것이 있으면 그것을 제외하고 다음부터 번호를 매기면 된다. 그러므로

유리수는 무한이라고 하지만 헤아릴 수 있을 정도 밖에 없다.

무리수는 아주 조금 손대중을 가미한 확실하지 않은 분배방법이다. 「이 분배방법은 몇 개 있는가 헤아려보라」고 해도 대답하기 곤란하다. 그것은, 정말로 다 헤아릴 수 없을 정도로 만들어 지기 때문이다. 그 수는 유리수의 그것과는 비교되지 않는다. 즉,

무리수는 헤아릴 수 없을 정도로 존재한다.

(b) 0과 1에 거는 다리 : 실수다리에 있어서, 유리수가 몇 개의 철근이라고 하면 무리수는 거기에 부어진 콘크리트와 같이 많다. 그러므로, 유리수의 받침목없이 다리를 만들어도 실은 걸어서 그 다리를 건널 수 있다. 다시 말하면

비가산개 존재하는 실수중에서, 가산개 밖에 없는
유리수를 골라내는 일은 결코 가능하지 않다.

[2] 커피 컵은 도너츠인가?

"유리수"와 "무리수", 그 크기만을 비교하면 차이는 금방 알 수 없다. 그러나, 그 양자가 회전운동과 연관지어질 수 있다면 그 차는 확실해진다. 여기서는 커피 컵의 회전운동을 예로 들어 양자의 차이를 생각해 보자.

(a) 유원지로 가자. : 유원지의 탈 것에 "커피 컵"이 있다. 큰 원형 트레이의 주위를 따라 몇 개의 컵형 시트가 배치되어, 안에 있는 핸들로 컵을 돌릴 수 있다. 트레이 자신은 모터로 회전한다. 그러면 지금 어떤 컵에 커플이 마주보고 타고 있는데, 남자는 여자의 사진을 찍으려 한다. 여러 가지 배경이 깨끗하게 찍힐 수 있도록, 그는 그녀의 시트가 트레이 끝에 가장 가깝게 있을 때 마다, 셔터를 누른다. 이때, 몇종류의 다른 배경이 촬영가능할까?

문제를 간단히 하기 위해, 트레이도 컵도 각각 일정한 속도 로 독립적으로 회전하고 있다고 한다. 양자의 속도가 이면, 트레이가 1회전하는 사이에 컵도 1회전한다. 이때 위에서 본 여자의 궤도는 닫혀 있고, 위치 A에서 사진이 촬영된다. 양자의 속도가 라면, 트레이가 2회전하는 동안 컵은 3회전하므로, 위치 A, B, C에서 서로 다른 사진을 3매 촬영할 수 있다. 즉, 양자의 회전속도가 유리비 라면, 컵의 회전에 대하여 트레이는 회전하여 궤도는 반드시 닫혀 있고 종류의 사진을 찍을 수 있다.

그런데 무리비의 경우, 상황은 변한다. 예를 들어 의 경우는, 양자의 회전이 "확실한 관계"가 아니므로, 궤도는 닫혀 있지 않고 트레이를 메워 버리게 된다. 따라서, 같은 사진은 절대로 촬영할 수 없고, 다른 배경의 사진의 매수는 무한이 되어 버린다. 즉,

유리수는 닫힌 궤도(주기궤도, periodic orbit)를 표현하고,
무리수는 닫혀지지 않는 규칙적인 궤도(준주기궤도, quasi-periodic orbit)를 표현한다.

(b) 커피 컵은 도너츠인가? : 그림 3(a)∼(c)에서는 여자의 궤도가 자신과 교차해 버리므로 보기가 좋지 않다. 그래서, 편의적으로 컵을 옆으로 눕혀서 생각해 보자. 컵의 끝의 트레이를 따라 1회전하면, 3차원 공간중에서 도너츠 곡면이 나타나, 여자의 궤도는 이 곡면상에서 교차하지 않게 된다. 그림 4(a)∼(c)는 그림 3(a)∼(c)를 이 방법으로 나타낸 것이다(단, 입체구조를 보기 쉽게 하도록 도너츠의 일부를 절단하여 삭제하였다.). 즉,

서로 독립적인 2개의 회전기구의 운동은,
도너츠 곡면상의 교차하지 않는 궤도로 표현할 수 있다.

[3] 0과 1에 걸려진 악마의 계단

커피 컵은 2개의 회전기구로 구성되어 있으나, 이것을 발진현상이라고 취급해도 본질은 변하지 않는다. 여기에서, 상호독립적으로 존재하는 2개의 발진구조가 선형인 관계로 기술됨을 밝힌다. 그 후, 이것이 상호영향을 미쳐서, 비선형인 관계로 기술되는 경우에 발생하는 "놀랄 만한 현상"에 관해 설명하자.

(a) 도너츠에서 서클로 : 도너츠를 자르는 평면 를 생각한다. 이 도너츠 단면, 즉 서클상의 어떤 점에서 출발한 궤도는 시간후에 로 돌아와서 서클상의 어떤 점 을 지난다. 이 출발점과 재귀점의 관계식을 유도해 보자.

지금 서클상의 좌표계를 그림 5와 같이 정했다고 하자. 컵은 로 회전하므로 시각 에서의 출발점을 라 하면, 시각 에서는 정도 회전해 있다. 따라서 궤도가 평면을 회째 지나는 시각 에서는

(1)

정도 회전해 있다. 여기서 회전시의 각도와 회전시의 각도의 차이를 취해, 변형하면 circle 상에 있어서의 출발점과 재귀점의 연관식이 유도된다.

(2)

식 (2)와 같이 연속시간 를 단위시간 로 구분함으로써 도출되는 상태간의 관계식을 차분 다이나믹스(difference dynamics)라 부른다. 그림 6은 인 경우에 대응하는 vs. 의 그래프이다. 단, 로 된 경우는 미리 식 (2)의 우변에서 를 빼서 그래프를 낮추어 둔다. 그러면, circle상의 궤도는, 이 그래프를 이용하여 다음과 관찰할 수 있다. 이것을 순차반복하여 연장되는 연속한 굽은 선을 circle상의 궤도라고 생각하면 된다. 차분 다이나킥스에 있어서 어떤 궤도가 회째 자신으로 돌아와 닫혀진 경우, 이것을 주기궤도(period-norbit)라고 하며, 그 개의 점을 주기점(periodic point)이라 한다.

조작 i

조작 ii

조작 iii

횡축 에 적당한 초기치 를 잡는다. 여기서 부터 수직선을 그어 graph와의 교점 a를 얻으면, 그 높이가 재귀점 을 나타낸다.

교점 a로부터 45도 직선으로 수평선을 그어 교점 b를 만듦으로써, 을 횡축으로 옮긴다.

교점 b로부터 그래프에 수직선을 그어 를 구한다.

이 경우, 그래프는 단순한 직선이며, 어떤 초기치 를 취해도 궤도는 3번째의 재귀점 에서 와 일치하여 3 주기궤도로 되어 버린다. 즉, 서클상에서는 45도 방향으로 평행이동하여 중첩되는 같은 형의 주기궤도가 비가산개 꽉 채워진 상태로 되어 있다. 이상을 정리하면

독립한 두 개의 발진기의 상태는 선형한 관계식으로 기술된다.

(b) 궤도는 정말로 닫혀 지는가? : 독립한 두 개의 발진기구로 주기궤도를 관측하기 위해서는, 한쪽의 발진기의 주파수에 대해 다른 쪽의 주파수가 유리수로 되도록 조절하지 않으면 안된다. 현실문제로서 이러한 조절은 가능할까?

