발견술 소사전 : George Polya

만일 미지수의 수보다 더 많은 일차방정식으로 표현된 조건이 있다면 그것은 과잉이거나 모순이다. 조건이 미지수의 수보다 더 적은 방정식으로 표현되어 있으면 그 조건은 미지수를 결정하기에는 불충분하다. 조건이 미지수의 수와 똑같은 수의 방정식으로 표현된 경우에는 보통 미지수를 결정하는 데 꼭 알맞지만, 예외적인 경우에는 모순이거나 불충분할 수도 있다.

52. 지혜로운 독자

지혜로운 독자는 수학책을 읽을 때 두 가지를 갈망한다.

첫째는, 논증의 현재 단계가 정확한지를 알고자 하며

둘째는, 현재 단계의 의도를 알고자 한다.

현명한 청중은 수학 강의를 들을 때 같은 소망을 갖는다. 그가 만일 논증의 현 단계가 정확한지를 알 수 없고, 심지어 아마도 부정확할 것이라고 의심까지 한다면 그는 항거하고 질문을 할 것이다. 만일 그가 현 단계의 의도를 전연 알 수 없고 그에 대한 어떠한 이유도 짐작할 수 없다면 그는 보통 분명한 이의를 공식화할 수 조차 없어 항의하지 않으며 다만 당황하고 싫증을 느끼며, 논증의 실마리를 잃어 버리게 된다.

현명한 교사와 현명한 교과서 저자는 이 점을 염두에 두어야 한다. 정확하게 쓰고 말하는 것은 확실히 필요한 것이지만 충분하지는 않다. 만일 잇달은 증명 단계의 의도가 이해되지 앟거나, 그러한 논증을 발견하는 것이 어떻게 인간적으로 가능한지를 독자나 청중이 이해할 수 없거나, 스스로 그러한 논증을 어떻게 발견할 수 있을 것인가에 대하여 설명에서 아무런 암시도 이끌어 낼 수가 없다면, 책이나 칠판에 정확하게 제시된 증명은 접근할 수 없으며 시사적인 것이 못될 것이다.

우리의 목록에 있는 발문과 권고는 저자나 교사가 논증의 목적과 동기를 강조하는 데 유용할 것이다. 이러한 점에서 특히 다음 발문은 유용하다. 『자료를 모두 사용하였는가?』저자나 교사는 이 발문을 통하여 지금까지 사용하지 않은 자료를 고려해야 할 합당한 이유를 제시해 줄 수 있다. 독자나 청중은 그러그러한 요소를 고려하고자 하는 저자나 교사의 의도를 이해하기 위해서 같은 발문을 사용할 수 있으며 이 발문을 통하여 논증의 그러한 단계를 스스로 발견할 수도 있었다고 느낄 수도 있을 것이다.

53. 지혜로운 문제 해결자

지혜로운 문제 해결자는 흔히 우리의 목록에 포함된 것과 유사한 발문을 스스로에게 하곤 한다. 아마도 그는 이러한 종류의 발문을 스스로 발견했을 것이다. 아니면 누군가에게서 그러한 발문을 들어 보고 스스로 적절한 사용법을 발견했을 것이다. 그는 아마도 자신이 같은 틀에 박힌 발문을 재삼재사 반복하고 있다는 것을 전혀 의식하지 못할 것이다. 혹은 그러한 발문은 그가 특별히 좋아하는 것일 수도 있다. 그는 그 발문이 연구의 그러그러한 국면에 적합한 그의 정신적 태도의 일부분이라는 것을 알고 있으며 바른 발문을 함으로써 바른 태도를 불러 일으키는 것이다.

지혜로운 문제 해결자는 우리의 목록에 있는 발문과 권고가 유용하다는 것을 알 것이다. 그는 발문에 대한 설명과 보기를 매우 잘 이해할 것이다. 그는 발문의 적절한 사용법을 짐작할 것이다. 그러나 그 발문이 자신의 연구 가운데에서 야기시키고자 하는 절차를 접해 보지 못하거나 그 유용성을 경험해 보고 스스로 그 발문의 적절한 사용법을 발견하지 못한다면 그는 진정한 이해를 할 수 없을 것이다.

지혜로운 문제 해결자는 목록에 있는 모든 발문을 해야할 준비가 되어 있어야 한다. 그러나, 당면한 문제의 주의깊은 고찰과 그 자신의 편견없는 판단을 통해서 그렇게 하도록 자극받지 않으면 어떤 발문도 할 필요가 없다. 실제로 그는 현재의 상황이 그가 그 발문을 성공적으로 적용했던 다른 어떤 상황과 충분히 유사한지 아닌지를 스스로 인식해야 하는 것이다.

현명한 문제 해결자는 무엇보다도 먼저 문제를 할 수 있는 한 충분히 그리고 명백하게 이해하도록 힘써야 한다. 그러나, 이해만으로는 충분하지가 않다. 문제에 주의를 집중해야 하며 해답을 얻고자 갈망하여야 한다. 만일 그가 문제를 해결하고자 하는 진정한 욕구를 불러 일으킬 수 없다면 문제를 그대로 놔 두는 것이 나올 것이다. 진정한 성공의 알려진 비결은 당신의 문제 속으로 당신의 전 인격을 던져 넣는 것이다.

54. 진단

이 말은 여기에서 "학생이 하는 공부에 대한 면밀한 기술"이라는 교육적 의미를 갖는 전문 용어로 사용된다. 점수는 학생의 공부를 다소 거칠 게 기술하는 것이다. 학생의 공부를 진전시키기를 원하는 교사는 환자의 건강을 증진시키기를 원하는 의사가 진단을 필요로 하듯이 장단점에 대한 면밀한 기술을 필요로 한다.

우리는 여기서 특히 학생의 문제 해결 능력에 관심이 있다. 어떻게 그것을 기술할 수 있을까? 우리는 문제 해결의 네 가지 단계를 구별함으로써 어느 정도 덕을 볼 수 있다. 실제로 각 단계에서의 학생의 행동은 매우 특징적이다.

집중력의 결여 때문에 『문제』를 완전하게 『이해』하지 못하는 것은 아마도 문제 해결에서 가장 많이 생기는 결함일 것이다. 『계획을 구상』하고 해결에 대한 일반적인 아이디어를 얻는 데에는 두 가지 반대되는 결함이 자주 일어난다. 어떤 학생은 계획이나 일반적인 아이디어 없이 계산과 작도에 달려든다. 그런가 하면 어떤 학생은 아이디어가 나타나기만을 마냥 기다리기만 하고 그것이 빨리 나타나도록 할 어떠한 조치도 취할 수 없다. 『계획을 수행』하는 단계에서 가장 잘 일어나는 잘못은 부주의, 즉, 각 단계를 점검하는 과정에서의 인내의 부족이다. 『결과』를 전혀 『점검』하지 않는 실수도 아주 흔하다. 학생은 해답을 얻은 것이 기뻐 연필을 집어 던진다. 그리고 전혀 있음직하지 않은 결과가 나와도 놀라지 않는다.

교사는 이런 종류의 잘못에 대해 조심스런 진단을 하고 나서 우리의 목록에 나오는 질문을 반복함으로써 학생들의 그러한 결함을 치료할 수 있는 것이다.

55. 진전과 성취

여러분은 진전을 이룩하였는가? 무엇이 본질적인 성과이었는가? 우리가 문제를 풀고 있을 때는 우리 자신에게 혹은 우리가 공부를 지도하는 학생에게 이런 종류의 질문을 할 수 있다. 우리는 구체적인 경우에 다소간 자신 있게 진전과 성취를 판단하곤 한다. 그러한 구체적인 경우로부터 일반적인 설명을 하기는 결코 쉽지 않다.

그러나, 발견술에 대한 우리의 연구를 어느 정도 완전하게 하고자 한다면 그러면 그것을 기도해야 하며 일반적으로 문제 해결에 있어서 진전과 성취를 구성하는 것을 분명히 하려고 해야 한다.

1) 문제를 해결하기 위해서는 그 주제에 대한 어느 정도의 지식을 갖고 있어야 하고, 우리가 이미 갖고 있지만 처음에는 동면 상태에 있는 지식 가운데 적절한 것을 선택하여 모아야 한다. 처음보다는 나중에 문제 파악이 훨씬 더 충실해진다.

무엇이 첨가되었는가? 기억으로부터 무엇을 끌어내었는가? 해답을 얻기 위해서 여러 가지 본질적인 사실을 회상해 내야 한다. 문제가 수학적인 것이라면 전에 풀었던 문제, 알고 있는 정리, 정의를 생각해 내야 한다. 우리의 기억으로부터 그와 같은 관련된 요소들을 뽑아내는 것을 『동원』이라고 부를 수도 있을 것이다.

2) 그러나 문제를 풀기 위해서 고립되어 있는 사실을 회상하는 것으로는 충분하지 않으며 이러한 사실을 결합시키지 않으면 안 되고 그들의 조합은 당면한 문제에 잘 들어 맞아야 한다. 수학 문제를 해결할 때는 잘 조절된 전체에 회상된 재료를 관련 지우는 논증을 구성해야 한다. 이와 같이, 조절하고 결합하는 활동을 『조직화』라고 부를 수도 있을 것이다.

3) 실제로 동원과 조직화는 결코 분리될 수 없는 것이다. 집중력서 문제를 연구할 때 우리는 다소 우리의 목적과 관련이 있는 사실만을 회상하며, 우리가 회상하여 동원한 자료외에는 관련짓고 조직화할 것은 아무것도 없는 것이다.

동원과 조직화는 훨씬 많은 다른 측면을 갖고 있는 같은 복합 과정의 두 가지 『측면』일 뿐이다.

4) 연구의 진전에 대한 또 다른 측면은 『문제 이해의 양식이 변하는 것』이다. 우리가 회상하여 문제에 적합하게 번안하여 작용하도록 한 모든 자료에 의해 보강됨으로써, 문제 파악은 처음보다 나중에 훨씬 충실하게 된다. 문제에 대한 초기의 파악 정도로부터 진전하여 보다 더 적절하고 적합한 파악을 할 수 있기를 바란다면 우리는 여러 가지 입장에서 보고 여러 가지 측면으로부터 그 문제를 살펴보아야 한다. 『문제의 변형』없이는 거의 어떤 진전도 이룩할 수 없을 것이다.

