Attractor

역학계의 상태변화를 상태공간에서 시간에 따라 변하는 하나의 궤도로 나타낼 수 있다. 이 궤도는 역학계의 외부에서 주어지는 에너지에 의해 요동 (turbulence) 하게 된다. 이 때의 요동은 시간이 지나면서 곧 없어지고, 다시 안정된 원래의 궤도를 그린다. 이와같이 상태공간을 움직이는 점은 대부분 안정된 궤도로 끌려간다.

'attractor'[끌개, 흡인자]는 점들을 안정된 궤도로 끌어당긴다고 해서 그렇게 부른다. 점이 시간의 경과에 따라 그리는 궤적은 초기상태에 의해 달라진다. 그러니까 궤적의 수는 처음 출발점(=초기상태)의 수 만큼 많다. 이들 복잡한 곡선군 중에는 어느 점으로부터 출발하여도 결국은 거기에 귀착하는 하나의 곡선이 있다. 이것을 'attractor' 라고 부른다. 즉, attractor는 근처의 모든 궤도가 수렴하는 불변집합(invariant set)인 것이다. 좀더 자세히 말한다면, 불변집합이란 다음 조건을 만족하는 집합 E이다.

f : X → X일 때, E⊆X이고 f(E)⊂E

이것은 집합 X에 어떤 작용 f 가 가해져서 모든 원소가 f 에 의해 재배치되지만, 부분집합 E 의 원소들만은 그대로 변함없이 E 안에 그대로 있다는 것을 뜻한다. 

이에 대해 일시적인 상태를 나타내는 점은 attractor가 아니라 리펠러(repellor; 반발, 배척자)라고 불리운다. attractor는 역학계가 가장 안정된(stable) 상태에 있는 점들인데 대해서, 리펠러는 불안정한 상태의 점들이라는 뜻이다. 역학계의 안정성은 여러 가지가 있는데, 그 중에는 궤도안정성(orbitary stable)과 점근안정성(asymptotically stable)이 있다. attractor는 점근안정성이다. 점근안정성이란 쉽게 말하면, attractor 근방에 있는 점들은 모두 attractor로 끌려 간다는 뜻이다.

attractor는 주어진 역학계의 안정상태를 구체적으로 나타내는 것이므로 역학계의 연구에서는 매우 중요하다. 그네는 가만히 놔두면 멈춘다. 그래서 멈추지 않도록 계속 조금씩 밀어주면, 그네는 불규칙하기는 하지만 일정한 범위 안에서 계속 움직이게 된다. 이때 주어진 에너지가 운동에너지와 위치에너지로 뒤바뀌며 끊임없이 반복한다. 이러한 역학계의 attractor는 폐곡선인 원이 된다. 그러다가 힘을 가하면 원을 벗어났다가 이윽고 다시 원주상을 돌게 된다. 그리고 마찰력 때문에 원 안쪽으로 끌려간다. 다시 그네에 힘이 가해지면 궤도는 원 밖으로 벗어난다. 그리고 계속 힘을 가하지 않으면, 운동에너지와 위치에너지는 공기의 마찰 때문에 점점 줄어들어 모두 0이 되는 점으로 끌려간다. .... 이렇게 운동에너지와 위치에너지가 그리는 궤도의 최후 낙착점이 attractor이다.

attractor의 내용을 살펴보면 역학계의 성격을 알 수 있으므로 그 분류는 중요하다. 어트렉터는 기하학적인 모양에 따라 그 이름이 각각 다음 네 가지로 나누어진다.

고정점(fixed point) attractor
한계순환(limit cycle) attractor
준주기(quasi-periodic) attractor(또는 토러스 attractor)
기묘한(strange) attractor

이상의 attractor들은 모두 연속역학계에서 볼 수 있는 것들이다. 이것들에 대응해서 이산역학계에서 볼 수 있는 attractor는 수렴점(convergence point) attractor, 주기점(period point) attractor, 폐곡선(closed curve) attractor, 기묘한 attractor 등이 있다.

역학계에 에너지가 가해지면 attractor가 변한다. 이 변화는 단순한 것이 아니고 위상적(topological)인 변화인 것이다. 이러한 attractor의 변화를 '분기 (bifurcation)'라고 말한다.