지금, 를 고정하여 편의적으로 라 하자. 의 관계를 만족하도록 를 0에서 1의 실수중에서 적당히 선택한다. 여기서 주기궤도인가 준주기궤도인가를 구별하기 위해, 회전회수비의 장시간평균 (평균회전률 : rotation number)

를 이용하기로 하자. 식 (1)로부터 바로, 궤도가 단면을 회 지나면 서클상을 회전하고 있음을 알 수 있고, 평균회전율은

(3)

로 된다. 이때, vs. 그래프는 단순히 45도 직선으로 되고, 주기궤도를 나타내는 의 값은 0에서 1에 속하는 유리수에 일치함을 이해할 수 있다. 그런데 비가산개 존재하는 실수중에서, 가산개밖에 없는 유리수를 골라내는 것은 결코 가능하지 않으므로, 주기궤도를 나타내는 , 즉 유리수를 골라내지 않고 무리수를 골라내어 버리게 된다. 따라서

독립한 발진구조에서는 주기궤도를 관찰할 수 없다.

(c) 0과 1에 걸린 악마의 계단 : 현실의 세계에서는, 인접한 두 개의 발진 메카니즘은 반드시 상호영향을 미친다. 예를 들어 2개의 벽시계를 같은 벽면에 단다면, 한쪽의 진동은 벽면을 통하여 다른 쪽에 전달된다. 이 상호영향이 있는 2개의 발진기를 커플링(coupling)된 발진기라 한다. 이 상황에서는, 서로 회전수가 유리비로부터 약간 빗나가 있어도, 서로 응답하여 속도를 변화시켜, 그 빗나감을 흡수하는 작용이 생긴다. 따라서, 두 개의 회전수가 유리비로 되기 쉬운 현상(위상 로킹 : phase-locking)이 생긴다.

이 현상의 본질은 "비선형한 관계"이다. 즉 "선형한 관계"에 있어서, 식 (2)에서 보여지는 것과 같이 의 위치에 따르지 않고 다음의 위치 까지의 변화분은 일정하지만, "비선형한 관계"에서는, 에 의존하여 변화분이 변한다. 즉, 크플링이 도입되면 vs. 그래프에서는 "굽음"이 나타난다. 이 현상을 잘 설명해 주는 것이 저명한 러시아의 수학자 V.I.아놀드(V.I Arnold)의 사인 써클맵(sine circle map)이다.

사인 서클맵은, 라 하면 선형인 경우의 관계식 (2)로 되지만, 의 증가에 따라 의 영향이 강화되어, "굽음"이 심하게 된다. 즉, 계수 는 비선형성을 담당하는 펙터이다. 그림 8은 에서 관찰되는 2/3 위상 로킹이다. 여기서 주의해야 할 것은 서클맵에 있어서 관찰되는 주기점의 수는 도너츠의 구멍을 중심으로 회전한 회수와 같고, 평균회전율의 분모에 해당하게 된다. 역으로 분자는 서클맵상을 회전한 회수와 같고, 그래프의 불연속점보다 우측에 존재하는 주기점의 수와 같게 된다. 이 정의로부터 그림 8에서 관찰되는 2/3 위상 locking은 3주기궤도에 해당한다.

실은 그림 6에 보인 선형한 경우와 그림 8의 주기궤도에는 큰 차이가 있다. 비선형성이 개재되어 있는 그림 8의 주기궤도는 주위의 궤도를 끌어들이는 성질, 즉 안정성을 동반하고 있다. 이 상황에서는 초기상태를 어떻게 바꾸어 궤도를 추적해도, 어느 정도의 시간경과(트랜전트 : transient)에 따라 동일한 주기궤도에 흡수되어 수렴해 버린다. 이와 같은 주기궤도를 주기 어트렉터(periodic attractor)라 한다. 그림 6에서는 주기궤도가 비가산개 존재했지만, 그림 8에서는 3주기 어트렉터가 단 1개 존재하고 있는 정도이다. 이 차이는 그래프의 굽음에 기인하며, 비선형성이 강할수록 어트렉터의 안정성도 강하게 된다.

이러한 안정한 구조를 가지고 있는 궤도는 를 약간 변화시켜도 간단히는 파괴되지 않으므로, 의 빗나감 를 흡수하여 폭을 가지고 로 존재할 수 있다. 이것이 위상 록킹의 메카니즘이다. 이것에 의해, 에서 단순히 직선이었던 vs. graph는, locking 영역에서 평평하게 되는 계단함수로 변화한다. 이 그래프는 전체적으로 연속한 증가함수이므로, 준주기궤도를 발생시키는 의 값(준주기 영역)으로밖에 증가하지 않는다.

필연적으로, 의 증가에 따라 주기 어트렉터의 안정성은 강화되고, 대응하는 locking 영역의 폭은 증가한다. 역으로, 에서 축상을 꽉 메우고 있는 준주기 영역은 의 증가에 따라 가늘어 진다. 이 극한은 이며, 여기서 준주기영역은 없어져 버린다. 이때 vs. 그래프에서는 가산개의 계단만 남고, 어디를 어떻게 확대해도 항상 같은 계단이 나타난다. 이 기묘한 그래프는, "악마의 계단"이라고 불린다. 즉,

비선형성의 강화는 주기궤도를 안정화시키고,
준주기 궤도를 소멸시키는 작용이 있다.

3. 이터레이션, 프랙탈, 카오스

[1] 왜곡된 도너츠에서 무엇이 일어나는가?

의 악마의 계단을 경유하여 준주기궤도는 소멸한다. 그것으로부터 도너츠는 어떻게 될까? circle 맵은, 각도에 관한 차분 다이나믹스이므로, 도너츠가 어떤 형으로 되었는가 상상하기 힘들다. 그래서 아주 간단한 준주기발진(QPO : Quasi Periodic Oscillation) 회로를 써서 도너츠의 운명을 관찰해 간다.

(a) 도너츠의 운명 : 그림 11(a)는, 필자들에 의해 상세히 조사된 QPO회로의 설계도이며, 2개의 IC를 써서 간단히 실현할 수 있다. 이 회로의 동작은 시간에 대하여 연속적인 미분 다이나믹스(differential 다이나믹스)로 기술된다.

상태 라는 것은 2개의 콘덴서의 전압치와 코일의 전류치이며, 함수 는 그림 11(b)와 같은 특성을 가진 비선형저항이다. 이로부터 관찰되는 아주 이상한 현상은, 이 저항이 비선형 즉 굽어 있기 때문에 나타나는 것이다.

그런데, 이 저항은 항상 내부 에너지를 소비 또는 주입한다. 이 때문에 상태공간 에는 주변의 궤도를 빨아들이는 어트렉터가 나타난다. 이 회로의 어트렉터는 2개의 전압치 와 를 오실로스코프에 연결하여 관찰할 수 있으며, 콘덴서의 역수치 a를 서서히 변화시키면서 촬영한 사진이 첫장사진 1∼12이다. 여기서, 이들을 설명해 간다.

관찰 i

주기 어트렉터의 발생

주기 어트렉터(peoriodic attractor) 첫장 사진 1(a)가 나타나고, 그 단면은 한점이 된다(첫장 사진 1(b)).

관찰 ii

준주기 어트렉터의와 위상 록킹의 발생

에서 준주기(quasi-peoriodic) 어트렉터(첫장 사진 2(a))가 나타나고, 그 단면은 circle이 된다(첫장 사진 2(b)). 이후 의 증가에 따라 준주기 어트렉터와 주기 어트렉터가 평균 회전율의 순을 유지하면서 번갈아 가며 나타난다. 첫장 사진 3, 4, 5는 위상 록킹의 예이며, 각각 1/8, 1/7, 2/13의 평균 회전율을 가진다.

관찰 iii

준주기 어트렉터의 소멸

2/13 위상 록킹 후, 준주기 어트렉터는 나타나지 않고, 곧 1/6 위상 록킹이 나타난다.(첫장 사진 6).

관찰 iv

돌연의 카오스발생

1/6 위상 록킹 후, 6주기점의 부근을 아무렇게나 날아도는 주기를 가지지 않는 어트렉터 (비주기 어트렉터 : non-peoriodic attractor 또는 스트랜지 어트렉터 : strange attractor)가 돌연히 나타난다(첫장 사진 7).