5) 마지막 목표를 향해 진전함에 따라 그것을 더욱 더 명확히 알게 되며, 그것을 보다 더 잘 알게 될 때 그것에 더 접근해 있다는 판단을 하게 된다. 문제에 대한 검토가 진척됨에 따라 문제를 해결하기 위해서 무엇을 해야 하며 어떻게 해야 하는가를 더욱 더 분명히 『예견할』수 있게 된다. 수학 문제를 해결할 때 운이 좋으면, 어떤 알고 있는 정리가 사용될 수 있을까 하는 것, 전에 풀었던 어떤 문제를 고려하는 것이 도움이 될 수 있을까 하는 것, 전문 용어의 의미로 되돌아가는 것이 필요할 것인가 하는 것을 예견할 수 있게 된다. 그런 것들은 확실히 예견될 수는 없고 어느 정도의 가능성을 가지고 예견될 뿐이다. 완전한 풀이를 얻었을 때 완전한 확실성을 얻게 될 것이지만 확실성을 얻기 전에는 다소간 불확실한 추측으로 만족하지 않으면 안 된다. 단지 개연적이고 잠정적일 뿐인 사고이지만, 이것 없이는 확실한 최종적인 해를 결코 발견할 수는 없을 것이다. 우리는 『발견적 추론』을 필요로 하는 것이다.

6) 풀이를 향해 진전한다는 것은 어떠한 것인가? 우리가 가지고 있는 지식의 동원과 조직화가 진척되는 것, 문제 파악의 진전, 최종적인 논증을 구성할 각 단계에 대한 예견이 증대되는 것 등이다. 우리는 감지할 수 없을 정도로 작은 단계를 밟아 착실하게 진전할 수도 있지만 종종 껑충껑충 뛰어서 돌연하게 진전할 수도 있다. 풀이를 향한 갑작스런 진전은 『번쩍하는 아이디어』, 훌륭한 생각, 멋진 사고, 영감 (독일어에서는 전문 용어로 Einfall) 이라고 불리운다. 번쩍이는 아이디어란 무엇인가? 갑작스럽고 순간적인 예측의 변화, 문제의 인식 양식의 갑작스런 재조직, 풀이를 얻기 위해서 거쳐야 할 단계에 대한 방금 출현한 자신 있는 예견이라고 볼 수 있을 것이다.

7) 위의 고찰은 우리 목록에 나오는 발문과 권고에 올바른 배경을 제공해 주는 것이다.

이러한 발문과 권고 가운데에도 다음과 같이 전에 획득한 지식의 『동원』을 목표로 하는 것이 많다. 『전에 그 문제를 본 일이 있는가? 그렇지 않으면 약간 다른 형태로 된 같은 문제를 본 일이 있는가? 관련된 문제를 알고 있는가? 유용하게 쓰일 수 있을 듯한 정리를 알고 있는가? 미지인 것을 살펴보아라. 친숙한 문제 중 미지인 것이 같거나 유사한 문제를 생각해 보아라.』

그리고 다음과 같이, 우리가 적당한 재료를 모았다고 생각하고 동원한 지식을 보다 잘 『조직』하는 일을 하는 전형적인 상황이 포함되어 있다. 『관련된 문제로 전에 풀어 본 일이 있는 문제가 있구나. 그것을 활용할 수 있을까? 그 결과를 활용할 수 있을까? 그 방법을 활용할 수 있을까? 어떤 보조 요소를 도입하면 그것을 활용할 수 있을까?』

아직 충분한 재료를 모으지 못했다고 생각하는 다음과 같은 또 다른 전형적인 상황이 있다. 『자료는 모두 사용했는가? 조건을 모두 사용했는가? 문제에 포함된 핵심적인 개념은 모두 고려했는가?』

어떤 발문은 바로 문제의 『변형』을 목표로 하고 잇다. 『문제를 달리 진술할 수 있을까? 좀 더 다르게 진술할 수 있을까?』많은 발문은, 「정의」로 되돌아가고, 「유추」의 사용이나 「일반화」, 「특수화」, 「분해와 재결합」과 같은 상술된 수단에 의한 문제의 변형을 목적으로 한다.

다음과 같은 드문 또 다른 발문은 풀이의 특성을 『예견』하려는 시도를 암시해 준다. 『조건은 만족할 수 있는가? 조건은 미지인 것을 결정하기에 충분한가, 또는 불충분한가, 또는 과다한가, 또는 모순 되는가?』

우리의 목록에 포함된 발문과 권고는 직접적으로 『번쩍하는 아이디어』에 언급하지는 않고 있다. 그러나, 실제로 모든 것들이 그것과 관련되어 있다. 문제를 이해하면서 그것을 준비하며, 계획을 세워 그것을 일으키려고 하고, 그것을 일으킨 다음 실행하며, 풀이 과정과 결과를 되돌아 보면서 그것을 보다 잘 이용하려고 하는 것이다.

56. 진전의 징후

콜룸부스와 그의 동료가 미지의 대양을 건너 서쪽으로 항해할 때, 새를 볼 때마다 기운이 났다. 그들은 새를 육지 가까이에 왔다는 것을 알려 주는 좋은 전조라고 생각하였다. 그러나 이에 대해 글들은 계속 실망하였다. 그들은 또 다른 전조에 주목하였다. 떠다니는 해초나 낮은 구름층은 육지가 가까워 왔음을 가리켜 주는 것으로 생각하였으나 또 다시 실망하였다. 그러나, 어는 날 전조가 늘어났다. 1492년 10월 11일 목요일에 "그들은 배 근처에서 깜짝도 요새와 푸른 갈대를 보았다. 범선 핀타호의 일행은 나무줄기와 막대를 보았고 그들은 쇠로 다듬은 듯한 작은 막대를 건졌다. 또한 다른 나무줄기 토막과 육지식물 그리고 작은 판대기를 주웠다. 범선 니나 호의 일행도 육지의 전조를 보았고 열매로 덮인 작은 나뭇가지를 보았다. 이 전조를 보고 모든 사람은 생기를 찾았고 즐거워하였다." 실제로 그 다음날 그들은 신세계의 첫 번째 섬을 발견하였다.

우리가 하려고 하는 것이 중요하든 그렇지 않든 그것이 어떤 종류의 것이든 우리의 문제에 몰두하여 연구하게 되면 콜룸부스와 그 일행이 육지가 가깝다는 전조에 주목하였듯이 우리는 진전의 징조를 열심히 지켜보게 된다. 무엇을 해답에 접근하고 있다는 전조롤 볼 수 있는지를 알아보기 위해 몇 가지 보기를 들어 논의하기로 한다.

1) 보기

서양장기 문제를 한 가지 생각해 보자. 나는 두 수로 블랙 킹을 외통수가 되게 해야 한다. 장기판 위에는 두 수 자리에 화이트 킹이 하나 있다. 장기판 위에는 블랙 킹으로부터 상당히 떨어진 곳에 화이트 킹이 하나 있는데 이것은 언뜻 보기에 불필요한 것이다. 어떻게 하면 좋을까? 이런 질문에 처음에는 어떤 대답도 못할 수 박에 없다. 그러나, 여러 번 시도해 본 후에 새로운 수를 생각하게 되고, 언뜻 보기에 여분의 것으로 여겨졌던 화이트 킹을 움직이게 하는 것이 좋다고 생각하게 된다. 이런 생각은 내게 새로운 희망을 준다. 나는 그것을 그 새로운 수가 옳은 것일 듯하다는 좋은 전조로 생각하게 된다. 왜 그렇게 생각되는가?

잘 구성된 장기 문제에는 쓸데없는 말이란 없다. 그러므로, 장기판 위의 모든 말을 고려해야만 한다. 『모든 자료를 사용』하지 않으면 안 된다. 옳은 해답은 확실히 모든 말을 이용하여 언뜻 보기에 쓸데 없는 것으로 여겨진 화이트 킹조차 사용하고 있는 것이다. 이 마지막 관점에서 내가 생각해 낸 새로운 수는 내가 찾으려고 했던 옳은 수와 일치한다. 새로운 수는 옳은 수 같아 보인다. 아마도 그것은 옳은 수일 것이다.

수학 문제에서도 이와 비슷한 상황을 생각해 보면 흥미로울 것이다. 내게 주어진 과제는 세 변의 길이 a, b, c 로 삼각형의 넓이를 나타내는 것이다. 나는 이미 어떤 계획을 세웠다. 나는 어떤 기하학적 관계를 고려해야 할 것인지 다소 분명히 알고 있다. 그러나, 내 계획이 성공할지 어떨지는 전연 확신할 수 없다. 이제 내 계획에 의해 규정된 방향으로 나아가

라는 양이 구하고자 하는 넓이의 표현 속에 들어간다는 생각을 하게 되면 고무될 만한 상당한 이유가 있다. 왜 그러한가?

사실, 삼각형의 두 변의 합이 나머지 변의 길이보다 크다는 것을 고려해야 한다. 이것은 어느 정도의 제한이 된다. 주어진 길이 a, b, c는 아주 임의적일 수는 없다. 예를 들면 b + c는 a 보다 커야 한다. 이것은 조건의 본질적인 부분이며 우리는 『조건 전체를 사용』해야 한다. 만일 b + c 가 a 보다 크지 않으면 내가 찾은 식은 틀림없이 잘못된 것이다. 그런데 만일 b + c -a 가 음수이면, 즉 b + c 가 a 보다 작으면 위의 제곱근은 허수가 되며, 따라서 그런 상황하에서는 실제의 양을 표현하는데 적합지 않게 되고 기대했던 식은 틀림없이 잘못된 것이다. 위의 제곱근이 들어간, 내가 생각한 공식은 넓이를 나타내는 바른 공식이 갖고 있는 중요한 성질을 가지고 있다. 이 식은 바른 공식처럼 보인다. 그것은 바른 공식일 것이다.

또 다른 예를 살펴보자. 얼마 전 나는 입체기하의 한 정리를 증명하려고 하였다. 큰 어려움이 없이 적절한 것으로 보이는 첫 번째 생각을 가지게 되었다. 그러나 막히고 말았다. 증명을 완성하는 데 무언가 부족한 것이 있었다. 내가 증명을 포기한 그 날, 증명은 어떠해야 하는지 그 틈을 어떻게 채울 것인지 처음보다 훨씬 더 분명한 생각을 하였다. 그러나 증명의 부족한 부분을 채울 수가 없었다. 다음날, 하룻밤 푹 쉰 후에 다시 문제를 연구하였는데 이내 평면기하에서의 유사한 문제를 생각해 냈다. 순간적으로 이제 해답을 얻었다는 것을 확신했고, 내가 생각하기에는 확신할 만한 충분한 이유가 또한 있어다. 왜 그랬을까?

사실 『유추』는 위대한 안내자이다. 입체기하에서의 문제의 해답은 보통 평면기하에서의 유사 문제에 의존한다. (「유추」3~7 을 참조하여라.)

