Completeness Theorem

 

¼öÇп¡¼­ ¾²ÀÌ´Â °ø¸® (Axiom) µéÀº ¿À´Ã³¯±îÁö ¾Ë·ÁÁø  °Í ¿Ü¿¡ ´õ ÀÖÀ»  ¼ö ¾ø´Â°¡? Áï,¾ÆÁ÷µµ ¹ß°ßÇÏÁö ¸øÇÑ ¼öÇÐÀÇ ¿ø¸®°¡ ³²¾Æ À־ ÀåÂ÷ »õ·ÎÀÌ ¹ß°ßµÉ ¿©Áö°¡ ³²¾Æ ÀÖÀ» °ÍÀΰ¡? ..... ÁýÇÕ·ÐÀÌ ¼öÇÐÀÇ ±âº» ÀÌ·ÐÀ̱⠶§¹®¿¡ ¾ÕÀÇ ¹°À½Àº "ÁýÇÕ·ÐÀÇ  °ø¸®´Â Áö±Ý±îÁö ¾Ë·ÁÁø °Í  ¿Ü¿¡ ¶Ç ´õ ¾øÀ»±î?" ·Î ÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. À̸¦ ´Ù½Ã ÁýÇշаú ³í¸®ÇÐÀ¸·Î ³ª´©¸é ´ÙÀ½°ú °°ÀÌ Á¤¸®ÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. ù°·Î, ³í¸®ÇÐÀÇ ±âº» ¿ø¸® Áï, ³í¸®ÇÐÀÇ  ±âº» ¹ýÄ¢Àº ÇöÀç±îÁö ¾Ë·ÁÁø °Í ¿Ü¿¡ ´õ ¾øÀ»±î? µÑ°·Î, ÁýÇÕ·ÐÀÇ ±âº» ¿ø¸®  Áï °ø¸®´Â Áö±Ý±îÁö ¾Ë·ÁÁø °Í ¿Ü¿¡ ¾øÀ»±î? Áï, ÇöÀçÀÇ ÁýÇÕ·ÐÀº ¿ÏÀü(complete)ÇÑ°¡?

ÀÌ µÎ ¹°À½ ¸ðµÎ¿¡ ´ëÇØ ±«µ¨Àº ±× ´äÀ»  ¿ì¸®¿¡°Ô Á¦½ÃÇØ ÁÖ°í ÀÖ´Ù. ù¹ø° ¹°À½¿¡ ´ëÇØ ±«µ¨Àº 24¼¼ ¶§  ºó ´ëÇб³¿¡ Á¦ÃâÇÑ ÇÐÀ§  ³í¹®¿¡¼­ ¼ú¾î³í¸®ÀÇ ¿ÏÀü¼º(completeness)Á¤¸®¸¦ ÅëÇØ ±àÁ¤ÀûÀ¸·Î ´äÇÏ¿´´Ù. Áï,  ±×ÀÇ ¿ÏÀü¼º Á¤¸®¿¡ µû¸£¸é "¼ú¾î³í¸®´Â ¿ÏÀüÇÏ´Ù. ±×·¯¹Ç·Î ¼ú¾î³í¸®  Ã¼°è¿¡´Â Áö±Ý ¿ì¸®°¡  ¾Ë°í ÀÖ´Â ¿ø¸® ¿Ü¿¡´Â ÀåÂ÷ ´õ »õ·ÎÀÌ ¹ß°ßµÉ °ÍÀÌ ¾ø´Ù." ¹Ù²ã ¸»Çϸé, ¾ÕÀ¸·Î ±âº» ¿ø¸®ÀÎ ¼ú¾î ³í¸®Çп¡¼­ÀÇ °ø¸®´Â ¿µ¿øÈ÷ »õ·ÎÀÌ  ¹ß°ßµÉ °ÍÀÌ ¾ø´Ù´Â ¶æÀÌ  µÈ´Ù. ¿©±â¼­ ¾î¶² ÀÌ·Ðü°è°¡ ¿ÏÀü (complete) ÇÏ´Ù´Â ¶æÀº ±× ü°è¿¡¼­  ÂüÀÎ ¸íÁ¦´Â ¹Ýµå½Ã °ø¸®·Î ºÎÅÍ ¿¬¿ª (Áõ¸í) µÈ´Ù (Áï, Á¤ÀÇ°¡ µÈ´Ù) ´Â ¶æÀÌ´Ù. ¹Ý´ë·Î, ¾î¶² ÀÌ·Ðü°è°¡ ºÒ¿ÏÀüÇÏ´Ù (incomplete) ´Â ¶æÀº ±× ü°è¿¡ ÀÖ¾î ÂüÀÎ  ¸íÁ¦°¡ ±× ü°èÀÇ °ø¸®·ÎºÎÅÍ ¿¬¿ªµÇÁö ¾ÊÀº °æ¿ì°¡ ÀÖ´Ù´Â  ¶æÀÌ´Ù. ...... ´ÙÀ½ µÎ¹ø° ¹°À½¿¡ ´ëÇؼ­´Â ±«µ¨ÀÌ  ºÎÁ¤ÀûÀÎ ´äÀ» ¾ò¾ú´Ù. ±× ³»¿ëÀº "ÇöÀçÀÇ »ê¼úü°è°¡ ¹«¸ð¼øÇÏ¸é ±× Ã¼°è´Â ºÒ¿ÏÀüÇÏ´Ù"·Î Á¤¸®ÇÒ  ¼ö ÀÖ´Ù. Áï, "±× ü°èÀÇ ¾î¶°ÇÑ ¸íÁ¦°¡ ÂüÀÌÁö¸¸, ±× ¸íÁ¦¿Í ±×°ÍÀÇ ºÎÁ¤¸íÁ¦ ¸ðµÎ°¡ Áõ¸íµÇÁö ¾ÊÀº ¸íÁ¦°¡ Á¸ÀçÇÑ´Ù."´Â ¶æÀÌ´Ù. »ç½ÇÀº  ÀÌ Á¤¸®¸¦ Á¦1ºÒ¿ÏÀü¼ºÁ¤¸® ¶ó°í  ÇÑ´Ù.