관찰 v

공존과 재도카오스발생

에서 비주기 어트렉터와 공존하여 5주기 attractor(1/5위상 록킹)(첫장 사진 8)이 나타난다. 의 증가에 따라 비주기 어트렉터는 돌연 소멸하지만, 5주기 어트렉터는 살아남는다. 이 후, 그 단면상의 5개의 주기점(첫장사진 8)이 10(첫장사진 9), 20으로 배배씩 증가해 가서, 에서 5개의 섬으로 궤도가 분포하는 비주기 어트렉터로 변화한다(첫장 사진 10).

관찰 vi

돌연의 카오스확대

에서, 섬은 돌연히 커져서 연결되며, 왜곡된 도너츠 모양의 비주기 attractor가 된다(첫장 사진 11).

이상의 이상한 현상은, 이후의 절을 통하여 서서히 해명해 나간다.

(b) 아무렇게나 된 구조 : 준주기 어트렉터가 소멸하면, 도너츠 곡면은 왜곡되고, 그 위를 아무렇게나 날아다니는 비주기 어트렉터가 나타나는 것을 알았다. 그런데, 그 단면을 관찰해도 한눈에는, 궤도가 불규칙으로 분포해 있다고 밖에 보이지 않으며, 어떤 특징은 알 수 없다. 여기서 어떠한 구조가 존재할까?

회로실험에서는, 각종의 노이즈가 존재하여, 노이즈 레벨보다도 작은 구조는 흐트러져 버리므로 미분 다이나믹스를 컴퓨터로 풀어서 단면을 상세히 관찰해 본다. 그림 12(a), (b), (c)는, 첫장 사진 10에 대응하는 단면상의 5개의 섬을 3단계로 확대한 시뮬레이션 결과인데, 악마의 계단의 경우와 마찬가지로 어디까지 확대해도 계속 좁은 띠의 구조가 나타난다. 스트랜지 어트렉터에도 아주 미세한 구조가 숨어 있는 것일까? 그리고, 어떻게 해서 그것이 만들어 지는 것일까?

[2] 심플한 게임의 결말

"악마의 계단"이나 "왜곡된 도너츠"과 같은 복잡한 구조를 생성하는 룰은 역시 복잡할까? 여기서는, 어떤 간단한 게임에서 그 해담을 찾아간다.

(a) 심플한 게임의 결말 : 3인의 경기자에게, 중점에 마크가 붙어있는 고무줄과 색깔이 다른 펜을 가지게 한다. 다음에, 큰 그림용지를 정삼각형 를 그리고, 자기의 정점을 선택하게 한다. 고무줄의 한쪽 끝을 자신의 정점에 핀으로 고정하여 게임을 개시한다. 룰은 지극히 간단하여, 첫 번째의 가위 바위 보의 승자가 자신의 고무줄의 끝을 정삼각형내의 적당한 위치가지 연장하여, 고무줄 상의 마크밑의 위치에 점을 찍는다. 2번째의 가위 바위 보부터는, 승자가 1회 전에 찍은 점에 자신의 고무줄 끝을 늘여, 마크의 밑에 점을 찍는다고 한다. 이 게임을 반복해 가면 결말은 어떻게 될까? 그림 13(b)에서는 이것을 반복한 결과인데, 아무리 작은 장소를 몇회 호가대(무한계층적)해도 자기자신이 나타나는(자기상사적) 구조를 가지는 도형, 프랙탈이 나타난다! 거기에다, 놀라운 것은 첫회의 가위 바위 보의 승자가 어디에 점을 찍어도, 또는 누가 몇 번째에 이겨도, 결과는 이 프랙탈 도형(쉐르핀스키-개스캣)이 되어 버린다. 즉,

간단한 룰이라도, 그것을 반복함으로써
얼마든지 복잡한 구조를 만들어 낼 수 있다.

(b) 게임의 요술 : 실은 이 게임은, 미국의 수학자 J.허친슨(J. Hutchinson), 일본의 수학자 火田政義(M. Barnsley) 등에 의해 연구된 프랙탈을 생성하는 어떤 종류의 다이나미칼 시스템 그 자체인 것이다. 왜 이정도로 복잡한 도형이 나타나는가를 여기서 간단히 설명해 보자.

"한점 한점이 어디로 이동하는가"를 생각하는 것은 귀찮으므로, 1회의 조작으로 가 어디로 이동하는가를 생각한다. 정점 A점의 소유자의 조작에 의해 정점 B, C는 변AB와 AC의 중점으로 각각 이동한다. 따라서, 상의 어떠한 점도 정점1을 공유하는 닮음비 1/2인 정삼각형 로 옮겨진다. 정점 B, C의 소유자의 조작으로도 로 옮겨진다. 즉 첫회에서 누가 이겨도 절대로 "역삼각형 "의 안에 점은 찍히지 않는다. 2번째의 조작을 행하는 경우, 역삼각형을 도려내고 남은 영역을 옮기면 충분하다. 그 결과는 가 각각 내부의 역삼각형을 도려낸 형태가 된다. 이후의 조작은, 1회 전의 정삼각형을 로 줄여서 붙이는 것을 의미하고, 그럴 때마다 "최소의 정삼각형의 크기는 반으로, 수는 3배"로 된다. 이 조작을 반복한 극한에서는 최소의 정삼각형은 점이 되고, 그 갯수는 무한이 된다. 이 프랙탈 도형에 포함되는 점은, 마크될 가능성이 있는 위치를 모두 나타내고 있으므로, 게임의 진행에 따라 서서히 이 도형이 나타나게 된 것이다.

복잡한 구조가 반복에 의해 실현되는 이유는,
반복할 때마다 보다 작은 구조가 형성되기 때문이다.

(c) 악마의 일요일목수 : 「악마의 계단」에서의 준주기 영역은, 꼭 같은 룰로 만들어져 있다는 것을 알아챘을까? 축상의 [0, 1]구간에 있는 록킹 영역을 모두 제거한 것이 준주기영역이므로 다음의 방법으로 순차적으로 이것을 실행한다.

조작 i

조작 ii

조작 iii

조작 iv

양측의 0/1과 1/1에 대응하는 록킹영역의 폭을 제거하여 선분 을 만든다.

양의 유리수의 분모, 분자를 독립으로 가산하고, 중앙에 위치하는 유리수 (0+1)/(1+1)=1/2을 구하여, 대응하는 록킹 영역의 폭을 제거한다. 이 결과, 2개의 선분 과 가 만들어진다. 이 조작으로 생성되는 유리수열을 파레이급수(Farey series)라 한다.

2개의 유리수 (0+1)/(1+2)=1/3, (1+1)/(2+1)=2/3, (1+1)/(2+1)=2/3를 만들고, 댕응하는 록킹 영역의 폭을 없앤다. 이 결과, 4개의 선분 및 가 만들어진다.

마찬가지 순서를 회 반복함으로써 개의 선분 이 만들어 진다.

이 일련의 조작의 극한에서 선분은 점이 되고, 그 개수는 비가산개의 매끄러운 점의 모임(cantor 집합)이 된다. 준주기영역은 프랙탈이 되어 존재하고 있다. 앞에서 말했지만, 록킹 영역상에서 vs. 그래프는 평탄하고, 준주기영역만에서 증가하는 성질이 있다. 따라서,

악마의 계단은 칸터 집합상에서만 증가하는 기묘한 그래프이다.

(d) 매끄러움도 체크 : 프랙탈 집합상에서는, 실수 직선을 꽉 매울 정도의 많은 점이 매끄러운 위치 관계로 존재한다. 그러면 이 매끄러움도(두께, 농도)는 어떻게 표현하면 좋을까?