나의 경우에는 바라던 증명을 하는 데 실제로 내 마음에 떠오른 평면기하의 정리를 보조 정리로 사용할 기회가 처음부터 있었다. "이 정리는 내가 필요로 한 보조 정리 같아 보인다. 그것은 내가 필요한 보조 정리일 것이다." 내 추리는 그러하였다.

만일 콜롬부스와 그의 일행이 명백하게 추리를 하려고 애를 썻다면 그들은 비슷하게 추리했을 것이다. 그들은 해변에 가까운 바다가 어떻게 보이는지를 알고 있었다. 또한 그들은 망망대해에서 보다 더욱 자주 육지에서 날아오는 새들이 있으며 해변으로부터 떨어져 나온, 물 위에 떠다니는 물체들이 있다는 것을 알았다. 그들 중 많은 사람들이 전에 항해를 마치고 그들의고향 항구로 돌아올 때에 그러한 것을 목격했음이 틀림없다. 그들이 산살바도르 섬을 본, 기념할 만한 날 전날에 물 위에 떠다니는 물체들이 많아지면서 그들은 "우리는 마치 육지에 접근하고 있는 것 같다."고 생각했으며 "모든 사람이 생기를 찾았고 이러한 전조를 보고 즐거워하였다."

2) 진전의 징조의 발견적인 성격

아마도 이미 모든 사람에게 분명하리라고 생각되는 점 한 가지를 강조해 두자. 그러나 그것은 아주 중요하며 따라서 아주 분명히 해두어야 한다. 앞의 보기에 의해 예시된 추론 형태는 비록 그것이 단지 그럴 듯한 것이라는 것을 지적하고 있을 뿐 절대적인 확실성을 갖는 것은 아니지만 주목할 만한 것이며 진지하게 고려될 가치가 있는 것이다. 이제 이와 같은 추론 중의 하나를 아주 길고 부자연스럽도록 세밀하게 재서술해 보자.

만일 우리가 육지에 접근하고 있다면 우리는 새를 자주 보게 된다.

지금 우리는 새를 보고 있다.

그러므로, 아마도 우리는 육지에 접근하고 있을 것이다.

"아마"라는 단어가 없다면 결론은 명백한 오류일 것이다. 사실, 콜룸부스와 그 일행은 여러 번 새를 보았지만 그 후에 실망하였다. 도요새를 본 날이 단 한 번 있었고 그 다음 날 육지를 발견하였다.

"아마"라는 단어를 써야 결론은 합리적이며 자연스럽지만, 그런 것은 결코 증명이나 논증적인 결론은 아니다. 그것은 단지 징조나 발견적인 암시일 뿐이다. 그러한 결론은 단지 그럴 듯한 것일 뿐이라는 것을 잊고 그것을 확실한 것으로 간주하는 것은 큰 잘못일 것이다. 그러나, 그러한 결론을 완전히 무시하는 것은 훨씬 더 큰 잘못일 것이다. 만일 발견적이 결론을 확실한 것으로 취급한다면 여러분은 우롱당하고 실망할 것이다. 그러나 이런 발견적인 결론을 완전히 등한시 한다면 여러분은 전혀 진전하지 못할 것이다. 진전의 가장 중요한 징조는 발견 징조이다. 우리는 그것을 신용해야 할 것인가? 그것을 따라야 할 것인가? 따르라. 그러나 계속 주의를 하라. 믿어라. 그러나 살펴보아라. 그리고 결코 여러분 자신의 판단을 단념하지 말아라.

3) 분명하게 표현할 수 있는 징조

다른 관점에서 앞의 보기를 살펴보자.

앞의 보기 가운데 전에 사용하지 않았던 자료 (화이트킹) 를 사용하게 된 것을 좋은 징조로 간주한 예가 있었다. 그것을 그렇게 간주한 것은 아주 옳았다. 사실, 문제를 푸는 것은 본질적으로 『자료와 미지인 것 사이의 관계를 찾는 것』이다. 더구나 적어도 잘 진술된 문제에서는 『모든 자료를 사용』해야 하며, 각 자료를 미지인 것과 연결시켜야 한다. 자료를 하나 더 사용하는 것을 진전으로, 한 단계 진전한 것으로 보는 것은 아주 적절한 것이다.

다른 보기에서 우리는 조건의 본질적인 구절이 공식에서 적절하게 고려된 것을 좋은 징조로 간주하였다. 그것을 그렇게 간주하는 것은 아주 옳은 것이었다. 사실 우리는 『조건 전체를 사용』해야만 한다. 조건에서 구절 하나를 더 고려하는 것을 진전으로, 올바른 방향으로의 진전으로 생각하는 것은 합당하다.

또 다른 보기에서, 좀 더 단순한 유사 문제의 출현을 좋은 징조로 간주하였다. 이것 역시 정당화될 수 있다. 사실 유추는 발견의 주요한 원천의 하나이다. 만일 다른 수단이 실패로 돌아간다면, 『유사한 문제를 상상』해 보아야 한다. 따라서, 그런 문제가 자발적으로, 저절로 나타난다면 우리는 자연히 의기양양하게 되고 해답에 접근하고 있다고 느끼게 된다.

이들 보기에 의해 우리는 이제 일반적인 아이디어를 쉽게 파악할 수 있을 것이다. 문제를 해결하는 데 전형적으로 유용한 어떤 정신적 조작이 존재한다. (가장 흔한 이런 종류의 조작이 이 책에 열거되어 있다.) 그런 전형적인 조작이 성공한다면 (또 하나의 자료가 미지인 것과 연결되고, 조건의 또 하나의 구절이 고려되고, 보다 단순한 유사 문제가 도입된다면) 그러한 성공은 진전의 징조라고 느껴지게 된다. 이러한 본질적인 점을 이해하고 나면 진전의 또 다른 징조의 본질을 어느 정도 명백하게 표현할 수 있을 것이다. 우리가 해야 할 것은 우리의 목록을 철저히 읽고 여기서 언급한 바와 같은 새로운 관점에서 여러 가지 발문과 권고를 살펴보는 것이다.

따라서, 미지인 것의 본질을 명백하게 이해하는 것은 진전을 뜻한다. 어떤 것을 쉽게 생각해 낼 수 있도록 여러 가지 자료를 명백하게 배열하는 것 역시 진전을 의미한다. 조건을 전체적으로 생생하게 시각하는 것은 본질적인 진전을 뜻할 것이다. 그리고 조건을 적당한 부분으로 나누는 것 역시 중요한 한 단계 진전이다. 우리가 쉽게 상상할 수 있는 모양이나 우리가 쉽게 기억할 수 있는 기호를 발견했을 때, 우리는 어느 정도 진전을 했다고 믿는 것은 합리적이다. 『우리의 문제와 관련된 문제로 전에 풀어 본 일이 있는 문제』를 생각해 내는 것은 옳은 방향으로의 결정적인 움직임이 될 것이다.

이와 같이 하여 전진하게 된다. 분명하게 인식된 각 정신 조작에는 분명하게 표현될 수 있는 어떤 징후가 대응된다. 우리의 목록은 잘 읽어 보면 진전의 징조도 열거하고 있음을 알게 될 것이다.

우리의 목록에 나오는 발문과 권고는 단순하고 명백하며 단지 평범한 상식일 뿐이다. 이것은 거듭 언급되어 왔으며, 우리가 여기에서 논의한, 그와 관련된 진전의 징조에 대해서도 똑같은 얘기를 할 수 있을 것이다. 그러한 징조를 알아보려면 어떤 신비로운 과학이 필요한 것은 아니며 단지 약간의 상식과 경험만이 필요할 뿐이다.

4) 명확하게 표현하기 힘든 징조

집중적인 연구를 할 때 전전의 진도를 민감학 느끼게 된다. 진전이 빠르면, 의기양양해지고, 느리면 의기 소침하게 된다. 우리는 어떤 명확한 징조를 지적할 수 없어도 그러한 차이를 아주 명확하게 느끼게 된다. 분위기, 느낌 그리고 상황의 일반적인 양상은 진전 정도를 나타내 준다. 그러나 그것을 표현하기는 쉽지 않다. "내게는 좋아 보여", 혹은 "그리 좋지 않아"라고 단순한 사람들은 말한다. 좀 더 세련된 사람들은 다음과 같이 뉘앙스를 풍기는 표현을 한다. "이것은 균형이 잘 잡힌 계획이야.", "아니야, 아직도 모자란 것이 있고 그것이 조화를 깨뜨리고 있어." 그러나 소박하고 모호한 표현 이면에 우리가 확신을 가지고 따르며, 자주 우리를 올바른 방향으로 인도하는 틀림없는 느낌이란 것이 존재한다. 그러한 느낌이 아주 강하고 갑자기 출현할 때, 우리는 그것을 영감이라고 부른다. 사람들은 보통 그들의 영감을 의심하지 못하며 따로는 그에 우롱당하기도 한다. 사실 우리는 앞에서 생각했던 진전에 대한 보다 분명하게 표현할 수 있는 징조를 다루었던 것처럼 우리를 인도하는 느낌이나 영감을 다루어야 한다. 믿어라. 그러나 계속 주의를 하라.

항상 너의 영감을 따르되 의심의 여지를 갖도록 하라.

[그러한 우리를 인도하는 느낌의 본질은 무엇인가? "균형이 잘 잡힌" 이라든가 "조화로운"과 같은 심미적인 뉘앙스를 갖는 어휘 이면에는 좀 덜 모호한 의미가 존재하는가? 이러한 질문은 실제적이라기 보다는 보다 사색적인 질문일 것이다. 그러나 이러한 서술은 아마도 언급될 만한 가치가 있는 대답을 제시해 줄 것이다. 좀 더 명백하게 표현될 수 있는 진전의 징조는 비교적 명확한 정신적 조작의 성패와 관련되어 있기 때문에, 보다 명확하게 표현할 수 없는, 우리를 인도하는 느낌이 마찬가지로 다른 보다 모호한 정시 활동과, 아마도 그 본질이 "논리적"이라기 보다 "심리적'인 활동과, 관련되어 있다고 생각할 수도 있다.]

5) 징조는 어떤 도움을 주는가?

나는 계획을 갖고 있으며, 어디서 시작해야 하면, 맨 처음 어떤 관계를 밟아야 할지 꽤 명확하게 알고 있다. 그러나 나는 가야 할 보다 먼 길에 대한 계획을 전연 알지 못한다. 내 계획이 성공되리라는 확신은 전연 없으며 어떻든 나는 아직 먼 길을 가야 한다. 그래서 나는 내 계획이 지시하는 방향으로 신중하게 출발하여 진전의 징조를 계속 주지하고 있다. 징조가 희박하거나 불분명하면 나는 더욱 주의하게 된다. 그리고 만일 오랫동안 징조가 전혀 나타나지 않으면 나는 용기를 잃고 뒤돌아가서 다른 길을 모색하게 된다. 다른 한편, 진행함에 따라 징조가 더 자주 보이기 시작하고, 징조가 배가 된다면 망설임은 사라지고 생기가 살아나며 나는 콜롬부스와 그의 동료들이 산살바도르 섬을 목격하기 전에 그랬던 것처럼 점차 확신을 더해 가며 전진하게 된다.

