Modal Logic

 

....... "게임의 양상이 어떻게 되어가는가?" 할 때의 "양상" 은 논리학에서 판단의 확실성. 곧, 일정한 판단의 타당한 정도를 의미한다......... 가능·필연 등 양상에서 언급하는 말이 들어간 명제로 구성된 논증의 구조를 연구하는 논리학 ......판단의 확실성을 가리키는 논리학 용어로서, 아리스토텔레스는 양상을 필연성 ·우연성의 두 가지로 구별하였고, 전통적 형식논리학에서는 여기에 가능성 ·불가능성을, 칸트는 현실성 ·비현실성을 추가하여 모두 3그룹 6개로 구별하였다. ..... 명제논리 (Propositional Logic) 의 논리식 (well formed formula) 에 연산자 필연성 (L, 필연과 우연) 과 가능성 (M, 가능과 불가능) 을 추가한 것이 양상논리 (modal logic) 이다............

"내년에 나는 프랑스에 유학간다." 는 명제는 현재로서는 진도 아니고 위도 아니다. 그것은 진위 '부정'이다. 그러나 가능한 일이다. 미래에 관한 모든 명제는 가능 또는 불가능 명제이다. '가능'은 '필연 (필연 또는 우연)', '실연 (현실성 또는 비현실성)' 등과 함께  양상에 속한다. 여기에 양상논리 (modal logic) 가 성립한다.  ... 양상이 어떻게 되어가는가? 를 다루는 것이다 : 어떤 명제의 참, 거짓 만을 다루는 것이 아니라........ 현대 논리학의 원론적 부분은 명제논리 (propositional logic) 이다. 이 명제논리의 기초 위에 술어논리 (predicate logic) 도 관계논리도 성립하는 것이다. 형식논리는 명제의 진위에 관한 검증이기도 하다. 진리치가 진위의 두개일 때 이치논리 (two value logic) 라 하고 세 개 이상의 논리를 다치논리 (many-valued logic) 라 한다. 현대의 기호 논리학 (symbolic logic) 에서는 명제의 진위에만 값을 인정하는 ‘2치 논리학’ 에 대하여 진위의 중간단계를 인정하는 ‘다치 논리학’ 의 형태로 양상 논리학을 정비 하려는 논의가 진행되었다........... Aristoteles는 "내년에 사라미스 해전이 있을 것이다" 라는 명제로써 양상문제를 제기한 바 있고, 그 전후에 Megara 학파에서도 그 후에 Stoa 학파에서도 이 문제를 연구한 바 있으나 Aristoteles의 논리를 이치에 국한시킨 전통의 권위에 가려져서 빛을 보지 못하였다. 현대 논리의 커다란 과제로서 양상의 문제를 제기한 이는 H. McColl (1837~1909) 의 시론을 공리화한 C.I. Lewis (1883~?) 이었다. 그는 Russell 의 단순함언 (material implication) 에 대해 '엄밀함언' (strict implication) 의 문제를 제기함으로써 양상논리에로의 길을 열었을 뿐 아니라 Langford 와의 공저 Symbolic Logic (1932) 에서 양상체계를 확립하였다........  (소광희 1985).

Modal logic 은 논리적으로 필연적인 (necessary) 진리와 우연적인 (contingent) 진리 사이를 구분하는 (distinguish) 논리의 한 형태이다. 만일 2 + 2 = 4 와 같이 논리적 모순이 없다면 그것은 필연적이다 ; 반면에 "지구의 반이상이 물로 덮혀 있다" 와 같은 경우에 발생하는 것은 우연적인 것이다. 하나의 문장이 모든 가능한 세계에서 참이라면 그것은 필연적 진리이다. 만일 그것이 우리 세상에서는 우연히 참이지만 모든 (all) 가능한 세계에서 참인 것은 아니라면 그것은 우연적인 진리이다. 어떤 (some) 가능한 세계에서 (반드시 우리 세상은 아니더라도) 참인 문장은 가능한 (possible) 진리라고 부른다.

필연성 (necessity) 과 가능성 (possibility) 의 개념은 다음과 같이 드 모르간 법칙과 같은 관계를 보인다 :

"It is not necessary that X" is equivalent to "It is possible that not X.
"It is not possible that X" is equivalent to "It is necessary that not X.

Modal logic 는 명제논리 (Propositional Logic) 의 논리식 (well formed formula) 에 연산자 필연성 (L) 과 가능성 (M) 을 추가한다. 두 개는 서로간에 다음과 같이 정의될 수 있다.

Modal logic 을 사용하기에 편리한 시스템으로 만들기 위해서 명제논리에 어떠한 공리 (Axiom) 들이 정확하게 추가되어야 하는 가는 많은 논쟁의 주제가 되어왔다. Saul Kripke 이후에 K 라고 불리워진 하나의 weak system 은 다음과 같은 것만을 추가한다 :

이러한 규칙들은 p 의 필연성으로부터 p 가 실제로 그 case 가 되게끔 하는 공리가 없다. 따라서 보통 다음과 같은 것이 추가된다 :

하나의 modal 연산자가 또다른 연산자의 범위에 분포하는 경우에는 더 많은 혼란스러운 이슈가 발생한다 -does Lp imply LLp, 예를들면 ? (필연적인 진리는 필연적으로 필요한 것인가?) .............. (Wikipedia : Modal logic)

양상 논리는 일차 술어 논리의 표현력을 확장하는 다양한 논리 체계들을 아우르는 용어다. 양상 논리는 필요성 (Necessity) 과 가능성 (Possibility) 을 표현할 수 있는 논리 체계를 구축하는 것으로부터 시작되었다. 영어 표현으로 보면, "it is necessarily that ~" 과 "it is possibly that~" 을 표현하는 논리 체계다. 이 두 가지 표현을 기술할 수 있는 최소 논리는 K 라는 이름을 가진 논리다. K 는 이 논리를 만든 사울 크립케 (Saul Kripke) 의 성씨 첫 자를 딴 것이다. K 를 기반으로 다양한 표현력 확장이 이루어졌으며 이에 따라 M, S4, S5 등 다양한 양상 논리 시스템이 제시되었다. 또 한 편으로 신뢰 (Belief), 시제 (Tense), 의무 (Obligation) 사항 등을 표현할 수 있는 새로운 양상 논리 체계들이 만들어졌다. ........... (source)

term :

논리학 (Logic)   명제논리 (propositional logic)    술어논리 (predicate logic)   기호 논리학 (symbolic logic)   연결사 (Connective)   예측 (Prediciton)   퍼지 (Fuzzy)   불확실성 (Uncertainty)   양상논리 (Modal Logic)   Saul Kripke

site :

Stanford Encyclopedia of Philosophy  : Modal logic

A discussion of modal logic : John McCarthy

paper :

다치논리· 양상논리 : 소광희