길이 0.5인 선분을 2개 더하면 길이 1인 선분이 된다. 따라서 1=1/2+1/2이며, 이 등식은 올바르다. 그런데, 한변의 길이 0.5인 정방향을 4개 모으면 면적 1이 된다고 해도, 1=1/2+1/2+1/2+1/2은 이상하다. 그것은, 좌변과 우변이 표시하는 것도 이 지그재그로 되어 있기 때문이다. 선분이 경우 1차원의 양의 길이를 취급하기 때문에

(4)

의 의미에서 올바르므로, 정방형의 경우는 2차원의 양의 면적을 취급하므로

(5)

라고 하면 올바른 등식이 구해진다. 그러면 쉐르핀스키 개스켓의 등식은 어떻게 될까? 그 차원은 잘 모르므로, 우선 라 한다. 자신을 반으로 한 것을 3개 더하면 1(자신)이 되므로, 식 (4)와 식 (5)의 아날로그에서

(6)

이 성립하게 된다. 이것을 만족하는 는 단 한 개 존재하여

(7)

로 1차원보다 두껍고, 2차원보다 얇은 비정수의 차원이 얻어진다. 이 초월방정식으로 얻어지는 차원(프랙탈 차원, fractal dimension)은 프랙탈의 특징을 실로 잘 보여준다.

비정수(아날로그) 차원은, 정수(디지털) 차원을 포함하는 편리한 개념이다.

[3] 푸앵카레 박사의 유산

「카오스」의 존재를 일찍이 확신한 것은 대천재수학자 H. 푸앵카레박사(H. Poincare, 1854∼1912)일 것이다. 박사는 어떤 수학의 문제를 연구하던중 이 사실을 깨달아 카오스 현상을 해석하기 위한 수학적 도구를 많이 남겨주었다. 실은 도너츠를 circle로 귀착시키는 아이디어는, 박사의 유산의 하나이며, 이것이야말로 카오스와 프랙탈을 연결시키는 다리이다.

(a) 단면에 감춰진 것 : 상태공간에 있어서, 주기, 준주기, 비주기 어트렉터의 어느것도 적당한 축의 주위를 회전하는 발진현상이다. 회전방향에서 만나는 평면 (푸앵카레 단면 : Poincare section)를 생각하면, 그 위에서 주기 어트렉터는 점, 준주기 어트렉터는 폐곡면에 대응하고, 그들의 부근에서 나오는 궤도는 1회전후, 상의 다른 점으로 나타난다. 즉, 3차원 공간을 지배하는 룰내에서는 상의 점을 움직이는 룰(풍앵카레 사상 : Poincare map)이 묻혀져 있고, 발진현상의 시간발전은 상의 룰을 반복하는 것을 의미한다.

주기 어트렉터 근방의 푸앵카레 사상은, 상의 원영역을 그 내부에 작은 원으로 옮긴다. 이것을 반복하면 원은 순차 축소해 가며, 그 극한은 주기 어트렉터와 의 교점으로 수렴한다. 따라서, 원의 내측에 있는 점에서 나오는 어떠한 궤도도 주기 어트렉터에 흡수되어 버린다. 또, 준주기 어트렉터에 대응하는 푸앵카레 사상은, 단면상의 circle 외부에서 취해진 원영역을 내부로, 내부에서 취해진 원영역을 외부로 옮긴다. 이것을 반복하면 내부와 외부의 원주는 서서히 도너츠의 단면인 circle로 접근하게 된다. 푸앵카레박사가 남긴 최대의 힌트는

발진현상의 본질은 단면상의 룰에 감춰져 있다.

라고 하는 사실이다.

(b) 룰을 구하여 섬을 돈다 : 그러면 스트랜지 어트렉터 안에는, 어떠한 룰이 채워져 있는 걸까? 첫장 사진 10 또는 그림 12의 5개의 섬으로부터 그 룰을 찾아내 본다. 첫 번째의 "작은 섬" 상에서 취해진 초기치로부터 나오는 궤도는, 2번째의 "약간 늘어난 섬"으로 옮겨진다. 다음에 3번째의 "약간 굽은섬", 4번째의 "굽은 섬" 그리고 마지막으로 5번째의 "부서진 섬"을 통해 "작은 섬"으로 돌아온다. 여기서 4번째 섬을 둘러 싸는 원영역을 설정하여 이것을 순차적으로 옮기면, 그림 17과 같이 각 섬의 형상에 대응한 "늘린다", "굽힌다", "부순다"라고 하는 일련의 변형 룰이 확인된다.

여기서, 이 룰을 모방한 이하의 룰의 반복에서 무엇이 일어나는가 조사해 보자.

조작 i

조작 ii

조작 iii

정방형을 종방향으로 c배로 늘이고, 횡방향으로 1/3로 줄인다.

장방형을 대칭하는 부메랑 형으로 접어서, 정점과 양다리가 정방형으로부터 양옆으로 나오도록 배, 종방향으로 나오지 않도록 배로 부순다.

90도 회전하여 부메랑을 세운다.

이 일련의 변형은 아래의 2차원 차분 다이나믹스(모델 맵)으로 기술된다.

라고 설정한 경우, 그리고 (1,1)을 양대각으로 가지는 정방형이 어떻게 옮겨지는가 그림 19(a)에 보인다.

(c) 부메랑과 같이 : 그런데, 이 룰로 어떤 점을 몇회나 옮겨가면 그 점은 어떻게 될까? 어떤 점은, 포물선의 정점으로 옮겨져 정방형으로부터 삐져나와 버리지만, 정방형내에 계속 남아있는 점도 있을 것이다. 거기서 최초에 정방형 내부에 살아남은 점은 어디로 갈까를 조사해 본다. 1회째의 변형에서, 정방형은 종부메랑이 되어 돌아온다. 정방형에서 한번 나가 버린 영역은 정방형 내부로 돌아오지 않으므로, 이후는 양자가 교차하는 좌우 두 개의 종슬릿 과 만을 고려한다. 2회째의 변형에서는 부메랑 내로 다시 부메랑이 2번 접혀져서 돌아오고, 새로운 교차는 왼쪽의 종슬릿 내의 그리고 , 우의 종슬릿 내의 및 가 된다. 3회째의 조작에서도, , , 그리고 내에 2개씩 계 8개의 종슬릿이 만들어 지게 된다. 이 슬릿의 생성과정은, 악마의 계단에서 설명한 칸터 집합의 제작방법과 같으며, 같은 조작을 무한회 반복하면 교차를 주는 슬릿의 면적은 0, 수는 무한이 되는 것에 주의해야 한다. 즉, 정방형내에 살아남은 점의 행방은 적어도 이 칸터 집합상의 종슬릿내에 있다.

이들 무한의 종슬릿에 포함되어 있는 점내에는, 몇회째인가의 변형으로 정방형으로부터 튀어 나오는 점이 있다. 정방형내에 살아남은 점만을 발견하는 데는, 이들 튀어 나와 버리는 점을 포함하는 장소를 모두 제외하지 않으면 안된다. 이것을 조사하기 위하여, 정방형을 역의 룰로 되돌려 본다(시간을 역전시켜). 식 상에서는 모델 맵에 있어서 회째의 위채에서부터 회째의 위치를 역산하는 것이 되어, 이하의 역 모델 맵이 얻어진다.

(8)

(9)

이 결과는, 그림 20(a)와 같이 되며, 부메랑은 횡방향이 되고, 그 교차로서 2개의 횡슬릿 과 가 생긴다. 그림 20(a)의 정방형과 횡부메랑을 한번 모델 맵으로 옮기면, 그림 19(a)의 종부메랑과 정방형으로 각각 옮겨진다. 그림 21은, 각각의 영역의 대응관계를 나타낸 그림으로, 그림 20(a)의 정방형내에서 2개의 과 를 제외한 영역이 첫 번째의 변형에 의해 정방형으로부터 밀려나온 영역에 대응하는 것을 알 수 있다. 따라서, 2개의 횡슬릿이 밀려나오지 않는 영역이다.