징조는 우리의 행동을 인도해 줄 수 있다. 징조가 나타나지 않으면 우리에게 막다른 골목에 대한 경고를 주고 시간과 쓸데없는 노력을 절약해 줄 수 있다. 징조가 나타나면 우리에게 올바른 지점에 노력을 집중하도록 해 준다.

그러나, 징조는 우리를 현혹시킬 수도 있다. 나는 한 때 징조가 나타나지 않아 어떤 길을 포기하였다. 그런데, 내 뒤에서 그 길을 좀 더 멀리 따라간 어떤 사람이 중요한 발견을 하였는 바 나는 매우 괴로워했으며 오랫동안 후회하였다. 그는 나보다 훨씬 참을성이 있을 뿐 아니라, 내가 알아채지 못한 징조를 바로 읽었던 것이다. 그러나 우리는 유명한 징조로 말미암아 격려되어 기운차게 한 길을 쫓다가도 예기치 않았던 난공불락의 장애물에 부딪칠지도 모른다.

그렇다. 징조란 어떤 한 경우에 우리를 오도할지 모르나 대다수의 경우에 우리를 올바르게 인도할 것이다. 사냥군은 때때로 사냥감의 발자국을 잘못 해석할지 모르나 평균적으로 올바르지 않으면 안 된다. 그렇지 않으면 그는 사냥으로 생계를 유지할 수 없을 것이다.

징조를 바르게 해석하는 데는 경험이 필요하다. 콜롬부스의 일행들 중 어떤 이들은 확실히 경험에 의해 해안에 가까운 바다가 어떻게 보이는가를 알고 있었으며, 그래서 그들이 육지에 접근하고 있다는 것을 암시해 주는 징조를 알아챌 수 있었던 것이다. 노련한 사람은 경험으로, 해결이 가까웠을 때 상황이 어떻게 보이고 느껴지는가를 알게 되며, 따라서 그가 해답에 접근하고 있다는 것을 지적해 주는 징조를 읽을 수 있는 것이다. 전문가는 경험이 없는 사람보다 더 많은 징조를 알고 있으며 그것을 보다 잘 알고 있다. 전문가가 유리한 점은 주로 그러한 지식을 가지고 있다는 점일 것이다. 전문 사냥꾼은 경험이 없는 사람들이 아무것도 볼 수 없는 곳에서 사냥감의 자취를 알아채며 그것들이 새로운 것인지 오래된 것인지도 감정할 수 있다.

예외적으로 재능이 있는 사람이 유리한 점은 주로 일종의 비상한 정신적 감수성이 있다는 점인 것이다. 그러한 사람은 섬세한 감수성이 있다는 점인 것이다. 그러한 사람은 섬세한 감수성으로 재능이 적은 사람들이 차이를 지각할 수 없는 곳에서 진전의 미묘한 징조를 느끼거나 그런 것이 없다는 것을 알아채는 것이다.

6) 발견적인 삼단논법

2절에서 우리는 좀 더 고려할 가치가 있는 발견적인 추리의 양식과 전문 용어 한 가지를 접하였다. 우선 그러한 추리를 다음과 같은 형식으로 재진술해 보자.

만약 우리가 육지에 접근하고 있다면 우리는 자주 새들을 볼 것이다.

『지금 우리는 새를 보고 있다』

따라서, 우리가 육지에 접근하고 있다는 것이 보다 확실해진다.

가로선 위의 두 문장은 『전제』라고 부른다. 그리고 추리의 전체 패턴은 『발견적인 삼단논법』이라고 부를 수 있을 것이다.

전제는 여기서 절에서와 같은 형식으로 진술되지만 결론은 보다 신중히 표현되어 있다. 본질적인 상황이 보다 잘 강조되어 잇다. 콜룸부스와 그 일행은, 서쪽으로 항해하면 결국 육지를 발견할 것이라고 처음부터 가정하고 있었다. 그리고 그들은 이러한 가정을 어느 정도 믿었음에 틀림없다. 그렇지 않았다면 그들은 아예출발하지도 않았을 것이다. 그들은 앞으로 나아가면서 크든 작든 모든 사건을 "우리는 육지에 접근하고 있는가?" 라는 주된 질문과 관련시켰다. "그들의 확신은 사건이 일어나거나 일어나지 않거나 함에 따라서 올라갔다 떨어졌다 하였고 개개인의 신념은 그들의 배경과 성격에 따라 다소 다르게 동요하였다. 항해의 극적인 긴장은 전체적으로 그러한 확신의 동요에 기인하였다.

위에 인용된 발견적인 삼단논법은 확신 정도의 변화에 대한 합리적인 근거를 보여 주는 것이다. 그러한 변화를 야기시키는 것이 이런 유의 추리의 본질적인 역할이며, 이 점은 2 절에서보다 여기에서의 서술에 의해 보다 다르게 표현되어 있다.

위의 보기에 의해 암시되어 있는 일반적인 패턴은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

만약 A 가 참이면 우리가 아는 바와 같이 B 역시 참이다.

지금 B 가 참임이 드러났다

그러므로 A는 보다 신뢰할 만하게 되었다.

더욱 간단히 나타내면 다음과 같다.

A 이면 B 이다.

B 는 참이다.

A 는 보다 신뢰할 만하다.

이 도식적인 문장에서 가로선은 "그러므로"란 말을 나타내며 함의, 곧 전제와 결론 사이의 본질적인 관계를 나타내고 있다.

7) 개인적 추리의 본질

이 작은 책에서 우리는 하나의 철학적인 문제를 논의하고 있다. 우리는 그 문제를 실제적으로 비형식적으로, 그리고 가능한 한 학자티가 나는 표현 양식을 피해서 논의하고 있다. 그러나 그럼에도 불구하고 우리의 주제는 철학적인 것이다. 그것은 발견적인 추리의 본성과 관계되며, 더 나아가 중요하지만 논증적인 것이 못되는 일종의 추론과 관련되며, 더 좋은 용어가 없으므로 우리는 그것을 『개연적』추리라고 부를 것이다.

발명가에게 그의 생각이 좋다는 것을 확신시켜 주는 징조, 일상적인 일에서 우리를 인도해 주는 징조, 변호사의 상황적인 증거, 과학자의 귀납적인 증거, 많은 다양한 실험 재료 가운데에서 얻어낸 통계적 증거 ― 이러한 모든 종류의 증거는 두 가지 본질적인 점에서 일치한다. 첫째, 그것들은 엄밀한 논증이 갖고 있는 확실성이 결여 되어 있다. 둘째, 그것들은 본질적으로 새로운 지식을 획득하는 데 유용하며 순수 수학적인 것, 논리적인 것이 아닌 모든 지식과 물리적인 세계와 관련된 어떠한 지식에도 필수적인 것이다. 우리는 이런 종류의 증거를 뒷받침하는 추리를 "발견적인 추리" 혹은 "귀납적인 추리" 혹은 (현존하는 용어의 의미 확장을 피하고자 한다면) "개연적 추리"라고 부를 수 있을 것이다. 여기서 우리는 마지막 용어를 채택하기로 한다.

앞에서 도입한 발견적인 삼단논법은 가장 단순하고 가장 광범한 개연적 추리 패턴인 것으로 생각된다. 그것은 고전적인 논증의 패턴인 소위 "가설적인 삼단논법의 modus tollens"를 상기시켜 준다. 다음에 그 두 가지 패턴을 나란히 써 보자.

논증 발견적인 추리

A 이면 B 이다. A 이면 B 이다.

B 는 거짓이다. B 는 참이다.

A 는 거짓이다. A 는 보다 신뢰할 만하다.

이러한 두 패턴에 대한 비교는 시사적이다. 그거은 그 밖에 다른 곳에서 쉽게 얻을 수 없는 개연적 (발견적인, 귀납적인) 추리의 본질에 대한 통찰을 가능하게 해 준다.

이들 두 패턴은 A이면 B이다.

라는 같은 첫 번째 전제를 가지고 있다. 두 번째 전제는 다르다.

B 는 거짓이다. B 는 참이다.

라는 명제는 서로 정반대이지만 "유사한 논리적 성질"을 가지며, 같은 "논리적 수준"에 있다. 커다란 차이는 전제 이후에 일어난다.

A 는 거짓이다. A 는 보다 신뢰할 만하다.

라는 결론은 논리적인 수준이 다르며 그들의 관련 전제에 대한 관계도 논리적 성질이 다르다.

논증적 삼단 논법의결론은 완전히 표현되며 전체에 의하여 완전히 뒷받침된다. 내 이웃과 내가 그 전제를 받아들이는데 동의하면 우리의 취미나 신념이 아무리 다르다 해도, 우리는 그 결론을 받아들이는 데 합리적으로 불찬성할 수는 없는 것이다.

발견적 삼단논법의 결론은, 전제와는 그 논리적인 본질이 다르다. 그것은 보다 더 막연하고 그렇게 엄밀하지 않으며 완전히 표현되지 않는다. 이러한 결론은 크기와 방향을 가진 힘과 비교할 수 있다. 그것은 우리를 A 는 『보다』신뢰할 만하게 된다라는 방향으로 나아가게 한다. 이러한 결론은 또한, A 는 『훨씬 더』신뢰할 만하게 된다든가 혹은 단지 『약간 더』신뢰할 만하게 된다는 등의 어떤 강도를 가지고 있다. 이러한 결론은 완전하게 표현되지 않으며 전제에 의하여 충분히 뒷받침되지 않는다. 『방향은 전제에 의하여 표현되고 함의되는지만 크기는 그렇지 못하다.』 A 가 보다 신뢰할 만하게 된다 (확실히 신뢰성이 줄지 않는다.) 는 것을 포함하는 것이다. 그러나 내 이웃과 나는 A 가 『얼마나 더』신뢰할 만해질 것인지에 대해 진정으로 의견이 다를 수 있다. 그 이유는 우리의 기질, 배경, 말로 표현할 수 없는 이성이 다르기 때문이다.

논증적 삼단논법에서, 전제는 결론이 바탕을 두는 『완전하 기초』를 이루는 것이다. 만약, 두 전제가 옳다면 결론도 역시 옳다. 만약 우리가 전제에 대한 믿음을 변화시키지 않는 어떤 새로운 정보를 받아들인다면 결론에 대한 믿음도 변할 수 없는 것이다.