³í¸®Çаú ¼öÇÐ , ¼ú¾î³í¸®ÀÇ ¿ÏÀü¼º Á¤¸® : ¿ä½Ã³ª°¡ ¿ä½Ã¸¶»ç : ...... Kurt Gödel Àº 1930 ³â¿¡ ¿ÏÀü¼º Á¤¸® (Completeness Theorem) ÀÇ Áõ¸íÀ», 1931 ³â¿¡ ºÒ¿ÏÀü¼º Á¤¸® (Incompleteness Theorem) ÀÇ Áõ¸íÀ» ¹ßÇ¥ÇÏ¿´´Ù. ±×·¯³ª ÀÌ°ÍÀº ¸ð¼øµÇ´Â °ÍÀº ¾Æ´Ï´Ù. ¿Ö³ÄÇϸé ÀüÀÚ´Â ³í¸®ÇÐ (Á¦ 1 °è ¼ú¾î³í¸®) ÀÇ Çü½ÄÀû ü°è¿¡ ´ëÇؼ­, ÈÄÀÚ´Â ¼öÇÐ (Æä¾Æ³ëÀÇ »ê¼úÀÇ °ø¸®°è¸¦ Æ÷ÇÔÇÏ´Â ¹«¸ð¼øÀÎ °ø¸®°è) ÀÇ Çü½ÄÀû ü°è¿¡ ´ëÇÑ Á¤¸®ÀÌ°í ¾çÀÚ´Â ±Ùº»ÀûÀ¸·Î »óÀÌÇÑ °Í¿¡ ´ëÇÑ ¾ð±ÞÀ̾ú±â ¶§¹®ÀÌ´Ù ...... ±«µ¨ÀÇ ¿ÏÀü¼º Á¤¸®´Â ³í¸®ÇÐÀÇ Çü½ÄÀû ü°è¿¡ ´ëÇؼ­ Áõ¸íµÈ »çÇ×ÀÌ´Ù. ¿ì¸®µéÀÌ »ç¿ëÇÏ°í ÀÖ´Â ³í¸®ÇÐÀÇ Ã¼°è´Â ¿ÏÀüÇÏ´Ù. Áï '³í¸®ÀûÀ¸·Î ¿Ã¹Ù¸¥' ¸íÁ¦¶ó¸é ¾î¶°ÇÑ °ÍÀÌ¶óµµ ±× ü°è ³»¿¡¼­ 'Áõ¸í°¡´É' ÇÏ´Ù ¶ó´Â °ÍÀÌ´Ù. ¿ì¸®µéÀÇ "»ó½ÄÀû" ÀÎ ³í¸®Àû Á÷°ü¿¡´Â ÃʼöÇÐÀûÀÎ µÞ¹ÞħÀÌ ÀÖ¾ú´ø °ÍÀÌ´Ù ¶ó°í ¸»Çصµ µÉ °ÍÀÌ´Ù.