다음으로, 횡부메랑을 한번 더 역모델 맵으로 되돌리고, 2번째의 변형에서 밀려나오지 않는 영역을 찾으면, 그림 20(b)와 같이 4개의 횡 슬릿 , , 그리고 가 된다. 또 한번 이것을 되돌려, 3번째의 변형에서 밀려나오지 않는 영역을 찾으면, 그림 20(c)의 8개의 횡슬릿이 된다. 도착하는 곳의 종슬릿과, 밀려 나오지 않는 영역의 횡슬릿이 교차하는 곳이 살아남는 장소이며, 이것은 틀림없이 비가산개의 점으로 이루어 지는 프랙탈 집합이 된다. 이 프랙탈 집합 생성기구는, 필즈상에 빛나는 미국의 수학자 스메르(S. Smale)의 말발굽맵(horseshoe map)이라 불리는 것으로, 모델 맵은 이것을 설명하기 위해 필자가 만든 한 예이다. 여기서는 상세한 것은 생략하나, 스메르에 의해 이 프랙탈 집합이 아래의 성질을 가지고 있는 것이 증명되어 있다.

특징 a

특징 b

특징 c

이 집합에 속하는 비가산개의 점중에서 가산개의 점은 주기궤도에 포함된다. 그 중에서 얼마든지 긴 주기를 가지는 궤도를 발견할 수 있다.

남은 비가산개의 점은 영원히 같은 장소에 돌아오지 않는 비주기적 궤도에 포함된다.

이 집합의 구석구석까지 꽉 차서 도는 궤도(dense orbit)가 있다.

즉,

이 늘려서 굽힌 룰반복으로 만들어지는 프랙탈 집합이
비주기적 거동의 원천이라고 생각 되어진다.

(d) 보이지 않는 점과 선 : 이들 주기궤도는 모두 어트렉터는 아니고, "보이지 않는다"라는 것에 주의해야 한다. (a)에서 설명한 것처럼, "보인다"라는 것은 주위의 궤도를 자신쪽으로 당겨 붙이는 성질을 의미한다. 그런데, 말발굽맵은 정방형 내부의 임의의 2점을 횡방향으로는 접근시키고, 종방향으로는 떼어내는 성질을 가지고 있기 때문에, 어떤 주기궤도도 한방향으로는 궤도를 끌어당기고, 다른 방향으로는 잡아 떼어내는 새들형(saddle type)으로 되어 있다. 그림 23(a)는, 이와 같은 주기궤도 부근의 룰로 초기에 잡은 원영역이 어떻게 옮겨지는가를 보여주고 있다. 종으로는 늘여 당겨지고, 횡으로는 부수어지는 원상영역이 되어 옮겨진다. 여기서 한가지 이상한 것을 발견했을 것이다. 예를 들면, 그림 23(b)에서 점 a로부터 나온 궤도는 화살표 방향으로 위로, 점 b로부터 나온 궤도는 아래로 떨어져 나간다고 하자. 이 2점 사이를 연결하는 선분상의 점으로부터 나오는 궤도는 반드시 위나 아래로 도망가게(나가게) 되지만, 그 경계는 어떻게 되어 있을까? 반드시 점 c와 같이, 위로도 아래로도 가지 않는 점이 없으면 큰 모순이 생겨 버린다. 이 상하의 경계는 새들형 주기궤도의 주기점을 통과하는 곡선으로 되어 있고, 안정다양체(stable manifold)이라 불린다. 이 곡선상의 점에서 나온 궤도는, 새들형 주기궤도 그 자체로 수렴한다. 역으로 시간을 역전시킨 경우에 나타나는 경계는, 잡아떼어 내는 방향에 대응하므로, 불안정다양체(unstable manifold)라고 불린다.

이상의 성질로부터, 어떠한 궤도도 다양체와 교차할 수 없고, 그것을 따라 움직인다. 이러한 새들형 주기궤도의 집단이 있는 경우, 그 주변의 궤도는 어떻게 동작하는 가를 생각해 보아야 한다. 그들은 복잡하게 얽혀있는 다양체의 틈새를 천천히 돌고, 또한 출발점에서 아무리 가깝게 있던 2개의 궤도라도, 새들형 주기궤도의 불안정성에 의해 시간이 경과함에 따라 점점 떨어져, 전혀 다른 운명을 가게 된다. 이 성질을 궤도불안정성(orbital instability)이라 부른다.

(e) 함정에 빠져 : 말발굽맵은 비주기궤도를 생성하는 것을 알았다. 그러나, 이 궤도는 정말로 보이는 것일까? "악마의 계단"에서 준주기 영역이 잡히지 않는 것과 마찬가지로, 프랙탈 집합상에 포함된 비주기 궤도상에 절대로 초기치를 잡을 수 없다. 또한, 아무리 프랙탈 집합 근처에 초기치를 잡아도, 궤도불안정성에 의해 언젠가는 정방형의 가운데에서 밀려나가 버린다. 따라서, 말발굽맵의 카오스는 아무리 열심히 해도 보이지 않는다. 이것을 보기 위해서는 어쨌든 궤도를 떠나지 않는 울타리와 같은 영역이 필요하게 된다. 모델 맵의 3개의 계수에 다음의 제약조건을 넣으면

(9)

그림 24(a)와 같이, 호의 머리와 다리가 정방형상에 꼭맞게 모여, 궤도의 울타리인 트래핑영역(trapping region)이 만들어 진다. (단, 시뮬레이션에서는 를 선택했다.) 이 상황에서는 로 당겨늘임이 충분히 강해서 그림 24(b)와 같은 스트랜지 어트렉터가 나타난다.

카오스적 거동이란 궤도불안정성에 의한 난잡한 작동인데, 이 궤도가 영속적으로 보여지지는 않는다.

난잡한 동작을 못하게 하는 트래핑 영역이 있어서,
처음으로 카오스가 보이게 된다.

이것이 스트랜지 어트렉터이다.

4. 바이퍼게이션.프랙탈.카오스

[1] 크라이막스에로의 3개의 시나리오

2절 [1]항에서 사인써클맵의 그리고 QPO회로의 를 바꿈으로써 어트렉터의 성질변화가 발생했다. 이들 그리고 와 같이 다이나미컬 시스템의 룰을 외부에서 조정할 수 있는 값을 파라미터(parameter)라 하고, 그 변화에 따른 어트렉터의 성질변화를 분기(bifurcation)라 한다. 파라미터로 늘려진 공간(파라미터공간 : parameter)내에서, 주기나 준주기 어트렉터등의 코스모스는 이 분기현상을 반복하면서 카오스로 붕괴되어 간다. 놀랄 만한 것으로 이 붕괴방법(카오스로의 시나리오)은, 비선형 다이나미컬 시스템의 종류에 의존하지 않고, 아주 적은 종류로 한정되어 있다.

(a) 도너츠가 붕괴될 때 : 분기현상을 파악하는 데는 파라미터 공간을 어트렉터의 종류에 따라 색을 나누어 칠해 만들어지는 지도(위상도 : phase diagram)를 사용한다. 카오스적 다이나미컬 시스템의 위상도는 아주 아름다운 해도와 같이 된다. 딱 거기서, 카오스 존재영역은 바다와 같이 보이고, 그 안에 채워진 주기 어트렉터 존재영역(주기윈도우, periodic window)은 바다에 떠있는 섬과 대륙으로 보인다.

여기서는, 사인써클맵에 관한 위상도를 관찰하고, 도너츠가 카오스로 붕괴되는 시나리오를 찾아간다. 그런데, 사인써클맵의 파라미터 공간에서 관찰되는 록킹 영역에서는, 도너츠의 단면상에 개의 주기점을 가지는 어트렉터가 존재하고 있다는 것을 생각해 내야 한다. 이 사실로부터, 록킹 영역은 주기 윈도우라고도 말할 수 있다. 첫장 사진 12는, 주기윈도우, 준주기상태 존재영역, 카오스 존재영역을 각각 컬러테이블에 비추어 색을 가려내었다. 파라미터 위상도이다. 주기 윈도에 있어서 색의 명도는, 안정성의 강도에 비례하고 있다. 사인써클맵의 주기 윈도우의 형상은 아름다운 V자형으로 되어 있어서, 아놀드의 혀(Arnold tongue)이라 불린다. 여기에, 또 한축으로써 평균회전율 를 부가하여, 파라미터 공간에 표시한 입체 그래프가 첫장 사진 13이다. 위상도 전체로써 다음과 같은 특징이 관찰된다.