발견적 삼단논법에서는 전제는, 결론이 바탕을 두는 『기초의 일부분』, 완전하게 표현된 것으로, 기초의 "가시적인" 부분만을 구성하고 있다. 그 밖의 어떤 것에 의해, 아마도 모호한 감정에 의해, 혹은 말로 표현할 수 없는 이성에 의해 형성된, 표현할 수 없는 보이지 않는 부분이 존재한다. 사실 두 전제에 대한 믿음을 완전히 그대로 두면서, 그러나 결론에서 표현된 것과는 정반대로 A 에 대한 믿음에 영향을 주는 어떤 새로운 정보를 받아들일 수도 있다. 발견적인 삼단논법의 전제를 바탕으로 A 가 보다 더 신뢰할 만하다는 것을 발견하는 것은 합리적인 것이다. 그러나 내일 이들 전제와 전혀 대립되지 않으면서 A를 신뢰성이 덜하게 만들거나 그것을 명확하게 부정하기까지 하는 근거를 발견하게 될지도 모른다. 비록 전제, 곧 가시적인 부분이 꽤 견고하게 성립한다 하더라도 그것의 기초가 되는 보이지 않는 부분의 동요에 의해서 흔들리거나 완전히 뒤지어질 수 조차 있는 것이다.

이러한 논평은 발견적, 귀납적 그리고 다른 종류의 비논증적인 개연적 추리의 본질을 어느 정도보다 잘 이해할 수 있게 할 것으로 생각한다. 그런데 그러한 추리는 순수하게 논증적인 논리의 관점에서 접근할 때에는 매우 낭패스럽고 파악하기 어려운 것으로 생각된다. 이 이상의 많은 구체적인 보기, 다른 종류의 발견적 삼단논법에 대한 논의 및 확률개념이나 다른 관련된 개념에 대한 연구가 여기서 행한 논의를 완성시키기 위해서 필요한 것으로 생각된다. 저자의 Mathematics and Plausible Reasoning (수학과 개연적 추론) 과 비교하여라.

발견적인 추리는 비록 아무것도 증명하지 않을지라도 중요한 것이다. 우리의 발견적 추리를 명백히 하는 것은, 모호하지만 아마도 더욱 더 중요할지도 모르는 많은 다른 것들이, 밝혀진 추리의 배후에 남아 있을지라도 역시 중요한 것이다.

57. 특수화

특수화란 주어진 대상의 지합에 대한 고찰로부터 그 지합에 포함되는 더 작은 집합 또는 단 하나의 대상에 대한 고찰로 옮아가는 것이다. 특수화는 종종 문제풀이에 도움이 된다.

1) 보기

어떤 삼각형에서 내접원의 반지름을 r, 외접원의 반지름을 R, 가장 긴 높이를 H 라고 할 때, 다음 관계가 성립한다.

r + R ≤ H

이 정리를 증명하거나 반증해 보자. <주석 : The American Mathematical Monthly, vol. 50 (943), p.124 and vol. 5 (944), pp. 234~236.> 즉, 우리는 "증명하는 문제"를 가진 것이다.

이 제시된 정리는 특이한 것이다. 유사한 결론을 갖는 삼각형에 대한 어떠한 정리도 기억하고 있지 못한다. 다른 어떤 것도 생각나지 않는다면 우리는 이러한 친밀하지 못한 주장의 몇 가지 『특수한 경우』를 점검해 보는 것이 좋다. 이제 가장 잘 알려진 특수한 삼각형은 정삼각형인데, 이 경우

r = , R =

가 되므로 이 주장은 옳다.

또 다른 생각이 떠오르지 않으면 『좀 더 확장된 특수한 경우』인 이등변삼각형에 대해 점검해 보는 것이 좋다. 이등변삼각형의 형태는 꼭지각에 따라 변하며 두 개의 극단적인 (극한의 ) 경우가 있는데 하나는 꼭지각이 0°가 되는 경우와 또 다른 하나는 꼭지각이 180°가 되는 경우이다. 처음의 극단적인 경우에서는 이등변삼각형의 밑변은 0 이 되므로 분명히

r = 0, R =

가 되므로 위의 주장을 입증되었다. 그러나, 두 번째 극한의 경우에는 높이가 0 이 되며

r = 0, R = ∝, H = 0

이 된다. 위의 주장은 입증되지 않는다. 우리는 위에 제시된 정리가 거짓임을 증명하였으며, 따라서 우리는 문제를 해결하였다.

그런데 꼭지각이 거의 180°가 되는 매우 평평한 이등변삼각형에 대해서도 위의 주장은 역시 거짓이라는 것은 분명한데 우리는 전혀 "정통적인" 고찰로 생각되지 않는 그러한 극단적인 경우를 "공식적"으로 무시할 수도 있는 것이다.

2) "L' exception confirme la regle." "예외는 법칙이 있음을 입증하는 것이다." 틀림없이 우리는 널리 알려진 이 속담을 어떤 종류의 논리의 애매함을 비웃는 농담으로 받아들일 것이다. 진지하게 생각해 본다면, 물론 어떤 있음직한 규칙이나 일반 명체를 확실하게 논박하기 위해서는 하나의 예외만으로도 충분하다. 그러한 명제를 논박하는 가장 흔하고 또 어떤 면에서는 가장 좋은 방법은 그 명제에 따르지 않는 한 대상을 정확하게 보여 주는 것이다. 어떤 저자는 그러한 대상을 『반례』라고 부르고 있다.

소위 일반적인 명제는 어떤 대상들의 집학과 관계가 있다. 그 명제를 논박하기 위해서 우리는 『특수화』하여 그 집합으로부터 그 명제에 따르지 않는 한 대상을 골라낸다. 진술한 보기 (1에서) 는 그것이 어떻게 이루어지는가를 보여주고 있다. 처음에는 간단한 특수한 경우, 즉 다소 무작위로 선택된 쉽게 점검할 수 있는 대상을 검사하는 것이 좋다. 만약 점검 결과 그 경우가 일반적인 명제와 일치하지 않게 되면 그 명제는 거부되고 우리의 임무는 끝나게 된다. 그러나 만약 검사된 대상이 그 명제에 따른다면 우리는 그 점검으로부터 힌트를 얻어낼 수도 있을 것이다. 우리는 결국 그 명제가 참일 수 있다는 인상과 어떤 방향에서 증명을 찾아야 하는가에 대한 어떤 암시를 받을 것이다. 혹은 1 의 보기에서처럼 어떤 방향에서 반례를 찾아야 하는가, 다시 말하면 어떤 다른 특수한 경우를 점검해야 하는가에 대한 암시를 받을지도 모른다. 방금 점검했던 경우를 수정하고 그것을 고치고 보다 확장된 특수한 경우를 조사하고 1 에서 예시된 것처럼 극단적인 경우를 찾아볼 수도 있다.

극단적인 경우는 특히 시사적이다. 어떤 일반적인 명제가 모두 포유동물에 적용된다고 가정한다면 그것은 고래와 같은 예외적인 포유동물에 조차도 적용되어야만 한다. 이러한 고래와 같은 극단적인 경우를 잊지 않도록 하자. 극단적인 경우를 점검함으로써 일반적인 명제를 논박할 수도 있다. 그럴 수 있는 좋은 기회가 되는 것이다. 왜냐 하면, 법칙의 발명가들은 그러한 극단적인 경우들을 간과하는 경향이 있기 때문이다. 그러나, 만약 우리가 일반적인 명제가 극단적인 경우에서도 입증됨을 알게 된다면 이러한 입증을 통해 유도된 귀납적 증거는 강력한 것이다. 왜냐 하면, 바로 논박하고자 하는 기대가 강력하였기 때문이다. 서두의 속담을 다음과 같이 바꾸고 싶어진다. "예상되는 예외가 법칙을 테스트한다."

3) 보기

어느 순간의 두 척의 배의 속력과 위치가 주어져 있고 각각의 배는 일정한 속도로 직선 방향으로 나아간다. 두 척의 배가 서로 가장 가까이 있을 때의 거리를 구하여라.

『미지인 것은 무엇인가?』두 개의 움직이는 물체 사이의 가장 짧은 거리, 물체는 질점으로 간주되어야 한다.

『자료는 무엇인가?』움직이는 두 질점의 처음 위치와 각각의 속도 이 속도는 크기와 방향이 일정하다.

『조건은 무엇인가?』거리가 가장 짧을 때, 즉 두 개인 절점 (배) 이 서로 가장 가까운 순간의 거리가 확인되어야 한다.

『그림을 그려 보아라. 적절한 기호를 붙여라』그림 29에서 점 A 와 B 는 두 척의 배의 주어진 처음 위치를 나타낸 것이다. 유향 성분 (벡터) AP와 BQ는 주어진 속도를 나타내는 것이며, 첫 번째 배는 단위 시간에 AP의 거리만큼식 A 와 P 를 지나는 직선을 따라 향진하며 두 번째 배도 마찬가지로 직선 BQ를 따라 항진한다.

『미지인 것은 무엇인가?』각각 AP와 BQ를 따라 진행하는 두 척의 배 사이의 가장 짧은 거리.

이제 우리가 무엇을 발견해야 하는지 분명해졌다. 그러나, 만약 초보적인 수단만을 이용하려 한다면 그것을 어떻게 찾아야 할지 아직도 전연 모를 것이다. 문제는 그렇게 쉽지는 않으며 문제의 어려움은 "변화 가능한 것이 너무 많다."는 말로 표현해 볼 수 있는 독특한 뉘앙스를 풍긴다. 처음 위치 A, B 와 속도 AP, BQ는 여러 가지로 주어질 수 있다. 사실, 네 개의 점 A, B, P, Q 는 임의로 선택될 수 있는 것이다. 이제 자료가 어떠하든지 요구되는 해답은 적용되어야 하는 바, 우리는 이러한 모든 가능성에 같은 해답을 어떻게 들어 맞출지 아직 알지 못한다. "변화 가능한 것이 너무 많다."라는 느낌으로부터 마침내 다음과 같은 발문과 대답이 나올 수도 있다.

『보다 접근하기 쉬운 관련된 문제를 생각해 낼 수 있는가? 보다 특수한 문제는 ?』물론 두 배의 속도 중 하나가 0 이 되는, 극단적으로 특수한 경우가 있다. 그렇다. B 에 있는 배가 닻을 내릴 수도 있어 Q 가 B 와 일치할 수도 있다. 정지해 있는 배에서 움직이는 배까지의 가장 짧은 거리는 움직이는 배가 이동하는 직선에 수직이다.

