Three Body Problem

"Three Body Problem (3체 문제) 이란 3 개의 서로 잡아당기는 물체 (three mutually attracting bodies) 의 행동을 조사하는 문제 (예를들면 태양, 지구, 달) 이며 또한 그들의 행동의 안정성을 조사하는 것이다"

카오스가 수학자의 주목을 받게 된 것은 Henri Poincaré (1854~1912)에 의해서이다. 1887년 스웨덴의 국왕 오스카 2세는 태양계가 안정된 계인지, 또는 그렇지 않은지에 대해 알고 싶어했다. 중국 고사에 하늘이 무너지고 땅이 꺼질 것 같아서 잠 못이루고 걱정했다는 '기우'의 이야기가 있는데, 오스카 2세도 그런 사람이었는지 모른다. 그는 이 천문역학의 난문제를 해결할 수 있는 사람에게 2천 5백 크라운의 상금을 주겠다고 제의했다.

뉴튼 역학이 정립된 이래 모두가 이 문제를 뉴튼역학으로 쉽게 해결할 수 있을 것으로 생각했다. 특히 결정론의 신봉자인 Pierre Laplace 도 그렇게 믿었고, 이 문제의 해결도 그의 신념과 맞아 떨어졌다고 주장했다. 그러나 알고 보면 그의 해법은 부분적이며, 매우 특수한 경우였다. 즉, 태양과 두 개의 행성이 정삼각형의 꼭지점에 놓여있을 경우에 대해서만 성립한 것이다. 그 후로 내노라 하는 유능한 수학자나 물리학자들이 이 문제의 일반적인 해법에 도전했지만, 어느 누구도 만족할 만한 해답을 내놓지 못했다.

그 때까지 뉴튼역학은 지구와 달, 또는 지구와 태양의 두 천체만을 따로 떼어내어 생각했다. 이른바 '이체 문제'가 그것이다. 포앙카레는 이것을 수학적으로 미분방정식의 해에 관한 문제, 즉 「해의 유일성」문제로서 변수가 2개인 y=f(x) 의 경우는 풀 수 있으나, 3개인 경우(3체문제)에는 뉴튼역학으로는 일반적인 해법이 없음을 밝혔다(미분방정식은 변화하는 현상이 앞으로 어떻게 움직일 것인지를 알아내는 방법」이라는 정도로만 알고 있으면 된다).

삼체문제는 비선형 방정식의 문제가 된다. 이 비선형 방정식에는 카오스가 숨어 있다. 이것은 마치 남녀관계에 있어서 삼각관계와도 같다. 남녀 두 사람이라면 그 결과는 결혼 아니면 이별로 간단하다. 그러나 여기에 또 한 사람이 끼어들면 문제는 아주 복잡해진다. 두 사람을 놓고 한 사람은 쉽게 판단할 수 없는 갈등을 겪게 되니까 말이다.

포앙카레는 그 사실을 알았지만 너무 복잡해서 실상을 적절히 표현할 수 없었다. 그러나 그는 이 복잡한 현상의 실체를 명확히 알고 있었다.
「우리 눈에 거의 띄지 않을 정도의 작은 원인이 도저히 무시할 수 없을 만큼의 중대한 결과를 야기시킬 때가 있다. 이런 경우 우리는 그 결과가 우연히 일어난 것으로 생각한다. .... 처음에 가볍게 여긴 작은 오차가 후에 중대한 오차로 나타나는 것이다. 그리하여 예언은 불가능하게 되고, 우연의 현상이 얻어지는 것이다.」(과학과 방법)
여기에는 초기의 작은 차이 때문에 결정론과 확률론이 결합한다는, 오늘날 카오스 이론의 관점이 분명히 나타나 있다. 이에 이어서 포앙카레는 현재 카오스 이론의 대상인 소행성의 운동, 기상, 도박, ... 등의 보기를 들고 있다.
그러나 1960년대에 이르기까지 포앙카레의 연구는 잊혀져 있었다. 그것은 너무 복잡해서 컴퓨터의 도움이 없이는 그 이미지를 상상하는 것조차도 불가능했기 때문이다.

포앙카레의 생각을 쉽게 설명하면 다음과 같다. 질량이 똑같은 세 개의 천체가 그림 1과 같이 정삼각형의 세 꼭지점에 있다고 하자. 이들 세 천체에 작용하는 만유인력은 정삼각형의 무게 중심에서 평형을 유지한다. 이들 세 천체 사이를 연료가 떨어진 우주선이 지나가게 되면 어떤 궤도를 그릴까 상상해 보자. 대부분의 사람들은 약간의 방황 끝에 어느 별에게로 이끌려 갈 것이라고 생각할 것이다.
그러나 실제로는 그렇지 않다는 것이 실험으로 밝혀졌다. 그림 1과 비슷한 상황을 세 개의 자석을 이용하여 실험해 보았다. 똑같은 자력을 가진 세 개의 자석을 그림 2와 같이 정삼각형의 세 꼭지점에 설치하고, 작은 쇠구슬을 줄에 매달아 정삼각형의 한 가운데에 오도록 한다. 그러면 작은 쇠구슬은 그림 1의 우주선과 똑같은 처지가 되어, 어디로 끌려갈지 망설이게 될 것이다. 이제 쇠구슬을 임의의 방향으로 밀었다가 놓아보자. 그리고 이 장치 위에다 카메라를 설치하고 장시간 노출시키면서 쇠구슬이 그리는 궤도를 찍어보자. 그러면, 놀랍게도 그 궤도는 무척이나 복잡하게 변해가면서 카오스 현상을 뚜렷이 보여준다. 그 궤도는 전혀 예측할 수 없게 세 개의 자석 주위를 번갈아 가며 복잡하게 휘감아 돌아간다.
그 이유는, 이 세 개의 인력권이 그리는 도형이 우리가 생각한 것처럼 단순한 직선이 아니라 프랙탈적인 인력권이 형성되기 때문이다. 인력권의 어느 부분을 확대해 보아도 원래 모습과 닮은 구조가 계속되고 있음을 알게 된다.
이 때문에 쇠구슬의 궤도가 복잡하게 되고, 카오스 현상을 보이는 것이다. 3체문제도 이 정도로 복잡한데, 태양계의 문제는 본질적으로 다체문제이다. 따라서 시간이 갈수록 태양계의 궤도는 점점 카오스적인 양상을 보일 것이라는 예상을 쉽게 할 수 있다.

그림 1                                                              그림 2