특징 i

특징 ii

특징 iii

특징 iv

임계선 에서 준주기상태 존재영역(백색영역)과 카오스 존재영역(흑색영역)은 나누어 진다.

아놀드 혀는, 임계선 이하의 영역에서 교차하지 않는다.

임계선 은 아놀드의 혀로 채워져, 준주기상태 존재영역은 프랙탈화 되어 있다.

아놀드의 혀는 임계선보다 위의 영역에서 교차한다.

이상의 특징을 알고 난 후, 준주기 상태가 어떻게 해서 카오스로 붕괴되었는가 생각해 보자. 이 위상도의 백색영역의 어떤 점에서 흑색영역의 어떤 점까지 매끄러운 경로로 연결한 경우, 특징 i로부터 그 경로는 반드시 임계선과 만나지 않으면 안된다. 또한 특징 iii으로부터 임계선상에서 준주기상태는 관측될 수 없고, 반드시 주기 어트렉터를 관측하게 된다. 즉,

준주기 상태는, 직접카오스로 붕괴될 수 없고,
주기 어트렉터가 카오스에 도달하지 않으면 안된다.

이 카오스로의 시나리오를 준주기붕괴(quasi-periodic break down)의 시나리오라 부른다.

(b) 2개의 운명 : 준주기붕괴의 시나리오는, 사인써클맵만으로 성립하는 것은 아니다. 다른 다이나미컬 시스템에서 준주기붕괴를 일으키는 메카니즘이 이것과 동일하다면, 같은 시나리오의 지배를 받는 것은 당연하다. 그 증거로 2절 [1]항 (a)에서 관찰된 QPO회로의 현상은 준주기붕괴의 시나리오에 지배되고 있다.

2/13 록킹 영역까지 를 단조증가시키면, 준주기 어트렉터와 주기 어트렉터가 번갈아 가며 출현한다(2절 [1]항 (a) 관찰ii). 그러나 2/13과 1/6 록킹 영역사이에 준주기 존재영역이 개재되어 있지 않았다는 사실(동관찰 iii)로부터, 2/13 록킹 영역에서 임계선을 횡단했다고 추측된다. 따라서 그 이후의 1/6 그리고 1/5 록킹 영역후에는 준주기 어트렉터는 결코 나타나지 않고, 카오스가 출현한 것이 된다.

여기에 와서 최대의 의문은, 6과 5주기 어트렉터가 왜 다른 시나리오로 카오스로 붕괴했는가이다. 여기서, 2절 [1]항 (a)에서 관찰된 6과 5주기 어트렉터의 운명을 정리하면

운명 A

운명 B

6주기 어트렉터가 돌연히 소멸하여, 카오스가 나타난다(2절 [1]항 (a) 관찰iv)

5주기 어트렉터는 10, 20, …으로 배주기 어트렉터로 분기하여 카오스로 붕괴된다(2절 [1]항 (a) 관찰v).

대체, 이 운명의 차이는 어디에서 나오는 것일까? 이 문제의 해답은 아놀드의 혀에 숨겨져 있다.

(c) 그것은 돌연히 나타났다. : 파라미터 공간의 임계선을 넘은 영역에서, 혀의 V자형 외부경계를 가로지르면 무엇이 일어날까? 이 경계는 카오스와 주기 어트렉터를 나누고 있으므로, 혀의 내부로부터 경계를 가로지른 시점에서, 운명A에서 보이는 돌발적인 카오스 발생이 기대된다.

이 카오스 발생기구를 설명하기 위해서는, 먼저 주기 어트렉터의 소멸을 설명하지 않으면 안된다. 이 힌트는 2절 [1]항 (a)에서 고찰한 특징 iv에 보이는 혀의 교차에 있다. 혀의 교차영역에서는, 개개의 혀에 대응하는 어트렉터가 2개 공존한다. 어트렉터에는 주위의 궤도를 잡아당기는 성질이 있으므로, 적당한 초기치를 정했을 때, 이것이 어느쪽의 어트렉터에 수렴하는 가로 상태공간의 색분류가 가능할 것이다. 이 각 어트렉터의 지배하에 있는 영역을 베이신(basin)이라 부른다. 그림 25(a)는, 2개의 주기 어트렉터 A와 B의 공존을 보인 모식도이다. 양자의 근방은 개개의 베이신에 포함되어 있으므로, 색이 다르게 되어 있다. 그런데, 복수의 베이신이 있다면 당연히 그 경계가 있고, 그 위의 점은 어느쪽의 어트렉터에도 수렴하지 않는다. 그러면, 그들은 어디로 가는 것일까? 이것과 아주 유사한 문제를 2절 [3]항 (d)에서 고찰했던 것을 생각해 내어야 한다. 그 결론이란

새들형 주기궤도 근방의 어떤 점에서 나오는 궤도는 위로 가고,
어떤점에서 나오는 궤도는 아래로 간다. 따라서, 그 중간에 위치하는
어떤점은 새들형 주기궤도로 수렴한다.

이었다. 가정으로, 그림 25(b)와 같이 2개의 어트렉터 A와 B사이에 새들형 주기궤도 S가 존재하고, 그 안정다양체가 경계를 형성하고 있다고 생각하면 모든 문제는 해결된다. 이 상황에서 파라미터를 변화시켰을 때, 주기어트렉터 B가 소멸했다고 하자. 이것과 동시에 B의 베이신(basin)도 소멸하지 않으면 안되므로, 경계(새들형 주기궤도 S)도 잃어 버리게 된다(그림 25(c). 그러므로

주기 어트렉터는 새들형 주기궤도와 동시에 소멸,
발생하고, 이것을 새들 노드 분기(saddle-node bifurcation)라 한다.

새들 노드 분기에 의해 주기 어트렉터의 소멸이 일어나는 경우, 주기 어트렉터와 새들형 주기궤도는 서서히 점근, 접촉, 그리고 소멸한다. 소멸후, 얼마동안은 채널(channel)이라 불리는 흔적이 남는다. 이 경우, 채널은 아주 좁고, 그안에서 궤도는 천천히 흐르지만, 파라미터의 변화에 따라 채널은 서서히 개방되어, 궤도의 흐름은 원래로 돌아온다.

여기서, 카오스 발생기구의 설명으로 돌아가자. 전절에서 말한 바와 같이 궤도의 카오스적 거동은 반드시 관찰 가능한 것은 아니다. 예를 들어 새들형 주기궤도의 집단이 감춰져 있는 트래핑영역이 있다고 해도, 그 안에 주기 어트렉터가 있다면 어떻게 될까? 처음에, 궤도는 카오스적으로 동작하겠지만, 언젠가는 주기 어트렉터로 수렴하고, 이것이 관찰될 뿐일 것이다. 이 과도적으로 생기는 난잡한 궤도를 트랜전트카오스(transient chaos)라 한다. 역으로, 주위에 잠재적인 카오스를 묻어둔 주기 어트렉터가 새들 노드 분기에서 소멸하면, 카오스가 출현할 것이다. 여기서, 앞에서 서술한 채널의 영향에서, 카오스의 출현에는 큰 특징이 나타난다.

새들 노드 분기에서 주기궤도가 소멸한 직후는, 채널은 현저히 좁기 때문에, 난잡하게 동작하는 궤도가 한번 여기에 빠지면, 탈출까지 아주 긴 시간을 소비한다. 즉, 주기적인 거동이 때에 따라서 난잡한 거동으로 변화하여 다시 주기적인 거동으로 돌아오는 과정이 반복된다. 그런데, 파라미터 변화에 따른 채널의 개방은 주기적 거동을 감소시켜, 상대적으로 난잡한 거동을 다발시킨다. 따라서

새들 노드의 분기의 발생에 의해, 잠재적 카오스를 따른 주기
어트렉터가 소멸한 경우, 그 주기적 거동이 서서히 난잡한
거동으로 바꾸어져, 최후에는 잠재되어 있던 카오스가 나타난다.