4) 만약 전술한 아이디어가, 앞에 보다 많은 것이 있다는 예감과 (너무 간단하여 관련이 없어 보일 수도 있는) 극단적인 특수한 경우가 어떠한 역할을 한다는 느낌과 함께 나타난다면 그것은 정말로 반짝하는 아이디어이다.

여기에 여러분이 방금 풀었던 특수화된 문제와 『관련이 있는 문제가 있다. 그것을 사용할 수 있을까? 그 결과를 사용할 수 있을까? 어떤 보조 요소를 도입하면 그것을 사용할 수 있을까?』

그것은 사용되어야 하지만 어떻게 사용할 것인가? B 가 정지해 있는 경우의 결과가 B가 움직이고 있는 경우에 어떻게 사용될 수 있을까? 정지는 운동의 『특수한 경우』다. 그리고 운동은 상대적인 것이며, 따라서 B 의 속도가 어떻게 주어지더라도 B 가 정지해 있는 것으로 생각할 수 있다. 이러한 생각을 좀 더 분명히 하면 다음과 같다. 두 척의 배로 되어 있는 전체 체계에 등속운동을 부여한다면 상대적인 위치는 변함이 없고, 상대적인 거리도 마찬가지이다. 그리고, 문제에서 요구하는 두 척의 배 사이의 가장 가까운 상대적인 거리도 변함이 없다. 이제 한 척의 배의 속력을 0 이 되게 하는 운동을 부여할 수 있으며, 그렇게 하게 되면 문제의 일반적인 경우는 방금 풀었던 특수한 경우로 환원된다.

BQ와 크기는 같으나 방향이 반대인 속도를 BQ와 AP에 다 같이 더하자. 이것은 특수한 결과의 사용을 가능하게 하는 보조 요소이다. 가장 짧은 거리 BS의 작도에 대해 그림 30을 보라.

5) 앞의 풀이 (3, 4 에서) 는 분석하여 기억해야 할 가치가 있는 논리적 패턴을 갖고 있다. 원래의 문제 (3 의 처음 몇행) 를 풀기 위해서 먼저 다른 문제를 풀었는데 이 문제를 보조 문제 (3 의 마지막 몇 행) 라고 부르는 것이 적절한 것이다. 이 보조 문제는 원래의 문제의 특수한 경우 (두 척의 배 중 한 척이 정지해 있는 극단적인 특수한 경우) 이다. 원래의 문제는 제기된 것이고 보조 문제는 풀이의 과정에서 만든 것이다. 원래의 문제는 어려워 보였고 보조 문제는 즉각으로 해결되었다. 보조 문제는 특수한 경우로서 사실 원래의 문제보다 『훨씬 더 야심적인 것이었다.』보조 문제를 바탕으로 하여 원래의 문제를 풀 수 있었던 것이 어떻게 가능하였을까? 그것은 보래의 문제를 보조 문제로 환원할 때 본질적인 보충 의견 (운동의 상대성에 관한) 을 첨가시켰기 때문이다.

우리는 두 가지 의견에 힘 입어 원래의 문제를 푸는 데 성공하였다. 첫째, 우리는 유리한 보조 문제를 발명하였다. 둘째, 보조 문제에서 원래의 문제로 나아가는 데 적절한 보충 의견을 생각해 내었다. 잠깐 동안의 발판으로 쓰일 수 있는, 시내 중간에 있는 적절한 바위를 발견할 만큼 운이 좋으면 시내를 두 단계로 건널 수 있는 것처럼 우리는 제안된 문제를 두 단계로 풀었다.

요약하면, 우리는 보다 어렵고 보다 야심적이며 일반적인 원래의 문제를 푸는 데, 보다 덜 어렵고 덜 야심적이며 특수한 보조 문제를 디딤돌로써 사용하였다.

6) 특수화는 그 이외의 많은 다른 용도를 가지고 있으나 여기서 논의할 여유는 없다. 특수화가 풀이를 점검하는 데 유용하게 사용될 수 있다는 것만 언급하고자 한다. (「결과를 점검할 수 있는가?」2)

다소 소박한 특수화는 교사에게서 종종 유용하다. 이는 문제의 추상적인 수학적 요소에 『구체적 해석』을 주는 것이다. 예를 들어, 문제에 직육면체가 있다고 할 때, 교사는 보기로써 교실을 들 수가 있다 (8절). 입체해석기하에서 교실의 구석은 좌표의 원점으로, 바닥과 두 벽은 좌표평면으로, 교실의 두 수평모서리와 한 수직모서리는 좌표축으로 사용될 수 있다. 회전면의 개념을 설명하기 위해 교사는 백묵으로 문에 곡선을 그리고 그것을 천천히 열어 보일 수 있다. 이러한 것들은 확실히 간단한 요령이지만, 학생들에게 수학을 충분히 납득시킬 수 있는 것은 어떤 것도 생략되어서는 안 될 것이다. 수학은 매우 추상적인 학문이기 때문에 아주 구체적으로 제시되어야 할 것이다.

58. 틀에 박힌 문제

이전에 일반적인 이차방정식의 해법이 설명되고 예시되어 학생들이 일반적인 해에 나타나는 문자에 수 -3 과 2 를 대입하는 이외에 할 것이 없을 때 방정식 x² =3x + 2 = 0 을 푸는 문제는 "틀에 박힌 문제"라고 부를 수 있는 것이다. 비록 이차방정식을 일반적으로 "문자"를 사용하며, 풀지는 않았지만 숫자 계수를 갖는 비슷한 여러 개의 이차방정식을 바로 전에 풀었다면 이 문제는 "틀에 박힌 문제"라고 불러야 될 것이다. 일반적으로 어떤 문제가 이전에 이미 푼 일반적인 문제에 특별한 자료를 대입하거나 또는 흔해 빠진 분명한 보기를 독창성의 흔적 없이 단계적으로 따라감으로써 풀릴 수 있다면그 문제는 "틀에 박힌 문제"이다. "틀에 박힌 문제"를 내 줌으로써 교사는 『관련된 문제를 알고 있는가?』라는 발문에 대한 즉각적이고 결정적인 대답을 학생의 바로 코 앞에 들이미는 것이다. 따라서, 학생에게 단지 무미건조한 처방을 따르는 약간의 주의와 끈기 이외엔 아무것도 필요하지 않다. 그리고, 학생은 자신의 판단력과 독창력을 사용할 기회를 갖지 못하게 된다.

틀에 박힌 문제, 심지어 많은 틀에 박힌 문제가 수학을 가르치는 데 필요할런지 모르나 학생들에게 다른 종류의 일을 하지 않게 만드는 것은 변명의 여지가 없다. 틀에 박힌 수학적 조작을 기계적으로 수행하는 것을 가르치고 그 외에는 아무것도 하지 않는 것은 요리책 수준 이하라고 밖에 할 수 없다. 왜냐 하면, 부엌에서의 조리법은 요리사의 상상과 판단에 무언가를 맡겨 놓지만 수학적 처방은 그렇지 않기 때문이다.

59. 차원에 의한 검증

이는 기하학이나 물리학의 공식을 점검할 때 쓰이는 잘 알려진 빠르고 효과적인 방법이다.

1) 검증 조작을 회상하기 위해서 원뿔대를 고려해 보자.

R는 밑면의 반지름

r는 윗면의 반지름

h는 원뿔대의 높이

S는 원뿔대의 옆면의 넓이

라고 하자. 만일 R, r, h 가 주어지면 S는 분명하게 결정된다. 공식은

S= π (R + r)

인 바, 이것에 차원에 의한 검증을 적용해 보자.

어떤 기하학적 양의 차원은 쉽게 알 수 있다. R, r, h 는 길이이고 과학적 단위를 사용하면 이들은 센티미터로 측정되며 그들의 차원은 cm 이다. 넓이 S는 제곱센티미터로 측정되며 그 차원은 cm²이다. 여기서 π = 3.14159…는 단지 한 수이고 순전히 수치적인 양에 차원을 부여하고자 한다면 그것은 cm²= 1 이어야 한다.

합을 이루는 각 항돌은 차원이 같아야 하며 합도 같은 차원을 가져야 한다. R, r, 그리고 R + r 는 같은 차원, 즉 cm 를 갖는 것이다. (R-r)²과 h²도 cm²라는 같은 차원을 갖는다.

곱의 차원은 각 인수의 차원의 곱이며 거듭제곱에 대해서도 비슷한 규칙이 적용된다. 우리가 검증하려고 하는 공식의 양 변에 있는 각 양들을 그들의 차원으로 치환해 보면 다음과 같이 된다.

cm²= 1 ·cm·

이것은 명백히 타당하므로 공식의 오류는 발견되지 않았다. 공식은 검증을 통과한 것이다.

(다른 보기에 대해서는 14절과 「결과를 점검할 수 있는가?」2를 참조하여라.)

2) 차원에 따른 검증은 문제의 최종 결과나 중간 결과에 적용할 수 있으며 우리 자신의 활동이나 다른 사람의 활동에 적용할 수 있고 (시험 답안지의 오류를 조사하는 데 매우 적합하다.) 또한 우리가 회상해 낸 공식이나 우리가 추측한 공식에도 적용해 볼 수 있는 것이다.

구의 겉넓이와 부피에 대한 공식으로 4π²과 을 기억하긴 하였는데, 어느 것이 어느 것인지 확실치가 않다면 그러한 의시은 차원에 따른 검증으로 쉽게 해소될 수 있다.

3) 차원에 따른 검증은 기하학보다도 물리학에서 훨씬 더 중요하다.

단진자, 즉 길이는 불변이고 그 무게는 무시할 수 있다고 간주된 줄에 매달려 있는, 작고 무거운 물체의 운동을 생각해 보자. l 은 줄의 길이, g 는 중력가속도, r 는 단진동의 주기를 나타낸다.

역학적인 고찰에 의하면 r 는 l 과 g 에만 의존한다. 그러나, 그러한 종속 관계는 어떠한 형태일까? 우리는 다음과 같은 관계식을 기억하거나 추측할 수도 있다.

T = cl^mgⁿ

여기서 c, m, n 은 상수이다. 즉, T 가 l 과 g 의 거듭제곱 l^m·gⁿ과 비례한다고 가정하 것이다.

차원을 살펴보자. T가 시간이므로 초단위로 재어질 것이고 그 차원은 sec 이다. 길이 l 의 차원은 cm, 중력가속도 g 의 차원은 cmsec^-2 이며 상수 c 의 차원은 1 이다. 차원에 따른 검증에 따르면, 다음과 같은 식이 나온다.

sec = 1·(cm)^m(cmsec^-2)ⁿ

즉

sec = (cm)^m+nsec^-2n

이제 양 변에 있는 기본 단위 cm 와 sec 의 거듭제곱은 같아야 하므로 다음과 같이 된다.