³í¸®ÀÇ ´ÙÀ½À¸·Î´Â ¼öÇÐÀÌ ¹®Á¦·Î µÇ´Âµ¥ ¿©±â¼­´Â '¼öÇÐÀûÀ¸·Î ¿Ã¹Ù¸£´Ù' ´Â °ÍÀÌ '³í¸®ÀûÀ¸·Î ¿Ã¹Ù¸£´Ù' ´Â °Í°ú´Â ¹Ýµå½Ã ÀÏÄ¡ÇÏ´Â °ÍÀº ¾Æ´Ï´Ù. ³í¸®ÀûÀÎ ¿Ã¹Ù¸§À̶õ ¾î¶°ÇÑ ´ë»ó¿¡ ´ëÇؼ­µµ Àû¿ëµÇ´Â Ãß·ÐÀÇ ¿Ã¹Ù¸§¿¡ ´ëÇÑ °ÍÀ» ¸»ÇÑ´Ù. ¿¹ÄÁ´ë ¡¸A À̸é A¡¹°¡ ±× ÁÁÀº ¿¹ÀÌ°í A °¡ Áø½ÇÀ̵ç ÇãÀ§À̵ç ÀÌ Ãß·Ð ¹Ù·Î ±×°ÍÀº ¿Ã¹Ù¸£´Ù°í ¸»ÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. ÀÌ·¯ÇÑ Ãß·ÐÀ» Ç×Áø¸íÁ¦ (Tautology) ¶ó ºÎ¸¥´Ù. ÅäÅç·¯Áö´Â ÀÏ»ó¿ë¾î·Î´Â 'µ¿¾î¹Ýº¹' À̶ó°í ¹ø¿ªµÇ¾î ÀÖ´Ù.

¼öÇÐÀûÀÎ ¿Ã¹Ù¸§Àº ÀÌ°Í°ú´Â ´Þ¸® »çÇ×ÀÇ ÁøÀ§°¡ Ã߱õȴÙ. Áï ¼öÇп¡ À־ÀÇ ¸íÁ¦´Â ¼öÇÐÀûÀÎ ³»¿ëÀ» °®´Â ÀÌ»ó ¿ø¸®ÀûÀ¸·Î´Â ÁøÀ§°¡ ¹Ì¸® °áÁ¤µÇ¾î ÀÖÀ» °ÍÀÌ´Ù (´Ù¸¸ ¼ÒÀ§ 'ÀÚÀ¯º¯¼ö' ¸¦ °®Áö ¾Ê´Â °æ¿ì). ±×·¡¼­ ¼öÇÐÀÇ Çü½ÄÀû ü°è¿¡ ´ëÇÑ ¿ÏÀü¼ºÀÇ ¿äûÀ̶õ '¸ðµç ÂüµÈ ¸íÁ¦°¡ ±× ü°è ³»¿¡¼­ Áõ¸íµÉ ¼ö ÀÖ´Â °Í' À¸·Î µÈ´Ù. ¾î¾Áö ÀÚ¸íÇÑ °ÍÀ¸·Î »ý°¢µÇ³ª ±×°ÍÀÌ ÀÚ¸íÇϱâ´Â Ä¿³ç À߸øµÈ °ÍÀ̶ó´Â °ÍÀ» Áõ¸íÇØ ¹ö¸° °ÍÀÌ ±«µ¨ÀÇ ºÒ¿ÏÀü¼º Á¤¸®¿´´ø °ÍÀÌ´Ù ......

Wikipedia : Gödel's completeness theorem : 1929 ³â¿¡ Kurt Gödel ÀÌ Áõ¸íÇÑ ¼ö¸®³í¸®Çп¡¼­ÀÇ ±âº» Á¤¸®ÀÌ´Ù. °¡Àå ÀϹÝÀûÀ¸·Î ¸»ÇÏÀÚ¸é, ÀÏÂ÷¼ú¾î°è»ê¿¡¼­ ¸ðµç universally valid formula ´Â Áõ¸íµÉ ¼ö ÀÖ´Ù´Â °ÍÀÌ´Ù. ³í¸®Àû °ø½ÄÀÌ ¸ðµç °¡´ÉÇÑ ¿µ¿ª¿¡¼­ ¸ðµç °¡´ÉÇÑ Çؼ® (±× ¿µ¿ª¿¡¼­ °ø½Ä¿¡ »ç¿ëµÈ non-constant symbols ÀÇ Çؼ®) ÀÌ ÂüÀÏ °æ¿ì¸¦ universally valid ¶ó°í ºÎ¸¥´Ù. .....