이 카오스에로의 시나리오를, 인터미턴시(intermittency)의 시나리오라 부른다.

QPO회로에 있어서 첫장 사진6(b) 그리고 7(b)를 비교하면, 소멸한 6주기 어트렉터의 근방에 6개의 채널(휘도가 높은 부분)이 확실히 관찰되고, 대응하는 스트랜지 어트렉터 (구회사진 7(a))도 6주기 어트렉터의 성질을 계속 강하게 받고 있는 것을 관찰할 수 있다. 즉, 운명 A에 보여진 카오스에로의 시나리오와는 인터미턴시이다.

(d) 그것은 서서히 나타났다. : 혀의 내부로부터 카오스 영역에 도달하는 데는, U자형 내부경계를 가로지르는 경로도 있다. 개개의 혀는 모두 같은 구조를 가지고 있으므로, 첫장 사진 13에 있어서 좌단의 파란혀를 예로 취해 조사해 보자. 파란혀는 1/1 록킹 영역이며, 거기에는 1주기 어트렉터가 존재한다. 그 U자형 내부경계를 나누면 적(2주기), 녹(4주기), 청(8주기), 그리고 흑(카오스)과 1주기 어트렉터로부터 카오스에 도달하는 일련의 색의 층이 관찰된다. 따라서, 각색의 경계에서는

어트렉터의 주기점의 수가 배, 즉 주기의 길이가 배가 되는
주기배분기(period doubling bifurcation)가 발생한다.

그림 26은, 로 고정하고, 파란혀의 내부로부터 카오스영역으로 방향으로 파라미터 공간을 이동하면서, 써클맵의 주기점을 횡축으로 plot한 그래프(분기도 : bifurcation diagram)이다. 여기서 적당한 종선(=일정)과 graph의 교점수는 어트렉터의 주기에 대응하는 것으로부터, 주기가 배로 증가해 가는 것이 확실히 관찰된다. 특히 방향으로 graph는 가지의 길이가 짧아지는 2분목의 구조를 취하고, 그 말단에서는 카오스가 발생해 있다. 따라서 이 카오스에로의 시나리오를 주기배분기의 시나리오라 부른다.

QPO회로에 있어서 첫장 사진 8,9, 그리고 10을 비교하면, 5주기 어트렉터가 1/5 록킹 영역의 내부경계를 통과하여 주기배분기의 시나리오에서 카오스로 전이한 것이 이해된다.

(e) 창이 많이 있다. : 또 한번, 첫장 사진 13 그리고 14를 주의깊게 관찰해 보자. 검은 카오스 영역안에 특징있는 주기 윈도우가 U자형 내부경계를 따르는 것처럼 몇 개라도 관측할 수 있을 것이다. 이 3개 또는 주기 윈도우는 낚시바늘(Fish-hook)이라 불리고, 여러 가지 다이나미칼 시스템의 파라미터 공간에 나타나는 전형적 형상이다. 그 일례로써 주기배분기의 시나리오에서 첫장 사진 14와 같은 스트랜지 어트렉터(더블 스크롤 : double scroll)을 발생하는 전기회로(더블 스크롤 회로 : double scroll circuit)의 파라미터 위상도를 제시한다. 첫장 사진 15는, 회로의 2개의 소자치로 펼쳐진 파라미터 공간을 써클 맵과 완전히 같은 컬러테이블로 착색한 것으로서, 좌로부터 우로 주기배분기열을 관찰할 수 있다. 카오스영역에 묻혀져 있는 낚시바늘 윈도우는 적(2주기), 자(3주기), 녹(4주기), 하늘색(5주기), 황색(6주기)으로 주기를 증가해 가면서 연결하여, 나선을 형성한다. 이 나선의 중앙부분과 나선의 끝을 확대한 것이 첫장 사진 16과 17이다.

서로 다른 로우트에 의해 생성된 전혀 다른 형태의 카오스에, 공통의 주기 윈도우가 관찰되는 것은 불가사의한 기분도 들지만, 왜곡된 도너츠 단면에서 발견된 "늘려서 굽힘"의 룰은, 전혀 형태가 다른 스트렌지 어트렉터내에도 묻혀 있다. 그리고 이 룰이파라미터의 변화에 따라 어떻게 변화하는가로써, 파라미터 공간에 있어서 주기 윈도우의 형상도 결정된다. 그러므로 낚시바늘 윈도우라고 하는 공통의 형상이 나타나는 것이다. 즉,

파라미터 공간에 있어서 주기 윈도우의 구조와 상태공간에
묻혀있는 카오스 생성 룰은 밀접하게 연결되어 있다.

[2] 사랑의 보더라인(border line)

비선형 다이나미칼 시스템은, 이질의 attractor가 공존하는 성질 다안전성(multi-stability)를 가진다. 여기에 부수하여, 복수의 스트랜지 어트렉터가 관련되어, 복잡하게 변질하는 현상이 일어난다. 여기에서는 2절 [3]항 (b)에서 생각한 모델맵에서 보여지는 스트랜지 어트렉터의 분기현상을 관찰해 간다.

(a) 만남, 그리고 이별 첫장 사진 : 18은, 모델 맵에 있어서 파라미터를 으로 고정하고, 를 0.5에서 4.0까지 움직여서 구성한 분기도이다. 입방체의 폭과 높이는 그리고 를 주고, 안쪽방향은 에 대응된다. 즉, 일정한 의 값으로 착색된 오브젝트를 절단하면, 그 단면자체가 상태공간 에 있어서 어트렉터가 되어 있다. 그러면, 첫장 사진 18로부터 아래와 같은 특징을 확실히 관찰할 수 있다.

단안정성 : 1주기 어트렉터 (첫장 사진 18에 있어서 황색의 가지 1개)가 주기배분기의 시나리오에 의해 카오스로 천이하고, 활모양의 스트랜지 어트렉터 (첫장 사진 18에 있어서 가지 1개로부터 분기한 황색의 활)이 된다.

쌍안정성 : 부근에서 3주기 어트렉터 (첫장 사진 15의 안에서 허공에 떠서 나타나는 등색의 3개의 가지)가 새들형 분기에 의해 발생하여, (황색)과 공존한다.

스트랜지 어트렉터의 소멸 : 부근에서 (등색)은 주기배분기에 의해 6주기 아트렉터 (첫장 사진 15에서 3개 가지로부터 분기한 등색의 6개의 가지)로 되지만, (황색)은 돌연소멸하고, (등색)만이 살아 남는다.

스트랜지 어트렉터의 분기 : (등색)은, 주기배분기의 시나리오를 통해 3개의 섬모양 카오스 (첫장 사진 15에서 등색의 3개 가지로부터 분기한 등색의 3개의 작은활)로 성장하지만, 부근에서 돌연 폭발적으로 커져서, 이 존재하고 있던 영역까지 cover하는 새로운 스트랜지 어트렉터 (첫장 사진 15에서 등색의 3개의 작은 활에 접속된 녹색의 큰 화살)로 된다.

비선형 시스템의 파라미터 공간에서는, 복수의 이질 어트렉터의 공존, 만남, 이별이 일상다반사이다. 이들은, 그냥 보면 아주 복잡한 현상이지만, 어트렉터 사이의 보이지 않는 보더 라인(안정 다양체)을 그음으로써 명쾌하게 해명할 수 있다.

(b) 사랑의 보더 라인 : 3절 [1]항 (c)에서 설명한 것처럼, 복수의 어트렉턱가 공존하는 경우는 반드시 그들에 대응하는 베이신(basin)이 만들어 진다. 그림 27(a)는 새들형 분기 직후에 있어서 상태공간 의 베이신을 나타내고 있다. 여기서, 흑색영역은 발산, 백색과 회색은 와 의 베이신에 대응하고 있다. 공종이 일어나기 이전은, 에 지배되는 회색 베이신만이, 발산에 대해 존재해 있었으며, 의 베이신과 발산영역과의 경계는 1주기 새들형 궤도 의 안정다양체에 의해 형성된다. 그러면, 에 지배되는 회색 베이신내에, 돌연히 3주기 어트렉터가 가 나타나면, 앞 절에서 말한 것과 같은 모순이 생겨 버린다. 가 존재가능한 이유는, 와 동시발생한 3주기 새들형 궤도 의 안정다양체가, 회색 베이신안에 의 백색 베이신을 생성했기 때문이다.