0 = m + n, 1=-2n

따라서,

n = -, m =

따라서, 주기 T의 공식은

T = clg- = c

이 경우에 차원에 따른 검증이 상당한 성과를 가져다 주었지만 모든 것을 다 제공할 수는 없는 것이다. 첫째, 상수 c 의 값 (실제로 2π임) 에 대해서는 아무런 정보도 주고 있지 않다. 둘째, 타당성의 한계에 대해서도 아무런 정보를 주지 못한다. 이 공식은 진자의 작은 진동에 대해서만 그것도 대략적으로만 타당한 것이다. (이 공식은 "무한히 작은" 진동에 대해서 정확하다.) 이러한 한계에도 불구하고 차원을 고려하면, 철저한 취급을 하려면 훨씬 더 고등 수단이 요구되는 어떤 결과의 본질적인 부분을 신속하면서도 가장 초보적인 방법으로 예견할 수 있다는 것은 의심할 바 없다. 그리고 이는 많은 유사한 경우에도 마찬가지이다.

60. 표현규칙

표현 규칙의 첫 번째 것은 무언가 말하고자 하는 것을 갖고 있는 것이다.

표현 규칙의 두 전재 것은 공교롭게 말하고자 하는 것이 두 가지 있을 때 한꺼번에 두 가지를 다 말하지 말고 하나를 먼저 말하고 나서 다른 것을 말하도록 자신을 조절하는 것이다.

61. 현학과 정통

이는 규칙에 대한 태도로 서로 반대되는 것이다.

1) 적합한 경우나 적합하지 않은 경우나 규칙을 융통성 없이 주저하지 않고 문자에 적용하는 것은 현학이다. 어떤 현학자는 가엾은 바보다. 그들은 자신들이 그렇게 의식적이고 무분멸하게 적용하고 있는 규칙을 이해하지 못하고 있는 것이다. 어떤 현학자는 꽤 성공적인 경우도 있다. 그들은 적어도 처음에는 (현학자가 되기 전에는) 규칙을 이해하며 대부분의 경우에는 적합하고 단지때때로 실패하는 그러한 훌륭한 규칙을 선택하는 것이다. 규칙이 적합한 경우를 알고, 규칙을 나타내고 있는 말이 행동의 목적이나 상황에 따른 기회를 모호하게 하는 일이 없이, 자연스럽고 용이하게 판단에 따라 규칙을 적용하는 것이 정통한 것이다.

2) 우리의 목록에 포함된 발문과 권고는 문제를 해결하는 사람이나 교사에게 모두 도움이 된다. 그러나, 우선 그들을 이해하고 그들을 적절히 사용하는 것을 학습하여야 하되 적용하는 경험에 의해서 학습하여야 한다. 둘째, 그들의 사용이 결코 현학적인 것이 되어서는 안 된다. 어떤 고정된 습관에 따라 무분별하게 발문과 권고를 해서는 안 된다. 여러 가지 발문과 권고를 준비하여 여러분의 판단에 따라 사용하여라. 어렵고 흥분을 일으키는 문제를 다루고 있을 때에 여러분이 다음에 시도해 보려고 하는 단계는 제시된 문제에 대한 주의깊고 허심탄회한 고찰에 의하여 유발되어야 한다. 학생을 도와 주고 싶은 때에는 여러분이 학생에게 하는 말은 학생의 어려움을 동정적으로 이해하는 데서 비롯되어야 한다. 그리고 여러분이 현학자가 되고 싶고 어떤 규칙에 의존하고 싶으면 다음 말을 기억하여라. 항상 여러분 자신의 두뇌를 먼저 이용하여라.

62. 데카르트 (1596-1650)

위대한 수학자요 철학자인 데카르트는 문제를 해결하는 보편적인 방법을 제시할 계획이었으나 미완성작인 "정신 지향 규칙"을 남겨 놓았다. 이 연구의 단편은 그가 죽은 후 그의 원고 가운데에서 발견되어 인쇄된 것으로, 그의 유명한 저서 "방법서설"이 그보다 늦게 쓰여졌을 확률이 아주 크며, 문제 해결에 대한 보자 풍부하고 보다 흥미로운 자료를 포함하고 있다. 데카르트의 다음과 같은 한 구절은 그러한 "규칙"의 근원을 말해 주고 있다고 생각된다. "젊어서 독창적인 발명품에 관한 이야기를 들었을 때 나는 발명가의 글을 읽지 않고도 혼자서 그것을 발명해 보려고 애썼다. 그렇게 하는 가운데 점차 내가 어떤 규칙을 사용하고 있다는 것을 알아차리게 되었다."

63. 라이프니쯔 (1646~1716)

위대한 수학자이자 철학자이었던 라이프니쯔는 일종의 "발명의 기술"이란 것을 저술하려고 계획했지만 끝내 계획을 이루지는 못했다. 그러나, 그의 저작 가운데 흩어져 있는 수많은 단편들은 그가 종종 그 중요성을 강조해 왔던 이 주제에 대해 흥미있는 아이디어를 마음에 품고 있었음을 보여 주고 있다. 그는 다음과 같이 쓰고 있다.

"발명의 원천을 아는 것보다 더 중요한 것은 없으며, 이는 내 견해로는 발명 그 자체보다 더 재미있는 것이다."

64. 버나드 볼짜노 (1781~1848)

논리학자이며 수학자인 버나드 볼짜노는, 논리학을 포괄적으로 소개한 그의 저서 「지식학」에서 상당한 부분을 발견술이란 주제에 할애하였다 (제 3 권 295~575쪽). 그는 그 책의 이 부분에 관하여 다음과 같이 기록하고 있다.

"본인은 여기서 오래 전부터 재능 있는 많은 사람들도 알아내지 못한 어떤 탐구 절차를 소개할 수 있다는 생각은 전혀 가지고 있지 않다. 그리고 독자 여러분이 이런 유의 아주 새로운 어떤 것을 이 책에서 발견할 수 있다는 약속도 하지 않는다. 그러나, 대부분의 경우, 자신이 따르고 있다고 의식조차 못하면서 모든 유능한 사람들이 따랐던 탐구 규칙과 방법을 명료하게 서술하도록 노력할 것이다. 이 일을 하는 데도 완전히 성공하리라고는 생각하지 않으나 이 책에 소개된 적은 부분이나마 누구인가를 기쁘게 하고 앞으로 응용될 수 있기를 바란다."

65. 파푸스

중요한 그리스 수학자 가운데 한 사람이 파푸스는 아마도 기원 후 300년경에 생존하였던 듯하다. 그의 저서 Collectiones 의 제 7 권에서 그가 analyamentos 라고 부른 한 연구 분야에 대해 보고하고 있다. 이 말은 영어로 "분석의 보고", "문제를 푸는 기술", 혹은 "발견술"이라고도 번역할 수 있다. 여기서는 마자막의 "발견술"이라는 용어가 더 나을 듯하다. 파푸스의 보고서의 훌륭한 영역판은 쉽게 구할 수 있다. <주석 : T.L. Health, The Thirteen Books of Euclid's Elements, Cambridge, 1908, vol. , p. 138.>

다음은 원본을 의역한 것이다.

"간단히 말해서, 소위 발견술이란 일반 원론을 공부한 후에, 수학 문제를 푸는 능력을 얻고자 하는 사람들이 사용하도록 하기 위한 특별한 가르침이며, 오직 이것에만 쓰일 수 있는 것이다. 그것은 원론의 저자인 유클리드와 페르가의 아폴로니우스, 그리고 형인 아리스테우스 세 사람의 연구 결과이다. 그것은 분석과 종합의 과정을 가르친다."

"분석에서는, 요구되고 있는 것으로부터 시작하며, 요구되고 있는 것이 옳다고 가정하고 그 결과로부터 다시 결과를 이끌어 내어, 종합에서 출발점으로 사용할 수 있는 점에 도달할 때까지 계속한다. 분석에서는 하도록 요구되고 있는 것을 이미 이루어진 것처럼 (구하고 있는 것을 이미 찾은 것처럼, 증명해야 할 것을 참인 것처럼) 가정하는 것이다. 선행하는 어떤 것으로부터 바라는 결과가 유도될 수 있는가를 묻고 다시 그 선행자의 선행자는 무엇인가 묻기를 계속하여, 결국 이미 알려져 있거나 참인 것으로 가정한 것에 이르게 된다. 이러한 절차를 분석 또는 거꾸로 풀기, 또는 역행적 추론이라고 부른다."

"그러나 종합에서는 그 과정을 반대로 하여, 분석에서 제일 마지막에 도달한 점, 즉 이미 알려져 있거나 참인 것으로 가정한 것으로 부터 시작한다. 그로부터 분석에서 그에 선행한 것을 이끌어내며, 분석 과정을 되밟아 가면서 마지막에 요구하고 있는 것에 도달할 때까지 그러한 연역 과정을 계속한다. 이러한 절차를 종합 또는 구성적 풀이 또는 전진적 추론이라고 부른다."

"그런데 분석에는 두 종류가 있다. 그 하나는 "증명 문제"의 분석으로 참인 정리를 만드는 데 목적이 있다. 다른 하나는 '답을 구하는 문제'의 분석으로, 미지인 것을 구하는 데 목적이 있다."

"'증명 문제'에서는, 분명하게 언급된 어떤 정리 A 를 증명하든가 반증하기를 요구한다. 아직 A 가 참인지 거짓인지를 모르고 잇다. 그러나 A 로부터 다른 정리 B 를, B 로부터 다른 정리 C 를 이끌어내는 식으로 확실히 알고 있는 정리 L 에 이를 때까지 연역을 계속한다. 모든 유도 과정이 가역적일 때, L 이 참이면 A 도 참일 것이다. L 로부터, 분석에서 L 에 선행한 정리 K 를 증명하고 같은 방식으로 진행하여 각 단계를 되밟아간다. C 로부터 B 를 증명하고, B 로부터 A 를 증명하여 목표를 달성한다. 그러나, 만일 L 이 거짓이면 A 도 거짓임이 증명된 것이다."

"답을 구하는 문제"에서는 분명하게 언급된 조건을 만족시키는 미지인 것 x 를 구하도록 요구한다. 그런 조건을 만족시키는 것이 가능한지 어떤지는 아직 잘 모르지만, 부과된 조건을 만족시키는 x 가 있다고 가정하고, 그로부터 과련된 조건을 만족시켜야 하는 다른 미지인 것 y 를 또 다른 미지인 것과 연결시키는 식으로 계속하여, 마침내는 알고 있는 방법으로 구할 수 있는 최종 미지인 것 z 에 이르게 된다. 모든 유도 과정이 가역적일 때 부과된 조건을 만족시키는 z 가 실제로 존재한다면, 원래의 조건을 만족시키는 x 도 존재할 것이다. 먼저 z 를 구한다. z 를 알고 난 후 분석 과정에서 z에 선행한 미지인 것을 구한다. 가은 방식으로 진행하여 각 단계를 되밟아가 마침내는 y 를 알 게 되고 x 를 얻게 됨으로써 목표를 달성한다. 그러나, z 에 부과된 조건을 만족시키는 것이 없으면 x 에 관한 문제는 해답이 없다."

앞의 것은 직역이 아니라, 얽매이지 않은 번역, 곧 의역한 것임을 잊어서는 안 된다. 파푸스의 저서는 여러 가지 면에서 중요하기 때문에, 원문과 의역간의 여러 차이점에 대해 논평해 둘 필요가 있다.

1) 우리의 의역은 원문보다 더욱 더 정확한 술어를 사용하고 원문에는 없는 기호 A, B, …, L, x, y, …z 를 도입하였다.

2) 원문에서의 "기하 문제를" 의미한 부분을 의역에서는 "수학문제"라고 하였다. 이것은 파푸스가기술한 과정이 결코 기하 문제에만 국한되지 않음을 강조하려 한 것이다. 사실 그들은 수학 문제에 국한된 것도 아니다.

이런 문제에서는 주제의 성격상 일반성과 독립성이 중요하기 때문에 보기를 들어 이것을 설명해야 할 것이다. (3 절을 참조하여라.)

3) 대수학적 보기

다음 방정식을 만족시키는 x를 구하여라.

8 (4^x + 4^-x) - 54 (2^x + 2^-x) + 101 = 0

이 문제는 초보자에게는 그리 쉬비 않은 "답을 구하는 문제"이다. 이 문제를 풀려면 분석이란 아이디어와 친숙해야 한다. 물론 "분석"이란 낱말이 아니라, 변형을 반복하여 목표를 달성하는 아이디어와 친숙해야 한다. 더욱이 아주 간단한 방정식과 친숙해야 한다. 4^x = (2^x)²이고 4-^x = (2^x)-²이므로

y = 2^x

을 도입하는 것이 유리하다는 사실을 인식하는 데에는 지식이 어느 정도 있더라도 훌륭한 아이디어와 약간의 행운 그리고 작으나마 발명이 요구되는 것이다. 여기서 이러한 추론은 정말로 유익하며, 얻어진 y 에 대한 방정식

8(y2 + ) - 54(y + ) + 101 = 0

은 본래의 방정식보다 간단해 보인다. 그러나, 일이 아직 끝난 것은 아니다. 또 다른 작은 발명, 또 다른 치환

z = y +

이 필요하며, 이것으로 위 조건은

8z²-54z + 85 = 0

으로 변형된다. 여기서 문제를 푸는 사람이 이차방정식의 풀이를 알고 있으면, 분석은 끝나게 된다.

종합은 어떤 것인가? 분석에 의해 가능성이 예상된 계산을 한 단계 한 단게 해 가능한 것이다. 문제를 푸는 이는 문제를 끝마치는 데 더 이상 새로운 아이디어를 필요로 하지 않으며, 단지 여러 가지 미지수를 계산하는 데 어느 정도 인내와 주의력만이 필요할 뿐이다. 계산의 순서는 발명의 순서와 반대이다. 우선 z 를 구한 다음 (z = , ), y 를 구하고 (y = 2, , 4, ), 최종적으로 원래 요구되었던 x 를 구한다 (x = 1, -1, 2, -2), 종합은 분석의 단계를 되밟아가는 것이며, 그렇게 하는 이유는 이 경우에 쉽게 알 수 있다.

4) 비수학적인 예시

한 원시인이 시내를 건너고 싶어한다. 그러나, 전 날 밤에 냇물이 불어서 평상시대로는 건널 수 없다. 여기서 시내를 건너는 것이 문제거리가 된다. "시냇물 건너기"는 이 원시인의 문제에서 x 가 된다. 그 원시인은 쓰러진 나무를 이용해서 다른 어떤 시내를 건넜다는 것을 기억할런지도 모른다. 그는 이제 새로운 미지인 것 y 가 된, 알맞은 쓰러진 나무를 찾기 위해 주위를 둘러본다. 알맞은 나무를 발견하지 못했으나, 그는 시내를 따라 많은 나무가 서 있음을 알 게 외고, 그 중 한 나무가 쓰러지기를 기대하게 된다. 나무 한 그루를 시내를 가로질러 자빠뜨릴 수 있을까? 이것은 좋은 아이디어이며, 새로운 미지인 것이 생겼다. 어떤 방법으로 시내에 나무를 쓰러뜨릴 수 있을까?

이러한 일련의 아이디어는 파푸스의 용어를 받아들인다면, 분석이라고 불리워져야 한다. 그 원시인이 분석을 마치게 되면 다리와 토끼를 발명하게 될 것이다. 종합은 무엇일까? 아이디어를 행동으로 옯기는 것이다. 좋합의 마무리 행동은 가로 놓인 나무를 따라 시내를 건너는 것이다.

분석과 종합에서 대상은 같으나, 분석에서는 인간의 정신을 단련시키고, 종합에서는 인간의 근육을 단련시킨다. 분석은 사고로 되어 잇고, 종합은 행동으로 되어 있다. 또 다른 차이가 있는데, 곧 순서가 반대인 것이다. 시내를 건너고자 하는 것은 분석이 시작된 첫 번째 욕망이지만, 그것은 종합이 끝난 마지막 행동인 것이다.

5) 우리의 의역은 원문보다 분석과 종합간의 자연스런 관계를 조금 더 분명하게 암시해 준다. 그 관계는 앞의 보기에서 명확하다. 자연스럽게 분석이 먼저 이루어지고, 종합이 그 후에 이루어 진다. 분석은 발명이고 종합은 실행이다. 『분석은 계획을 세우는 것이고 종합은 그 계획을 실행하는 것이다.』

6) 우리의 의역은 다음과 같은 기묘한 구절을 그대로 옮겼으며 강조하기까지 하였다. "하도록 요구되고 있는 것을 이미 이루어진 것으로, 구하고자 하는 것을 구한 것으로, 증명해야 할 것을 참인 것으로 가정한다." 이것은 역설적이다. 풀어야 할 문제를 풀린 것으로 가정하는 것은 자기기만에 불과하지 않은가? 이것은 명료하지가 않다. 그것은 무엇을 뜻하는가? 문맥을 면밀히 생각하고 문제를 풀어본 우리 자신의 경험을 솔직히 이해하려고 노력하면 그 의미는 의심할 바가 없다.

우선 "답을 구하는 문제"를 생각해 보자. 미지인 것을 x, 자료를 a, b, c 라고 하자. "문제가 풀린 것으로 가정"하는 것은 주어진 조건을 만족하는 - 즉, 그 조건이 규정한 자료 a, b, c 에 대한 그러한 관계를 갖고 있는 대상 x 가 존재함을 가정한다는 뜻이다. 이 가정은 단지 분석을 시작하기 위해서 한 것이고, 잠정적이며 해로울 것 없는 것이다. 왜냐하면, 『만약』그런 대상이 없다면, 『그리고』분석 결과 어딘가 이르게 된다면, 그것은 반드시 해답이 없는 최종 문제에 이르게 되며, 따라서 본래의 문제도 해가 없음이 분명해질 것이기 때문이다. 그래서 그러한 가정은 유용한 것이다. 그 조건을 검토하기 위해서는, 그 조건이 x 와 a, b, c 사이에 규정한 관계를 인식하거나 표상하거나 기하학적으로 시각화하거나 해야 한다. x 를 존재하는 것처럼 인식하거나 표상하거나 시각화하지 않고 어떻게 그 조건을 검토할 수 있는가? 결국 그러한 가정은 자연스러운 것이다. 4 에서 그의 생각과 행동에 대해 논의한 바 있는 그 원시인은 실제로 그렇게 할 수 있기 오래 전에 넘어진 나무 위를 걸어 시내를 건너는 자신을 상상하게 된다. 그는 자신의 문제가 "풀린 것"으로 생각하는 것이다.

"증명 문제"의 대상은 어떤 정리 A 를 증명하는 것이다. "A 를 참으로 가정"하라는 권고는, 비록 하직 그 정리를 증명하지는 않았지만, 정리 A 로부터 결론을 이끌어내라는 권유일 뿐이다. 어떤 정신적 특성이나 철학을 가지고 있는 사람은 증명되지 않은 정리로부터 결론을 읶르어내는 것을 꺼릴 수도잇다. 그러나, 그런 사람들은 분석을 시작할 수가 없는 것이다.

「그림」2 와 비교하여라.

7) 우리의 의역에서는 "모든 유도 과정이 가역적일 때"란 중요한 구절을 두 번 사용하였다. 이것은 삽입한 것이다. 원문에는 그런 종류의 것은 전혀 없으며, 그러한 단서가 빠진 것이 현대에 와서 주목할 받아 비판의 대상이 되었다. "가역적 변형"이란 관념에 대해서는 「보조 문제」6 를 참조하여라.

8) 우리의 의역에서 "증명 문제의 분석"은 원문에서 사용된 것과는 전혀 다른 낱말을 사용하여 설명되었으나 의미는 전혀 바꾸지 않았다. 아무튼 의미를 바꿀 아무런 의도도 없었다. 그러나 "답을 구하는 문제"의 분석은 원분보다 의역에서 좀 더 구체적으로 설명되었다. 원문은, 「보조 문제」7 에서 기술된 『동치인 보조 문제의 연쇄』의 작성이라는, 좀 더 일반적인 절차를 기술하는 데 목적이 있는 듯하다.

9) 기하에 대한 초등 교과서 중에는 분석과 종합 치 "문제를 풀린 것으로 가정하기"에 대해 약간 언급되어 있는 것이 많다. 이 뿌리 깊은 전통은, 비록 요즘의 교과서 저자 중 파푸스의 글을 직접 접해 본 사람은 거의 없다고 할지라도 파푸스에게까지 거술러올라간다는 것은 의심의 여지가 없다. 이 내용은 초등 교과서에서 언급되어야 할 만큼 중요하지만 자칫 잘못 이해되기도 한다. 기하 교과서에 국한되었다는 상황만으로도 현재에도 이해가 부족함을 알 수 있다. 위의 논평 2 를 참조하여라. 위에서 한 논평이 이 문제를 좀 더 잘 이해하는 데 기여할 수 있다면 그에 대해 길게 이야기한 것은 정당화될 것이다.

또 다른 보기나 다른 관점 및 그 이상의 논평에 대해서는 「거꾸로 풀어가기」를 보라.

또한, 「귀류법」과 「간접증명법」2 와도 비교하여라.