파라미터의 변화에 동반하여, 궁장 스트랜지 어트렉터 이 성장해 가면, 최후에는 의 안정다양체에 3군데에서 동시 접촉하게 된다. 이 경우, 의 근방을 지나는 궤도는 (접촉이 생기는 파라미터 값에서는, 가 에 배분기해 있는 것에 주의)가 존재하는 베이신으로 흘러나와 버린다. 따라서, 베이신은 단번에 칠이 바꾸어져, 모든 것이 의 베이신으로 된다. 즉,

스트랜지 어트렉터와 배신 경계의 접촉에 의해,
스트랜지 어트렉터가 소멸해 버린다.

이 현상을 경계위기(boundary crisis)라 부른다.

그림 27(b)는 가 주기배분기의 시나리오에 의해 스트랜지 어트렉터 로 성장한 경우의 그림인데, 머지 않아 도 의 안정다양체에 접촉을 일으킨다. 이 때, 궤도는 스트랜지 어트렉터 이 이전 존재해 있던 영역으로 흘러나오는 것과 같이 되므로 안에 존재해 있던 새들형 폐궤도의 덩어리안을 방황하게 된다. 역으로 자신도 이미 안정다양체와 얽혀져 있기 때문에 으로 돌아오므로, 과 의 융합이 일어나고, C가 발생한다. 즉,

스트랜지 어트렉터가 안정다양체와 접촉하고,
잠재적 카오스와 융합하므로써 급격히 성장한다.

이 현상을 인테리어 크라이시스(interior crisis)라 부른다. QPO회로의 관찰에서 본 5개의 섬이 돌연 왜곡된 도너츠로 된 현상(2절 [1]항 (a) 관찰 vi)도, 실은 인테리어 크라이시스이다.

이상, 다안정성에 부수되어 생기는 스트랜지 어트렉터의 분기현상을 설명해 왔는데, 결론은

스트랜지 어트렉터는, 새들형 주기 궤도의
개재에 의해 융합, 분열, 또는 소멸한다.

보이지 않는 경계가 2개의 이질한 것을 구분하여, 위기를 극복한 만남이나, 이별이 있다. 어쨌던 남녀간의 기미와도 비슷한 것 같다. 인간관계도 대규모의 비선형 시스템이라면, 그 운명을 지배하는 보이지 않는 보더 라인이 있음에 틀림없으므로, 그것이 무엇인가를 알고 싶다고 생각하는 것은 필자만이 아닐 것이다.

[3] 계란이 먼저인가, 닭이 먼저인가

카오스라는 말은 혼돈, 무질서라고 하는 이미지로 취급되기 쉽다. 그러나, 이상에서 설명한 결정론적 다이나미칼 시스템의 카오스는 과연 무질서한 존재였던 것일까?

카오스는 상태공간중에서 묻혀 있는, 간단한 법칙의
반복에서 생성되는 프랙탈 구조를 내포하고 있다.

거기에 더하여

카오스는 파라미터 공간내에 묻혀져 있는 몇 개의 시나리오에
의해 정성적 지배를 받는다.

이것을 안 지금에 와서는, 카오스에는 새로운 질서가 존재하고 있다고 밖에 말할 수 없다. 이 최후의 절에서는, 파라미터 공간에 있어서 시나리오의 지배는 단순히 정성적인 것이 아니고, 프랙탈 구조에 근거한 유니버설상수(universal constant)에 의해 정량적 지배조차도 받고 있다는 것을 보인다.

(a) 2개의 매직 넘버 : 준주기붕괴의 시나리오에 있어서, 임계선에 준주기영역은 칸터 집합이 된다. 따라서, 그 특징은 프랙탈 차원에 의해 측정됨에 틀림없다. 그림 15에 있어서 기호 에 대응하는 폭의 길이를 라고 표기하면, 회의 조작으로 추정되는 프랙탈 차원의 근사치는 다음의 초월방정식의 해가 된다.

놀랍게도 준주기붕괴의 시나리오에서 지배되는 다이나미칼 시스템이라면, 어떠한 것이라도 충분히 큰 에 대해

가 되는 것이 보고되어 있다. 즉, 준주기붕괴에 있어서 프랙탈 차원 0.825는, 유니버셜 상수이다.

그림 26에 보여지는 것처럼, 주기배분기에 있어서 분기도의 구조 그 자체가 프랙탈 구조를 가지고 있다. 그림 28과 같이, 회째의 분기에서 형성된 가지의 길이를 이라고 표기하고, 아래에서 보이는 가지의 확대율을 생각하자.

여기에서도, 주기배분기의 시나리오로 지배되는 다이나미칼 시스템이라면, 어떠한 것이라도 충분히 큰 에 대해

인 것이 보고되어 있다. 특히, 이 유니버설 상수는 카오스에 있어서 보편량의 존재를 처음으로 지적한 미국의 이론물리학자 파이겐 바움(M.J. Feigenbaum)의 이름을 따서 파이겐 바움 상수(Feigenbaum constant)라 불리고 있다.

(b) 계란이 먼저인가, 닭이 먼저인가 : 지금까지의 설명에서 「코스모스가 카오스로 붕괴한다」라고 하는 표현을 많이 썼지만, 이러한 표현을 한 것을 「코스모스보다도 카오스의 역사가 새롭다」라는 이유만에서이다. 결코, <최초에 카오스가 있었고, 카오스라는 것은 코스모스가 운나쁘게 붕괴해서 된 것이다>라는 의미는 아니다. 차라리 필자개인의 견해는 「처음에 카오스가 있기 때문에 코스모스가 생겼다」라고 생각하고 싶은 정도이다.

카오스 영역에서 떨어짐에 따라, 상태공간에 감춰진 복잡한 구조가 풀려서 코스모스 영역으로 천이해 간다. 그 풀리는 방법은 파라미터 공간안에서 시나리오에 고유의 프랙탈 구조로 나타난다. 유니버설 상수란 이 프랙탈 구조를 지배하는 법칙이다. 이것을 숙고하면, 아무래도 「풀어져 버린 카오스 발생 메카니즘이 그 연장선상에 코스모스의 구조를 만든다」라고 생각하고 싶어진다. 어쨌던

다이나미컬 시스템에 있어서 보편 상수의 존재 등, 카오스 이전의
코스모스가 지배하는 역학의 세계에서는, 누구 한사람도 생각하지 않았다.

라는 것은 사실이다. 「최초에 코스모스였는가, 카오스였는가?」,「계란이 먼저인가, 닭이 먼저인가」그 답은, 가까운 장래에 해명될지도 모른다.

5. 결 론 - 아날로그 신세대의 예감

이 수년간의 연구생활에서, 필자는 비선형 전자회로에 있어서의 카오스와 사귀어 왔다. 전자회로의 카오스는, 항상 "설계자의 인도"를 넘어서 분방하게 작동한다. 갇히는 것이 없는 운명의 궤적을 바라보고 있으면, 비선형 아날로그회로에 "인공"이라는 수식은 어울리지 않는 것 같은 기분이 든다. 그리고 「장래, 카오스가 새로운 기술로서 도입되어, 아날로그 신세대가 도래한다면, 그때야말로 처음으로 인간의 소산에 "초인공"이라는 수식이 주어질지도 모른다」라고 생각할 때도 있다. 마지막이 되었지만, 이것은 단순한 꿈이야기가 아니고, 카오스 응용에로의 태동은 이미 시작되어 있다는 것을 강조해 둔다. 와야 할 아날로그 신세대는 우리들의 예측을 아주 능가한 것일 것이다. 왜냐하면 카오스가 있는 한 아날로그 세계는 결말을 전혀 예측할 수 없는 큰 게임이기 때문에.